Le chapitre 6 a introduit la théorie du consommateur par la maximisation de l'utilité et le lagrangien. Ce chapitre abandonne la béquille des formes fonctionnelles spécifiques et construit la théorie à partir de fondements axiomatiques. Nous posons les questions : quand les préférences peuvent-elles être représentées par une fonction d'utilité ? Quelles propriétés les fonctions de demande doivent-elles satisfaire ? Et sous quelles conditions un système de marchés concurrentiels alloue-t-il les ressources efficacement ?
Le changement de méthode est du calcul à la preuve. La partie II résolvait des problèmes d'optimisation. La partie III démontre des théorèmes — établissant quels résultats sont robustes et lesquels dépendent d'hypothèses spéciales.
Prérequis : Chapitres 6–7. Prérequis mathématiques : bases d'analyse réelle (ensembles ouverts/fermés, continuité, théorèmes de point fixe), analyse convexe, algèbre matricielle. Voir Annexe A.
Littérature citée : Mas-Colell, Whinston & Green (MWG) ; Debreu Théorie de la Valeur ; Arrow & Debreu (1954) ; Varian Analyse microéconomique.
Les axiomes standards :
Esquisse de preuve. Fixons un rayon $\{te : t \geq 0\}$ où $e = (1,1,\ldots,1)$. Pour chaque $x$, par complétude et continuité, il existe un unique $t(x) \geq 0$ tel que $x \sim t(x)e$. Posons $u(x) = t(x)$. La transitivité assure la cohérence de la représentation ; la continuité assure que $u$ est continue.
La fonction d'utilité est ordinale — toute transformation monotone $v = g(u)$ avec $g' > 0$ représente les mêmes préférences. Les propriétés cardinales (magnitudes des différences d'utilité) sont dénuées de sens.
Considérons les préférences lexicographiques sur $\mathbb{R}^2_+$ : $x \succ y$ si $x_1 > y_1$, ou $x_1 = y_1$ et $x_2 > y_2$.
Complétude : Satisfaite — pour tout $x, y$, soit $x_1 > y_1$, $y_1 > x_1$, ou $x_1 = y_1$ et on compare $x_2, y_2$.
Transitivité : Satisfaite — si $x \succ y$ et $y \succ z$, alors $x \succ z$ (découle de la transitivité de $>$ sur $\mathbb{R}$).
Continuité : Échoue. Considérons $y = (1, 1)$. L'ensemble $\{x : x \succ y\}$ contient $(1, 1.5)$ mais pas $(0.999, 100)$. L'ensemble « au moins aussi bon » n'est pas fermé — il y a un saut à $x_1 = 1$.
Conséquence : Aucune fonction d'utilité continue ne représente les préférences lexicographiques. Cela montre que la continuité est essentielle pour le théorème de représentation par l'utilité de Debreu.
Au lieu de supposer des préférences, nous pouvons les inférer à partir des choix observés.
Formellement : si $x$ est révélé préféré à $y$ ($xRy$ : $x$ choisi aux prix où $y$ était abordable), alors $y$ n'est pas révélé préféré à $x$.
SARP est nécessaire et suffisant pour que les choix observés soient cohérents avec la maximisation de l'utilité (théorème d'Afriat). WARP est nécessaire mais pas suffisant en général (bien qu'il soit suffisant avec deux biens).
Les choix d'un consommateur dans deux situations prix-revenu :
| Situation | Prix $(p_1, p_2)$ | Panier choisi $(x_1, x_2)$ | Dépense |
|---|---|---|---|
| A | (1, 2) | (4, 2) | 8 |
| B | (2, 1) | (2, 4) | 8 |
Vérification de WARP : Aux prix A, le consommateur pouvait-il s'offrir le panier B ? \$1(2) + 2(4) = 10 > 8$. Non. Aux prix B, le consommateur pouvait-il s'offrir le panier A ? \$1(4) + 1(2) = 10 > 8$. Non. WARP est satisfait — les données sont cohérentes avec la maximisation de l'utilité.
