第8章介绍了索洛模型：资本积累驱动产出趋向稳态，但人均产出的长期增长需要外生技术进步。本章提出的问题是：技术进步从何而来？如果创意驱动增长，而创意是人们有目的性的决策所产生的，那么增长本身就是内生的。
我们首先通过拉姆齐-卡斯-库普曼斯框架（最优储蓄）形式化索洛模型的洞见，然后转向内生增长：AK模型、罗默的品种扩展模型以及阿吉翁-豪伊特的熊彼特式创造性破坏。
预备知识：第8章（索洛模型）。数学预备知识：动态优化、相图、微分方程。
相关文献：Ramsey（1928）；Cass（1965）；Koopmans（1965）；Diamond（1965）；Romer（1986, 1990）；Lucas（1988）；Aghion & Howitt（1992）；Mankiw, Romer & Weil（1992）。
索洛模型假设固定储蓄率 $s$。拉姆齐模型通过让代表性家庭选择消费和储蓄以最大化终身效用来内生化储蓄。
偏好：一个具有CRRA效用的无限寿命代表性家庭：
参数 $\sigma$ 是相对风险厌恶系数（跨期替代弹性的倒数，IES $= 1/\sigma$）。技术：$y = f(k)$ 以有效工人人均表示，满足规模报酬不变。资本折旧率为 $\delta$；人口增长率为 $n$；TFP增长率为 $g$。
一阶条件：$\lambda = c^{-\sigma}$（方程 13.3）和 $\dot{\lambda}/\lambda = \rho - [f'(k) - (n + g + \delta)]$（方程 13.4）。
这就是凯恩斯-拉姆齐规则。当资本边际产品超过有效贴现率时，消费增长。
在稳态：$f'(k^*) = \rho + \delta + \sigma g$（修正黄金律）和 $c^* = f(k^*) - (n + g + \delta)k^*$。
拉姆齐经济体相对于黄金律（$k^* < k_g$）总是资本积累不足，因为不耐心的家庭今天消费过多。动态无效率是不可能的。
图 13.1.拉姆齐相图。垂直蓝线是 $\dot{c}=0$ 轨迹线；驼峰形红色曲线是 $\dot{k}=0$ 轨迹线。绿色虚线是鞍点路径。箭头显示各区域的动态。调整参数并点击以发射轨迹。
设 $f(k) = k^{1/3}$，$\rho = 0.04$，$\delta = 0.05$，$g = 0.02$，$\sigma = 2$：
$\dot{c} = 0$：$f'(k^*) = (1/3)k^{*-2/3} = 0.04 + 0.05 + 2(0.02) = 0.13$
$k^* = [(1/3)/0.13]^{3/2} = 4.11$， $c^* = (4.11)^{1/3} - (0.09)(4.11) = 1.23$
从 $k_0 = 1 < k^* = 4.11$（参数来自例 13.1）出发，刻画鞍点路径动态。
第1步：在 $k_0 = 1$ 时，$f'(1) = 1/3 > 0.13 = \rho + \delta + \sigma g$，所以 $\dot{c}/c > 0$：消费正在上升。
第2步：在鞍点路径上，$c_0$ 必须跳跃到使轨迹收敛于 $(k^*, c^*)$ 的值。如果 $c_0$ 过高，消费增长过快，资本被耗尽，经济体将达到 $k = 0$。如果 $c_0$ 过低，资本将永远积累，违反横截性条件。
第3步：沿鞍点路径，$k$ 和 $c$ 单调上升趋向稳态。经济最初增长迅速（高 $f'(k)$），随着 $k \to k^*$ 而减速。
关键洞见：鞍点路径是唯一的理性预期均衡。前瞻性家庭必须精确选择 $c_0$ 以落在该路径上。
索洛模型和拉姆齐模型预测，由于资本递减报酬，人均产出增长最终将停止（没有外生的 $g$）。AK模型消除了递减报酬。
其中 $A$ 是常数，$K$ 被广义解释（物质资本+人力资本+知识）。
增长是永久的且与储蓄率成正比。不存在稳态——没有趋同。政策（更高的 $s$）永久影响增长率，而不仅仅是水平。
图 13.2.索洛模型与AK模型。在索洛模型（左）中，更高的储蓄率使稳态上移——水平效应。在AK模型（右）中，更高的储蓄率永久提高增长率。拖动滑块进行比较。
保罗·罗默的关键洞见：创意是非竞争性的。一个微芯片设计一旦被创造出来，可以同时被任意数量的企业使用。非竞争性意味着规模报酬递增。罗默通过引入垄断竞争解决了与竞争的不相容——创新者通过专利获得临时垄断利润。
新品种由研究人员（$L_A$）在现有知识（$A$）基础上创造。在平衡增长路径上：
规模效应：更大的经济体（更多潜在研究人员）增长更快。这既是模型的预测，也是其最受争议的特征。
图 13.3.罗默的创意生产。左轴显示创意增长率与研发劳动份额的函数关系。右面板显示规模效应：更大的经济体（更多的总劳动力）在相同的研发份额下产生更多增长。拖动滑块进行探索。
一个经济体有 $L = 1{,}000{,}000$ 名工人，研发劳动力份额 $L_A/L = 0.05$，研发生产率 $\delta_A = 0.0004$。
第1步：研究人员数量：$L_A = 0.05 \times 1{,}000{,}000 = 50{,}000$。
