Kapitel 8 führte das Solow-Modell ein: Kapitalakkumulation treibt die Produktion in Richtung eines stationären Gleichgewichts, aber langfristiges Wachstum der Pro-Kopf-Produktion erfordert exogenen technischen Fortschritt. Dieses Kapitel fragt: Woher kommt der technische Fortschritt? Wenn Ideen das Wachstum antreiben und Ideen von Menschen produziert werden, die bewusste Entscheidungen treffen, dann ist Wachstum selbst endogen.
Wir beginnen mit der Formalisierung der Erkenntnisse des Solow-Modells durch das Ramsey-Cass-Koopmans-Rahmenwerk (optimale Ersparnis) und arbeiten uns dann zum endogenen Wachstum vor: das AK-Modell, Romers Varietätenexpansionsmodell und Aghion-Howitts Schumpeterianische schöpferische Zerstörung.
Voraussetzungen: Kapitel 8 (Solow-Modell). Mathematische Voraussetzungen: dynamische Optimierung, Phasendiagramme, Differentialgleichungen.
Grundlegende Literatur: Ramsey (1928); Cass (1965); Koopmans (1965); Diamond (1965); Romer (1986, 1990); Lucas (1988); Aghion & Howitt (1992); Mankiw, Romer & Weil (1992).
Das Solow-Modell nimmt eine feste Sparquote $s$ an. Das Ramsey-Modell endogenisiert die Ersparnis, indem ein repräsentativer Haushalt Konsum und Ersparnis wählt, um den Lebensnutzen zu maximieren.
Präferenzen: Ein unendlich lange lebender repräsentativer Haushalt mit CRRA-Nutzenfunktion:
Der Parameter $\sigma$ ist der Koeffizient der relativen Risikoaversion (Kehrwert der intertemporalen Substitutionselastizität, IES $= 1/\sigma$). Technologie: $y = f(k)$ in Pro-effektive-Arbeitseinheiten mit konstanten Skalenerträgen. Kapital schreibt sich mit Rate $\delta$ ab; die Bevölkerung wächst mit $n$; die TFP wächst mit $g$.
Bedingungen erster Ordnung: $\lambda = c^{-\sigma}$ (Gl. 13.3) und $\dot{\lambda}/\lambda = \rho - [f'(k) - (n + g + \delta)]$ (Gl. 13.4).
Dies ist die Keynes-Ramsey-Regel. Der Konsum wächst, wenn das Grenzprodukt des Kapitals die effektive Diskontrate übersteigt.
Im Steady State: $f'(k^*) = \rho + \delta + \sigma g$ (modifizierte Goldene Regel) und $c^* = f(k^*) - (n + g + \delta)k^*$.
Die Ramsey-Ökonomie unterakkumuliert stets im Vergleich zur Goldenen Regel ($k^* < k_g$), weil ungeduldige Haushalte heute zu viel konsumieren. Dynamische Ineffizienz ist unmöglich.
Abbildung 13.1. Ramsey-Phasendiagramm. Die vertikale blaue Linie ist die $\dot{c}=0$-Kurve; die glockenförmige rote Kurve ist die $\dot{k}=0$-Kurve. Die grün gestrichelte Linie ist der Sattelpfad. Pfeile zeigen die Dynamik in jeder Region. Passen Sie die Parameter an und klicken Sie, um Trajektorien zu starten.
Mit $f(k) = k^{1/3}$, $\rho = 0.04$, $\delta = 0.05$, $g = 0.02$, $\sigma = 2$:
$\dot{c} = 0$: $f'(k^*) = (1/3)k^{*-2/3} = 0.04 + 0.05 + 2(0.02) = 0.13$
$k^* = [(1/3)/0.13]^{3/2} = 4.11$, $c^* = (4.11)^{1/3} - (0.09)(4.11) = 1.23$
Ausgehend von $k_0 = 1 < k^* = 4.11$ (Parameter aus Beispiel 13.1), charakterisieren wir die Sattelpfad-Dynamik.
Schritt 1: Bei $k_0 = 1$ gilt $f'(1) = 1/3 > 0.13 = \rho + \delta + \sigma g$, also $\dot{c}/c > 0$: Der Konsum steigt.