Entrez des vecteurs de prix et des paniers choisis pour jusqu'à 6 observations. Le vérificateur testera WARP et SARP automatiquement.
| Obs. | $p_1$ | $p_2$ | $x_1$ | $x_2$ | Dépense |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8.0 | ||||
| 2 | 8.0 | ||||
| 3 | 6.0 | ||||
| 4 | — | ||||
| 5 | — | ||||
| 6 | — |
Interactif 10.1. Entrez des observations prix-panier et testez la cohérence de la préférence révélée. WARP vérifie les inversions directes par paires ; SARP vérifie les cycles de toute longueur. Les violations sont mises en évidence avec des explications.
Le chapitre 6 a résolu le problème primal : maximiser l'utilité sous contrainte budgétaire. Le problème dual minimise la dépense pour atteindre un niveau d'utilité cible.
La solution est la demande hicksienne (compensée) $h(p, \bar{u})$ :
La fonction d'utilité indirecte $V(p, m)$ donne l'utilité maximale atteignable aux prix $p$ avec le revenu $m$ :
$$V(p, m) = \max_{x} \; u(x) \quad \text{s.t.} \quad p \cdot x \leq m$$Les relations de dualité clés :
L'identité de Roy fournit un raccourci pour dériver la demande marshallienne à partir de la fonction d'utilité indirecte :
Intuition de l'identité de Roy : Une petite augmentation de $p_i$ a deux effets sur le bien-être (mesuré par $V$) : (1) elle réduit directement l'utilité en rendant le bien $i$ plus cher (le numérateur $\partial V/\partial p_i < 0$), et (2) l'ampleur de cet effet est proportionnelle à la quantité de bien $i$ achetée par le consommateur ($x_i$) fois l'utilité marginale du revenu ($\partial V/\partial m$). Diviser (1) par l'utilité marginale du revenu donne la quantité de bien $i$.
Utilité CES : $u(x_1, x_2) = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$, $\rho < 1$, $\rho \neq 0$.
La fonction de dépense est : $e(p, \bar{u}) = \bar{u} \cdot (p_1^r + p_2^r)^{1/r}$ où $r = \rho/(\rho - 1)$.
Demande hicksienne (lemme de Shephard) : $h_i = \bar{u} \cdot p_i^{r-1} / (p_1^r + p_2^r)^{(r-1)/r}$.
Quand $\rho \to 0$ (élasticité de substitution $\sigma = 1/(1-\rho) \to 1$), cela converge vers le cas Cobb-Douglas.
Utilité Cobb-Douglas $u = x_1^{0.5} x_2^{0.5}$ avec revenu $m = 10$. Faites glisser $p_1$ pour voir comment les trois représentations — tangence de la droite de budget, demande marshallienne et fonction de dépense — encodent la même information.
Interactif 10.2. Trois vues du même consommateur. Gauche : courbe d'indifférence tangente à la droite de budget (primal). Centre : demande marshallienne du bien 1 en fonction de $p_1$. Droite : fonction de dépense $e(p_1, p_2, \bar{u})$ nécessaire pour atteindre le niveau d'utilité actuel. Les trois encodent les mêmes préférences.
L'équation de Slutsky du chapitre 6 (Éq. 6.7) se généralise en matrice. Définissons la matrice de Slutsky (substitution) avec les éléments :
Si la demande est générée par la maximisation de l'utilité, la matrice de Slutsky doit être :
Ce sont des restrictions testables — si la demande observée les viole, elle ne peut pas avoir été générée par un consommateur rationnel maximisant une fonction d'utilité bien comportée.
Demande Cobb-Douglas : $x_1 = am/p_1$, $x_2 = (1-a)m/p_2$.
