第2章为我们提供了供需模型：曲线、均衡、移动和干预。但该模型只告诉我们价格和数量变化的方向，而非其幅度。当需求增加时，价格会上升多少？当政府征税时，谁实际承担税负——买方还是卖方？要回答这些问题，我们需要一种衡量响应程度的工具：弹性。
本章还引入了福利分析框架——消费者剩余、生产者剩余和无谓损失——使我们能够评估市场结果是否有效率，并衡量干预措施的成本。弹性和剩余分析结合在一起，为我们提供了对市场和政策做出定量判断（而不仅仅是定性判断）的工具。
说"价格上升时需求量下降"是定性描述。企业主需要知道：下降多少？如果我提价10%，会失去5%的顾客还是50%？答案决定了提价是有利可图还是灾难性的。弹性提供了答案。
根据需求定律，$\varepsilon_d$ 通常为负值（数量与价格反向变动）。各教材的惯例不同——有些取绝对值。我们保留负号，在比较大小时使用 $|\varepsilon_d|$。
为什么使用百分比？因为百分比使弹性无量纲且可跨商品比较。1美元的价格上涨对2美元的咖啡和50,000美元的汽车意味着截然不同的事情。但10%的价格上涨无论单位如何都是有意义的比较。
| $|\varepsilon_d|$ | 术语 | 含义 | 例子 |
|---|---|---|---|
| $> 1$ | 富有弹性 | 数量变化超过比例 | 餐厅用餐、度假旅行 |
| $= 1$ | 单位弹性 | 数量按比例变化 | 收益最大化点 |
| $< 1$ | 缺乏弹性 | 数量变化小于比例 | 汽油（短期）、胰岛素 |
| $= 0$ | 完全无弹性 | 数量不变（垂直曲线） | 无替代品的救命药物 |
| $= \infty$ | 完全弹性 | 任何价格上涨都会消灭需求（水平曲线） | 竞争市场中某一农民的小麦 |
对于连续需求函数 $Q_d = a - bP$，导数 $dQ_d/dP = -b$，因此：
注意一个重要事实：即使线性需求曲线的斜率 $-b$ 是恒定的，弹性也不是恒定的。它取决于比率 $P/Q$，而这个比率沿曲线变化。在高价处（$P$ 大、$Q$ 小），$P/Q$ 大，使 $|\varepsilon_d|$ 大——需求富有弹性。在低价处（$P$ 小、$Q$ 大），$P/Q$ 小，使 $|\varepsilon_d|$ 小——需求缺乏弹性。在需求曲线的中点，$|\varepsilon_d| = 1$。
这是一个让许多学生困惑的微妙之处：陡峭的需求曲线不等于缺乏弹性，平坦的曲线也不等于富有弹性。斜率和弹性是不同的概念。斜率（$\Delta Q/\Delta P$）使用绝对变化量；弹性使用百分比变化。
图 3.1.即使斜率恒定，弹性沿线性需求曲线仍会变化。上部为富有弹性（$|\varepsilon_d| > 1$），中点为单位弹性（$|\varepsilon_d| = 1$），下部为缺乏弹性（$|\varepsilon_d| < 1$）。将鼠标悬停在曲线上的任意点查看精确弹性值。
当我们没有连续函数，只有两个离散数据点 $(P_1, Q_1)$ 和 $(P_2, Q_2)$ 时，计算弹性面临不对称问题：以 $(P_1, Q_1)$ 为基准得出的答案与以 $(P_2, Q_2)$ 为基准不同。中点（弧）弹性法通过使用两点的平均值作为基准来解决这一问题：
弧弹性无论从哪个方向计算变化——从点1到点2还是从点2到点1——都给出相同的答案。
使用 $Q_d = 100 - 20P$：
在 $P = 3$、$Q = 40$ 时的点弹性：
$\varepsilon_d = -20 \cdot \frac{3}{40} = -1.5$ —— 富有弹性。价格上升1%将使需求量减少1.5%。
在 $P = 1$、$Q = 80$ 时的点弹性：
$\varepsilon_d = -20 \cdot \frac{1}{80} = -0.25$ —— 缺乏弹性。价格上升1%仅使需求量减少0.25%。
在 $(P_1 = 2, Q_1 = 60)$ 和 $(P_2 = 3, Q_2 = 40)$ 之间的弧弹性：
$\varepsilon_d^{arc} = \frac{40 - 60}{3 - 2} \cdot \frac{2 + 3}{60 + 40} = \frac{-20}{1} \cdot \frac{5}{100} = -1.0$ —— 在此区间为单位弹性。
是什么使某些商品的需求富有弹性而另一些缺乏弹性？五个因素很重要：
1. 近似替代品的可获得性。这是最重要的决定因素。如果存在许多替代品，消费者在价格上升时很容易转向其他商品——需求富有弹性。如果替代品很少或没有，消费者别无选择——需求缺乏弹性。