第2步：创意增长率：$g_A = \delta_A L_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$ ……但我们需要解读单位。设 $\delta_A = 0.0004$ 每位研究员，$g_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$？那将给出2000%/年。让我们重新校准：$\delta_A = 0.00004$，则 $g_A = 0.00004 \times 50{,}000 = 2.0$，即2.0%/年。
第3步：在平衡增长路径上，$g_Y = g_A = 2.0\%$/年。倍增时间：$\ln 2 / 0.02 = 34.7$ 年。
第4步（规模效应）：如果人口翻倍至200万，研发份额不变，$L_A = 100{,}000$，且 $g_A = 4.0\%$/年。罗默模型预测更大的经济体增长更快——这一预测在实证上受到了质疑。
在罗默模型中，推导所有增长率恒定的平衡增长路径（BGP）。
第1步：创意生产：$\dot{A}/A = \delta_A L_A$。在BGP上，$L_A$ 是常数（劳动力的固定比例），所以 $g_A = \delta_A L_A$ 是常数。
第2步：最终产品生产：$Y = A^\phi K^\alpha L_Y^{1-\alpha}$（其中 $\phi$ 捕捉创意外部性）。在BGP上，$g_Y = \phi g_A + \alpha g_K + (1-\alpha)g_{L_Y}$。
第3步：资本通过储蓄积累：$g_K = sY/K - \delta$。在BGP上，$g_K = g_Y$（$K/Y$ 比率恒定）。
第4步：代入 $g_K = g_Y$ 和 $g_{L_Y} = n$：$g_Y = \phi g_A + \alpha g_Y + (1-\alpha)n$，所以 $g_Y(1-\alpha) = \phi g_A + (1-\alpha)n$，得 $g_Y = \frac{\phi}{1-\alpha}g_A + n$。
第5步：人均增长：$g_{Y/L} = g_Y - n = \frac{\phi}{1-\alpha}\delta_A L_A$。生活水平的增长与研发投入成正比。
阿吉翁和豪伊特（1992）通过创造性破坏为增长建模。创新遵循泊松过程；每次创新将质量提高 $\gamma > 1$ 倍。
两种对立的外部性：商业窃取效应（创新者获取在位者的租金——激励过度）和知识溢出效应（创新者未能获取对未来创新者的好处——激励不足）。实证证据表明溢出效应通常占主导，为研发补贴提供了理论依据。
每根柱子代表一个行业在阶梯上的当前质量水平。点击步进推进一轮创新：获得创新的行业质量跃升 $\gamma$ 倍，而被取代的在位者闪烁红色。更高的研发强度意味着每步有更多行业创新。
图 13.5.阿吉翁-豪伊特质量阶梯。每根柱子代表一个行业；高度是对数质量水平。点击"步进"触发一轮创新——创新行业跳升（蓝色），而被取代的在位者闪烁红色。更高的研发强度增加每期创新行业的比例，提高总增长率。观察创造性破坏如何驱动增长。
在阿吉翁-豪伊特模型中，到达率 $\lambda \phi(n) = \lambda n$（研发劳动 $n$ 的线性函数），质量阶梯步长 $\gamma = 1.2$，利率 $r = 0.05$：
第1步：增长率：$g = \lambda n \ln\gamma$。当 $\lambda = 0.5$ 且 $n = 0.10$ 时：$g = 0.5 \times 0.10 \times \ln(1.2) = 0.5 \times 0.10 \times 0.182 = 0.0091$，即0.91%/年。
第2步：社会计划者在考虑到每项创新都为未来创新者创造知识溢出的情况下最大化福利。私人创新者忽略了这一外部性。
第3步：商业窃取效应：创新者获取在位者的租金（过度私人激励 = $\pi_{old}$）。知识溢出：创新者提高了未来创新者的质量前沿（私人激励不足）。
第4步：如果溢出效应占主导（典型情况），社会最优的 $n^* > n_{market}$，证明了研发补贴的合理性。如果商业窃取效应占主导，市场在研发上过度投资。
无条件趋同失败：1960年世界上许多最贫穷的国家今天仍然最贫穷。条件趋同成立：在控制稳态决定因素后，较贫穷的国家增长更快。趋同速度：约2%/年（半衰期约35年）。
图 13.4.趋同可视化。两个国家从不同的资本存量出发（蓝色k0=1，红色k0=8），但共享相同的基本面。两者收敛到相同的稳态。调整制度质量A会移动共同稳态。观看动画趋同路径。
MRW在索洛模型中加入了人力资本（$h$）：
MRW表明扩展索洛模型解释了约80%的跨国收入差异——相比基本模型（约60%）有了显著改善。
图 13.5.MRW式回归：对数人均GDP与对数投资率，按人力资本（教育）着色。人力资本更高的国家（更大、更绿的点）往往更富有。拟合线显示投资与收入之间的强正相关关系。悬停查看国家详情。
TFP增长（索洛残差）在发达经济体的增长中占很大比重。仅靠资本积累无法驱动持续增长。
1966年至1990年间，韩国GDP以10.3%/年的速度增长。使用增长核算进行分解。