$S_{12} = \partial x_1/\partial p_2 + x_2 \cdot \partial x_1/\partial m = 0 + [(1-a)m/p_2] \cdot [a/p_1] = a(1-a)m/(p_1 p_2)$
$S_{21} = \partial x_2/\partial p_1 + x_1 \cdot \partial x_2/\partial m = 0 + [am/p_1] \cdot [(1-a)/p_2] = a(1-a)m/(p_1 p_2)$
$S_{12} = S_{21}$ ✓
Ajustez le prix du bien 1 pour voir comment la demande marshallienne, la demande hicksienne (compensée) et l'effet de revenu réagissent. Utilise l'utilité Cobb-Douglas $u(x_1,x_2)=x_1^a x_2^{1-a}$ avec $a=0,6$, $p_2=3$, $m=120$.
Figure 10.2. Gauche : décomposition de Slutsky dans l'espace des biens. Le panier original (bleu), le panier compensé (orange, sur la courbe d'indifférence originale aux nouveaux prix), et le nouveau panier (vert). L'effet de substitution va du bleu à l'orange ; l'effet de revenu va de l'orange au vert. Droite : éléments de la matrice de Slutsky $S_{11}$ et $S_{12}$ en fonction de $p_1$, confirmant la semi-définitude négative ($S_{11} \leq 0$) et la symétrie.
Considérons une économie avec $I$ consommateurs et $L$ biens. Le consommateur $i$ a une dotation $\omega_i \in \mathbb{R}^L_+$ et des préférences $\succsim_i$.
Aux prix $p$, la richesse du consommateur $i$ est $m_i = p \cdot \omega_i$. Il demande $x_i(p, m_i)$.
Excès de demande agrégé :
L'équilibre exige $z(p^*) = 0$.
Implications : (1) Si $L - 1$ marchés s'équilibrent, le $L$-ième s'équilibre automatiquement. (2) Seuls les prix relatifs importent — on peut normaliser un prix à 1 (le numéraire).
Stratégie de preuve (esquisse). Normalisons les prix sur le simplexe unitaire $\Delta$. Définissons une application d'ajustement des prix $f: \Delta \to \Delta$ qui augmente le prix des biens en excès de demande. Par le théorème du point fixe de Brouwer, $f$ a un point fixe $p^*$. Au point fixe, $z(p^*) = 0$ — tous les marchés s'équilibrent.
Pour une économie à 2 consommateurs et 2 biens, la boîte d'Edgeworth fournit une visualisation complète. Les dimensions de la boîte sont égales aux dotations totales. L'origine du consommateur 1 est en bas à gauche, celle du consommateur 2 en haut à droite. Chaque point de la boîte est une allocation réalisable.
Deux consommateurs avec des préférences Cobb-Douglas. Déplacez le point de dotation pour explorer comment l'équilibre walrasien, la courbe des contrats et le noyau changent.
Figure 10.1 (Interactif). La boîte d'Edgeworth. Le point orange est la dotation. Le point vert est l'équilibre walrasien. La courbe rouge est la courbe des contrats (toutes les allocations Pareto-efficientes). La zone ombrée du cœur montre les allocations que les deux consommateurs préfèrent à la dotation. La droite de budget passe par la dotation avec une pente $-p_x/p_y$.
Consommateur 1 : $u_1 = x_1^{1/2}y_1^{1/2}$, dotation $(4, 0)$. Consommateur 2 : $u_2 = x_2^{1/2}y_2^{1/2}$, dotation $(0, 4)$.
L'équilibre de marché donne $p_x = p_y$, et l'allocation d'équilibre est $x_1^* = y_1^* = 2$, $x_2^* = y_2^* = 2$.
Chaque consommateur échange la moitié de sa dotation contre l'autre bien, finissant avec des quantités égales des deux biens.
Preuve. Nous procédons par contradiction. Supposons que l'allocation d'équilibre walrasien $x^*$ aux prix $p^*$ n'est pas Pareto optimale. Alors il existe une allocation réalisable $x'$ avec tout le monde au moins aussi bien loti et quelqu'un strictement mieux loti.