Schritt 2: Auf dem Sattelpfad muss $c_0$ auf den Wert springen, bei dem die Trajektorie zu $(k^*, c^*)$ konvergiert. Ist $c_0$ zu hoch, wächst der Konsum zu schnell, das Kapital wird aufgezehrt und die Ökonomie erreicht $k = 0$. Ist $c_0$ zu niedrig, akkumuliert sich Kapital endlos, was die Transversalitätsbedingung verletzt.
Schritt 3: Entlang des Sattelpfads steigen sowohl $k$ als auch $c$ monoton zum Steady State. Die Ökonomie wächst anfangs schnell (hohes $f'(k)$) und verlangsamt sich, wenn $k \to k^*$.
Kernaussage: Der Sattelpfad ist das einzige Gleichgewicht rationaler Erwartungen. Vorausschauende Haushalte müssen $c_0$ perfekt wählen, um darauf zu landen.
Die Solow- und Ramsey-Modelle sagen voraus, dass das Wachstum der Pro-Kopf-Produktion schließlich aufhört (ohne exogenes $g$), weil die Erträge des Kapitals abnehmen. Das AK-Modell beseitigt abnehmende Erträge.
wobei $A$ eine Konstante ist und $K$ breit interpretiert wird (physisches + Human- + Wissenskapital).
Das Wachstum ist dauerhaft und proportional zur Sparquote. Es gibt keinen Steady State — keine Konvergenz. Politik (höheres $s$) beeinflusst dauerhaft die Wachstumsrate, nicht nur das Niveau.
Abbildung 13.2. Solow vs. AK-Modell. Im Solow-Modell (links) verschiebt eine höhere Sparquote den Steady State nach oben — ein Niveaueffekt. Im AK-Modell (rechts) erhöht eine höhere Sparquote die Wachstumsrate dauerhaft. Ziehen Sie den Schieberegler zum Vergleich.
Paul Romers zentrale Erkenntnis: Ideen sind nicht-rival. Ein Design für einen Mikrochip kann, einmal erstellt, von beliebig vielen Firmen gleichzeitig genutzt werden. Nicht-Rivalität impliziert zunehmende Skalenerträge. Romer löste die Inkompatibilität mit Wettbewerb durch die Einführung monopolistischer Konkurrenz — Innovatoren verdienen vorübergehende Monopolgewinne durch Patente.
Neue Varietäten werden von Forschern ($L_A$) geschaffen, die auf bestehendem Wissen ($A$) aufbauen. Auf dem ausgeglichenen Wachstumspfad:
Skaleneffekte: Eine größere Ökonomie (mehr potenzielle Forscher) wächst schneller. Dies ist sowohl die Vorhersage des Modells als auch sein am meisten diskutiertes Merkmal.
Abbildung 13.3. Romers Ideenproduktion. Die linke Achse zeigt die Wachstumsrate der Ideen als Funktion des F&E-Arbeitsanteils. Die rechte Tafel zeigt den Skaleneffekt: Größere Ökonomien (mehr Gesamtarbeit) erzeugen bei gleichem F&E-Anteil mehr Wachstum. Ziehen Sie den Schieberegler zur Erkundung.
Eine Ökonomie hat $L = 1{,}000{,}000$ Arbeitskräfte, F&E-Arbeitsanteil $L_A/L = 0.05$ und F&E-Produktivität $\delta_A = 0.0004$.
Schritt 1: Anzahl der Forscher: $L_A = 0.05 \times 1{,}000{,}000 = 50{,}000$.
Schritt 2: Wachstumsrate der Ideen: $g_A = \delta_A L_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$ ... aber wir müssen die Einheiten interpretieren. Mit $\delta_A = 0.0004$ pro Forscher, $g_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$? Das ergibt 2000%/Jahr. Neu kalibriert: $\delta_A = 0.00004$, dann $g_A = 0.00004 \times 50{,}000 = 2.0$, d.h. 2,0%/Jahr.
Schritt 3: Auf dem ausgeglichenen Wachstumspfad gilt $g_Y = g_A = 2.0\%$/Jahr. Verdopplungszeit: $\ln 2 / 0.02 = 34.7$ Jahre.
Schritt 4 (Skaleneffekte): Wenn sich die Bevölkerung auf 2M verdoppelt bei gleichem F&E-Anteil, dann $L_A = 100{,}000$ und $g_A = 4.0\%$/Jahr. Das Romer-Modell sagt voraus, dass größere Ökonomien schneller wachsen — eine Vorhersage, die empirisch in Frage gestellt wurde.