数据：资本增长 $g_K = 13.7\%$/年。劳动增长 $g_L = 6.4\%$/年（包括质量调整）。资本份额 $\alpha = 0.35$。
第1步：资本贡献：$\alpha \cdot g_K = 0.35 \times 13.7\% = 4.8\%$。
第2步：劳动贡献：$(1-\alpha) \cdot g_L = 0.65 \times 6.4\% = 4.2\%$。
第3步：TFP残差：$g_A = g_Y - \alpha g_K - (1-\alpha)g_L = 10.3\% - 4.8\% - 4.2\% = 1.3\%$。
解读：要素积累（资本+劳动）解释了韩国增长的87%。TFP仅占13%。这引发了"汗水与灵感"之争：亚洲奇迹是由粗放型积累驱动的（Young, 1995）还是真正的生产率提升？
曼昆、罗默和韦尔（1992）估计了扩展索洛模型：
$$\ln(Y/L) = \text{const} + \frac{\alpha}{1-\alpha-\beta}\ln s_K + \frac{\beta}{1-\alpha-\beta}\ln s_H - \frac{\alpha+\beta}{1-\alpha-\beta}\ln(n+g+\delta)$$
第1步：设 $\alpha = 1/3$ 且 $\beta = 1/3$：$\ln s_K$ 的系数为 $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$；$\ln s_H$ 的系数为 $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$；$\ln(n+g+\delta)$ 的系数为 $-\frac{2/3}{1/3} = -2.0$。
第2步：一个将物质投资率（$s_K$）翻倍的国家，稳态收入增加 $\exp(1.0 \times \ln 2) = 2.0$，即100%。
第3步：一个将人力资本投资（$s_H$）翻倍的国家收入也翻倍。人力资本与物质资本同样重要。
第4步：扩展模型（R$^2 \approx 0.78$）大幅优于基本索洛模型（R$^2 \approx 0.59$）。加入人力资本解决了基本模型预测的"过高"趋同速度问题。
索洛1987年的妙语："到处都能看到计算机时代，唯独在生产率统计数据中看不到。"
尽管在1970年代和1980年代对信息技术进行了大量投资，美国的全要素生产率增长实际上放缓了——从1948-73年的1.5%/年降至1973-95年的0.3%/年。计算机正在改变办公室、工厂和日常生活，但增长统计数据却毫无反映。
出现了三种解释：（1）测量误差——国民账户难以捕捉新商品和服务的质量改进。如何衡量电子邮件取代邮政信件带来的生产率收益？（2）实施滞后——通用技术需要互补性投资（重组、培训、新的商业流程），这需要数十年时间。电力展现了类似的模式：1880年代发明，生产率收益直到1920年代才显现。（3）再分配而非创造——一些信息技术投资只是在企业间转移了租金，而没有提高总生产率。
解决：生产率在1990年代末飙升（TFP增长在1995-2004年跃升至1.4%/年），集中在使用信息技术的部门，如零售和批发贸易。生产率悖论是真实的但是暂时的——计算机时代最终出现在了统计数据中，证实了索洛框架的同时也揭示了增长核算实时应用的局限性。
卡拉尼（GDP=100亿美元，人口=500万，s=0.15）将GDP的0.5%用于研发：约500名研究人员。在罗默框架中，这可能不足以进行有意义的前沿创新。
但三个因素有所帮助：（1）知识扩散——创意是非竞争性的，所以卡拉尼可以从国外采用技术。（2）专业化——将研发集中在热带农业等利基领域。（3）制度——第12章的改革通过减少腐败提高了TFP。
增长核算（2010-2025）：GDP增长4.0%/年 = 资本积累（2.0%）+ 劳动增长（1.0%）+ TFP增长（1.0%）。1%的TFP增长由制度改革和技术采用驱动，而非前沿创新。
| 标签 | 公式 | 描述 |
|---|---|---|
| 方程 13.1 | $\max \int e^{-\rho t}u(c)dt$ s.t. $\dot{k} = f(k)-c-(n+g+\delta)k$ | 拉姆齐家庭问题 |
| 方程 13.5 | $\dot{c}/c = (1/\sigma)[f'(k) - \rho - \delta - \sigma g]$ | 欧拉方程 |
| 方程 13.6 | $\lim_{t\to\infty} \lambda(t)k(t)e^{-\rho t} = 0$ | 横截性条件 |
| 方程 13.7 | $Y = AK$ | AK生产函数 |
| 方程 13.8 | $g_Y = sA - \delta$ | AK增长率 |
| 方程 13.9 | $\dot{A} = \delta_A L_A A$ | 罗默创意生产 |
| 方程 13.10 | $g_A = \delta_A L_A$ | 罗默平衡增长率 |
| 方程 13.12 | $g = \lambda\phi(n)\ln\gamma$ | 阿吉翁-豪伊特增长率 |
| 方程 13.13 | MRW增强索洛回归 | 跨国收入方程 |