Étape 1. Pour le consommateur $j$ qui est strictement mieux loti : puisque $x_j^*$ maximisait l'utilité et $x_j'$ est strictement préféré, $x_j'$ devait être inabordable : $p^* \cdot x_j' > p^* \cdot \omega_j$.
Étape 2. Pour tout consommateur $i$ : par non-satiété locale, $p^* \cdot x_i' \geq p^* \cdot \omega_i$.
Étape 3. En sommant : $\sum_i p^* \cdot x_i' > \sum_i p^* \cdot \omega_i$.
Étape 4. Mais la faisabilité exige $\sum_i x_i' = \sum_i \omega_i$, donnant $\sum_i p^* \cdot x_i' = \sum_i p^* \cdot \omega_i$. Contradiction. $\square$
La preuve n'utilise que la non-satiété locale et l'épuisement du budget. Elle ne nécessite ni convexité, ni différentiabilité, ni forme fonctionnelle spécifique. Cette généralité est ce qui rend le théorème puissant.
Interprétation. Le premier théorème du bien-être est l'énoncé formel de la « main invisible » d'Adam Smith. Les marchés concurrentiels produisent une allocation qu'aucun réarrangement ne peut améliorer sans détériorer la situation de quelqu'un. Mais les hypothèses (marchés complets, comportement preneur de prix, pas d'externalités, pas de biens publics, information complète) définissent exactement quand la main invisible échoue.
Consommateur 1 : $u_1 = x_1^{1/2}y_1^{1/2}$, dotation $(4, 0)$. Consommateur 2 : $u_2 = x_2^{1/2}y_2^{1/2}$, dotation $(0, 4)$.
D'après l'exemple 10.4, l'équilibre est $x_1^* = y_1^* = x_2^* = y_2^* = 2$ à $p_x = p_y$.
Vérification de l'optimalité de Pareto : À l'équilibre, $MRS_1 = y_1/x_1 = 1$ et $MRS_2 = y_2/x_2 = 1$. Puisque $MRS_1 = MRS_2 = p_x/p_y$, les courbes d'indifférence sont tangentes — l'allocation est sur la courbe des contrats.
Vérification de l'absence d'amélioration parétienne : Toute réallocation donnant au consommateur 1 plus du bien $x$ (disons $x_1 = 3$) nécessite $x_2 = 1$. Alors $u_1 = \sqrt{3 \cdot y_1}$ et $u_2 = \sqrt{1 \cdot y_2}$ avec $y_1 + y_2 = 4$. Pour que le consommateur 1 gagne ($u_1 > \sqrt{4} = 2$), il faut \$1y_1 > 4$, donc $y_1 > 4/3$, laissant $y_2 < 8/3$, donnant $u_2 = \sqrt{8/3} < 2 = u_2^*$. Le consommateur 2 est moins bien loti. Aucune amélioration parétienne n'existe.
L'équilibre walrasien se situe sur la courbe des contrats (Pareto-efficient). Activez « Améliorations de Pareto ? » pour vérifier : à l'équilibre, la région en forme de lentille où les deux consommateurs peuvent gagner est vide. À la dotation, elle ne l'est pas.
Interactif 10.3. Basculez entre la vue de l'équilibre (où aucune amélioration parétienne n'existe) et la dotation (où la lentille ombrée montre les échanges mutuellement bénéfiques). La position de l'équilibre sur la courbe des contrats prouve visuellement l'efficience.
Interprétation. Le second théorème du bien-être dit que l'efficience et l'équité sont des problèmes séparables. La société peut choisir n'importe quelle distribution Pareto-efficiente en deux étapes :
Les marchés produiront alors un équilibre concurrentiel qui est à la fois efficient (par le premier théorème du bien-être) et atteint la distribution souhaitée.
Pourquoi c'est important pour la politique. Ne distordez pas les marchés pour atteindre l'équité (cela sacrifie l'efficience). Utilisez plutôt des transferts forfaitaires pour redistribuer, puis laissez les marchés fonctionner. L'implication de droite : laissez les marchés opérer librement. L'implication de gauche : redistribuez autant que vous le souhaitez. Les deux peuvent être atteints simultanément — en théorie.