Leiten Sie im Romer-Modell den ausgeglichenen Wachstumspfad (BGP) ab, auf dem alle Wachstumsraten konstant sind.
Schritt 1: Ideenproduktion: $\dot{A}/A = \delta_A L_A$. Auf dem BGP ist $L_A$ konstant (fester Anteil der Arbeit), also ist $g_A = \delta_A L_A$ konstant.
Schritt 2: Endgüterfertigung: $Y = A^\phi K^\alpha L_Y^{1-\alpha}$ (wobei $\phi$ die Ideen-Externalität erfasst). Auf dem BGP gilt $g_Y = \phi g_A + \alpha g_K + (1-\alpha)g_{L_Y}$.
Schritt 3: Kapital akkumuliert sich durch Ersparnis: $g_K = sY/K - \delta$. Auf dem BGP gilt $g_K = g_Y$ (konstantes $K/Y$-Verhältnis).
Schritt 4: Einsetzen von $g_K = g_Y$ und $g_{L_Y} = n$: $g_Y = \phi g_A + \alpha g_Y + (1-\alpha)n$, also $g_Y(1-\alpha) = \phi g_A + (1-\alpha)n$, woraus $g_Y = \frac{\phi}{1-\alpha}g_A + n$ folgt.
Schritt 5: Pro-Kopf-Wachstum: $g_{Y/L} = g_Y - n = \frac{\phi}{1-\alpha}\delta_A L_A$. Wachstum des Lebensstandards ist proportional zum F&E-Aufwand.
Aghion und Howitt (1992) modellieren Wachstum durch schöpferische Zerstörung. Innovation folgt einem Poisson-Prozess; jede Innovation verbessert die Qualität um den Faktor $\gamma > 1$.
Zwei gegensätzliche Externalitäten: der Business-Stealing-Effekt (Innovator übernimmt die Renten des Amtsinhabers — übermäßiger Anreiz) und der Wissens-Spillover-Effekt (Innovator erfasst nicht den Nutzen für zukünftige Innovatoren — unzureichender Anreiz). Empirische Evidenz deutet darauf hin, dass Spillovers typischerweise dominieren, was F&E-Subventionen rechtfertigt.
Jeder Balken repräsentiert das aktuelle Qualitätsniveau einer Branche auf der Leiter. Klicken Sie auf Schritt, um eine Innovationsrunde voranzuschreiten: Branchen, die eine Innovation erhalten, sehen ihren Qualitätssprung um den Faktor $\gamma$, während der verdrängte Amtsinhaber rot aufleuchtet. Höhere F&E-Intensität bedeutet, dass mehr Branchen pro Schritt innovieren.
Abbildung 13.5. Aghion-Howitt-Qualitätsleiter. Jeder Balken repräsentiert eine Branche; die Höhe ist das logarithmische Qualitätsniveau. Klicken Sie auf „Schritt“, um eine Innovationsrunde auszulösen — innovierende Branchen springen hoch (blau), während verdrängte Amtsinhaber rot aufleuchten. Höhere F&E-Intensität erhöht den Anteil innovierender Branchen pro Periode und damit die aggregierte Wachstumsrate. Beobachten Sie, wie schöpferische Zerstörung das Wachstum antreibt.
Im Aghion-Howitt-Modell mit Ankunftsrate $\lambda \phi(n) = \lambda n$ (linear in F&E-Arbeit $n$), Qualitätsstufe $\gamma = 1.2$ und Zinssatz $r = 0.05$:
Schritt 1: Wachstumsrate: $g = \lambda n \ln\gamma$. Mit $\lambda = 0.5$ und $n = 0.10$: $g = 0.5 \times 0.10 \times \ln(1.2) = 0.5 \times 0.10 \times 0.182 = 0.0091$ oder 0,91%/Jahr.
Schritt 2: Der soziale Planer maximiert die Wohlfahrt unter Berücksichtigung, dass jede Innovation einen Wissens-Spillover für zukünftige Innovatoren erzeugt. Der private Innovator ignoriert diese Externalität.
Schritt 3: Business-Stealing-Effekt: Der Innovator übernimmt die Renten des Amtsinhabers (überschüssiger privater Anreiz = $\pi_{old}$). Wissens-Spillover: Der Innovator hebt die Qualitätsgrenze für zukünftige Innovatoren an (unzureichender privater Anreiz).