Pourquoi cela échoue en pratique. Les transferts forfaitaires nécessitent des informations sur les types des individus que le gouvernement ne possède pas. La redistribution réelle utilise des taxes distorsives (revenu, plus-values, patrimoine) qui modifient les incitations et créent des pertes sèches. Ce problème d'information est le sujet de la conception de mécanismes (chapitre 11) et de la fiscalité optimale (chapitre 16).
Dans les grandes économies, l'ensemble des allocations du cœur (allocations qu'aucune coalition ne peut améliorer) se réduit à l'ensemble des allocations d'équilibre walrasien. C'est le théorème d'équivalence du cœur — l'équilibre concurrentiel est le seul résultat qui survit à la concurrence entre toutes les coalitions possibles.
Nous modélisons le marché de limonade de Maya comme une économie d'échange à 2 consommateurs et 2 biens dans une boîte d'Edgeworth.
Configuration : Maya et Alex. Deux biens : limonade ($L$) et cookies ($C$). Maya commence avec 45 limonades et 0 cookies. Alex commence avec 0 limonades et 40 cookies.
Préférences : $u_M = L_M^{0.5}C_M^{0.5}$, $u_A = L_A^{0.3}C_A^{0.7}$.
L'équilibre de marché donne $p_L/p_C = 8/15 \approx 0.533$.
Équilibre : Maya : $(L_M, C_M) = (22.5, 12)$. Alex : $(L_A, C_A) = (22.5, 28)$.
Par le premier théorème du bien-être, cette allocation est Pareto optimale.
Arrow-Debreu (1954) : la preuve d'existence. Kenneth Arrow et Gérard Debreu ont prouvé qu'un équilibre concurrentiel existe sous des hypothèses faibles (préférences convexes, pas d'externalités). En utilisant le théorème du point fixe de Kakutani, ils ont montré qu'un ensemble de prix existe qui équilibre tous les marchés simultanément — formalisant la « main invisible » d'Adam Smith deux siècles après La Richesse des Nations.
L'accomplissement mathématique était remarquable : réduire le problème à montrer qu'une certaine correspondance (l'excès de demande en fonction des prix) satisfait les conditions d'un point fixe. Le résultat ne nécessitait que la non-satiété locale et la convexité — pas la différentiabilité ni des formes fonctionnelles spécifiques.
La Théorie de la Valeur de Debreu (1959) a distillé ce cadre en un système axiomatique rigoureux, lui valant le prix Nobel en 1983. Arrow avait déjà reçu le Nobel en 1972 pour ses contributions plus larges à l'équilibre général et au choix social. Leur preuve d'existence reste le fondement mathématique de l'économie du bien-être et des deux théorèmes du bien-être démontrés dans ce chapitre.
| Libellé | Équation | Description |
|---|---|---|
| Éq. 10.1 | $e(p, \bar{u}) = \min p \cdot x$ s.t. $u(x) \geq \bar{u}$ | Minimisation de la dépense |
| Éq. 10.2 | $h_i = \partial e / \partial p_i$ | Lemme de Shephard |
| Éq. 10.3–10.4 | $e(p, V(p,m)) = m$; $V(p, e(p,\bar{u})) = \bar{u}$ | Identités de dualité |
| Éq. 10.5 | $h(p, \bar{u}) = x(p, e(p, \bar{u}))$ | Hicksienne = marshallienne au revenu compensé |
| Éq. 10.6 | $x_i = -(\partial V/\partial p_i)/(\partial V/\partial m)$ | Identité de Roy |
| Éq. 10.7 | $S_{ij} = \partial h_i/\partial p_j = \partial x_i/\partial p_j + x_j \partial x_i/\partial m$ | Élément de la matrice de Slutsky |
| Éq. 10.8 | $z(p) = \sum_i x_i(p) - \sum_i \omega_i$ | Excès de demande agrégé |