Schritt 4: Wenn der Spillover dominiert (typischer Fall), hat das soziale Optimum $n^* > n_{market}$, was F&E-Subventionen rechtfertigt. Wenn Business-Stealing dominiert, investiert der Markt zu viel in F&E.
Unbedingte Konvergenz scheitert: Viele der ärmsten Länder der Welt von 1960 bleiben heute die ärmsten. Bedingte Konvergenz gilt: Bei Kontrolle für Steady-State-Determinanten wachsen ärmere Länder schneller. Konvergenzgeschwindigkeit: ca. 2%/Jahr (Halbwertszeit ca. 35 Jahre).
Abbildung 13.4. Konvergenz-Visualisierung. Zwei Länder starten mit unterschiedlichen Kapitalstöcken (k0=1 in blau, k0=8 in rot), haben aber dieselben Fundamentaldaten. Beide konvergieren zum gleichen Steady State. Die Anpassung der Institutionenqualität A verschiebt den gemeinsamen Steady State. Beobachten Sie die animierten Konvergenzpfade.
MRW fügten dem Solow-Modell Humankapital ($h$) hinzu:
MRW zeigten, dass das erweiterte Solow-Modell ca. 80% der länderübergreifenden Einkommensvariation erklärt — eine dramatische Verbesserung gegenüber dem einfachen Modell (ca. 60%).
Abbildung 13.5. MRW-artige Regression: Log-BIP pro Kopf vs. Log-Investitionsquote, gefärbt nach Humankapital (Schulbildung). Länder mit höherem Humankapital (größere, grünere Punkte) sind tendenziell reicher. Die Anpassungslinie zeigt den starken positiven Zusammenhang zwischen Investition und Einkommen. Hovern für Länderdetails.
TFP-Wachstum (das Solow-Residuum) macht einen großen Anteil des Wachstums in fortgeschrittenen Volkswirtschaften aus. Kapitalakkumulation allein kann nachhaltiges Wachstum nicht antreiben.
Zwischen 1966 und 1990 wuchs Südkoreas BIP mit 10,3%/Jahr. Zerlegen Sie dies mittels Wachstumszerlegung.
Daten: Kapitalwachstum $g_K = 13.7\%$/Jahr. Arbeitswachstum $g_L = 6.4\%$/Jahr (einschließlich Qualitätsbereinigung). Kapitalanteil $\alpha = 0.35$.
Schritt 1: Kapitalbeitrag: $\alpha \cdot g_K = 0.35 \times 13.7\% = 4.8\%$.
Schritt 2: Arbeitsbeitrag: $(1-\alpha) \cdot g_L = 0.65 \times 6.4\% = 4.2\%$.
Schritt 3: TFP-Residuum: $g_A = g_Y - \alpha g_K - (1-\alpha)g_L = 10.3\% - 4.8\% - 4.2\% = 1.3\%$.
Interpretation: Faktorakkumulation (Kapital + Arbeit) erklärt 87% des koreanischen Wachstums. Die TFP erklärt nur 13%. Dies führte zur Debatte „Transpiration vs. Inspiration“: War das asiatische Wunder durch brutale Akkumulation getrieben (Young, 1995) oder durch echte Produktivitätsgewinne?
Mankiw, Romer und Weil (1992) schätzen das erweiterte Solow-Modell:
$$\ln(Y/L) = \text{const} + \frac{\alpha}{1-\alpha-\beta}\ln s_K + \frac{\beta}{1-\alpha-\beta}\ln s_H - \frac{\alpha+\beta}{1-\alpha-\beta}\ln(n+g+\delta)$$
Schritt 1: Mit $\alpha = 1/3$ und $\beta = 1/3$: Der Koeffizient von $\ln s_K$ ist $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$; von $\ln s_H$ ist $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$; von $\ln(n+g+\delta)$ ist $-\frac{2/3}{1/3} = -2.0$.
Schritt 2: Ein Land, das seine physische Investitionsquote ($s_K$) verdoppelt, erhöht sein Steady-State-Einkommen um $\exp(1.0 \times \ln 2) = 2.0$, d.h. 100%.
Schritt 3: Ein Land, das seine Humankapitalinvestition ($s_H$) verdoppelt, verdoppelt ebenfalls sein Einkommen. Humankapital ist ebenso wichtig wie physisches Kapital.
Schritt 4: Das erweiterte Modell (R$^2 \approx 0.78$) übertrifft das einfache Solow-Modell (R$^2 \approx 0.59$) deutlich. Die Hinzufügung von Humankapital löst die „zu hohe“ vorhergesagte Konvergenzgeschwindigkeit des einfachen Modells.
Solows Bonmot von 1987: „Man kann das Computerzeitalter überall sehen, nur nicht in den Produktivitätsstatistiken.“
Trotz massiver Investitionen in Informationstechnologie in den 1970er und 1980er Jahren verlangsamte sich das gemessene TFP-Wachstum in den USA tatsächlich — von 1,5%/Jahr in 1948–73 auf 0,3%/Jahr in 1973–95. Computer verwandelten Büros, Fabriken und den Alltag, doch die Wachstumsstatistiken zeigten nichts.
Drei Erklärungen entstanden: (1) Messfehler — die volkswirtschaftliche Gesamtrechnung hatte Schwierigkeiten, Qualitätsverbesserungen neuer Güter und Dienstleistungen zu erfassen. Wie misst man den Produktivitätsgewinn durch E-Mail statt Briefpost? (2) Implementierungsverzögerungen — Allzwecktechnologien erfordern komplementäre Investitionen (Reorganisation, Schulung, neue Geschäftsprozesse), die Jahrzehnte dauern. Elektrizität zeigte ein ähnliches Muster: erfunden in den 1880ern, Produktivitätsgewinne erst in den 1920ern sichtbar. (3) Umverteilung, nicht Schaffung — einige IT-Investitionen verschoben lediglich Renten zwischen Unternehmen, ohne die Gesamtproduktivität zu steigern.
Auflösung: Die Produktivität stieg in den späten 1990ern sprunghaft an (TFP-Wachstum stieg auf 1,4%/Jahr in 1995–2004), konzentriert in IT-nutzenden Sektoren wie Einzel- und Großhandel. Das Produktivitätsparadoxon war real, aber vorübergehend — das Computerzeitalter zeigte sich schließlich in den Statistiken und bestätigte Solows Rahmenwerk, während es die Grenzen der Wachstumszerlegung in Echtzeit aufzeigte.
Kaelani (BIP = 10 Mrd. $, Bev. = 5 Mio., s = 0,15) gibt 0,5% des BIP für F&E aus: ca. 500 Forscher. Im Romer-Rahmenwerk reicht dies möglicherweise nicht für bedeutende Frontier-Innovation.
Aber drei Faktoren helfen: (1) Wissensdiffusion — Ideen sind nicht-rival, sodass Kaelani Technologien aus dem Ausland übernehmen kann. (2) Spezialisierung — F&E auf Nischen wie tropische Landwirtschaft konzentrieren. (3) Institutionen — die Reformen aus Kapitel 12 erhöhen die TFP durch Verringerung von Korruption.
Wachstumszerlegung (2010–2025): BIP-Wachstum 4,0%/Jahr = Kapitalakkumulation (2,0%) + Arbeitswachstum (1,0%) + TFP-Wachstum (1,0%). Das 1% TFP-Wachstum wird durch institutionelle Reform und Technologieadoption angetrieben, nicht durch Frontier-Innovation.
| Bezeichnung | Gleichung | Beschreibung |
|---|---|---|
| Gl. 13.1 | $\max \int e^{-\rho t}u(c)dt$ u.d.N. $\dot{k} = f(k)-c-(n+g+\delta)k$ | Ramsey-Haushaltsproblem |
| Gl. 13.5 | $\dot{c}/c = (1/\sigma)[f'(k) - \rho - \delta - \sigma g]$ | Euler-Gleichung |
| Gl. 13.6 | $\lim_{t\to\infty} \lambda(t)k(t)e^{-\rho t} = 0$ | Transversalitätsbedingung |
| Gl. 13.7 | $Y = AK$ | AK-Produktionsfunktion |
| Gl. 13.8 | $g_Y = sA - \delta$ | AK-Wachstumsrate |
| Gl. 13.9 | $\dot{A} = \delta_A L_A A$ | Romers Ideenproduktion |
| Gl. 13.10 | $g_A = \delta_A L_A$ | Romers ausgeglichene Wachstumsrate |
| Gl. 13.12 | $g = \lambda\phi(n)\ln\gamma$ | Aghion-Howitt-Wachstumsrate |
| Gl. 13.13 | MRW-erweiterte Solow-Regression | Länderübergreifende Einkommensgleichung |