关键洞见：弹性取决于市场定义的宽窄。对"饮料"的需求非常缺乏弹性。对"咖啡"的需求有些缺乏弹性。对"星巴克咖啡"的需求相当富有弹性。对"第五大道和主街交叉口的星巴克的大杯拿铁"的需求极其富有弹性。
2. 必需品与奢侈品。必需品——糖尿病患者的胰岛素、基本食品、冬季取暖燃料——需求缺乏弹性。奢侈品——度假旅行、高级餐饮、设计师服装——需求富有弹性。
3. 时间范围。长期需求比短期更富有弹性。短期汽油需求非常缺乏弹性（$|\varepsilon_d| \approx 0.2$）；长期需求更富有弹性（$|\varepsilon_d| \approx 0.7$）。
4. 预算占比。在消费者预算中占比较大的商品需求更富有弹性。
5. 市场定义的宽窄程度。定义越窄的市场需求越富有弹性。"食品"缺乏弹性。"农贸市场的有机传家宝番茄"非常富有弹性。
弹性概念超越了自身价格需求的范畴。
| $\varepsilon_I$ | 分类 | 例子 |
|---|---|---|
| $> 1$ | 奢侈品（收入弹性大于1的正常品） | 有机食品、国际旅行、私立教育 |
| \$1 < \varepsilon_I < 1$ | 必需品（收入弹性小于1的正常品） | 基本食品杂货、公用事业、日常服装 |
| $< 0$ | 低档品 | 方便面、公交车票、超市自有品牌 |
随着收入增加，必需品的预算份额下降（恩格尔定律），奢侈品的份额上升。
$\varepsilon_{xy} > 0$：两种商品为替代品。$\varepsilon_{xy} < 0$：两种商品为互补品。$\varepsilon_{xy} = 0$：两种商品无关。
交叉价格弹性在反垄断经济学中极为重要。监管者用它来界定市场：如果两种产品的交叉价格弹性很高（强替代关系），则它们属于同一市场。
供给弹性通常为正值。它取决于闲置产能、投入品的可获得性和时间范围。
总收益为 $TR = P \times Q$。当价格变化时，两种力量方向相反：较高的价格意味着每单位收益更多（价格效应），但售出的数量更少（数量效应）。哪种力量占优取决于弹性。
对其求导：
由于 $\varepsilon_d < 0$，$dTR/dP$ 的符号取决于 $|\varepsilon_d|$ 大于还是小于1：
| 如果需求是…… | $|\varepsilon_d|$ | 价格上升 → 总收益…… | 价格下降 → 总收益…… |
|---|---|---|---|
| 富有弹性 | $> 1$ | 下降（数量效应占优） | 上升 |
| 单位弹性 | $= 1$ | 不变 | 不变 |
| 缺乏弹性 | $< 1$ | 上升（价格效应占优） | 下降 |
使用 $Q_d = 100 - 20P$： $TR = P(100 - 20P) = 100P - 20P^2$。
求最大值：$dTR/dP = 100 - 40P = 0 \implies P = 2.50$。
在 $P = 2.50$ 时：$Q = 50$，$TR_{max} = 125$。弹性：$\varepsilon_d = -20 \times (2.50/50) = -1.0$。单位弹性——收益在 $|\varepsilon_d| = 1$ 时最大化。
图 3.2.移动价格滑块。左图：当前价格高亮显示的需求曲线。右图：总收益曲线——一条在 $P = 2.50$ 处（需求为单位弹性）达到峰值的倒抛物线。
弹性告诉我们数量对价格的反应有多大。剩余分析告诉我们买方和卖方从市场交易中获得多少收益——以及当市场被扭曲时损失了多少。
一个基本结论：总剩余在竞争均衡数量处达到最大值。任何偏离 $Q^*$ 的情况——无论是税收、价格管制、垄断还是配额——都会减少总剩余。损失的剩余称为无谓损失。
使用 $Q_d = 100 - 20P$ 和 $Q_s = 20P - 10$。均衡：$P^* = 2.75$，$Q^* = 45$。
$CS = \frac{1}{2}(5.00 - 2.75)(45) = 50.63$
$PS = \frac{1}{2}(2.75 - 0.50)(45) = 50.63$
$TS = 50.63 + 50.63 = 101.25$
图 3.3.拖动价格偏离均衡价格（\$1.75）观察CS和PS的变化。每当价格偏离均衡时，就会出现无谓损失三角形——这些是不再发生的互利交易。
一个让大多数人惊讶的问题：当政府对卖方征税时，卖方真的承担税负吗？答案是：不一定。税收归宿——谁真正为税买单——取决于供给和需求的相对弹性，而非法律上由谁缴税。
对卖方征收每单位 $t$ 的税会在买方支付的价格（$P_B$）和卖方收到的价格（$P_S$）之间形成一个楔子：$P_B = P_S + t$。
规则：弹性更小的一方承担更多税负。替代选择更少的一方无法通过调整行为轻易逃避税收。他们被"困住"了——税负落在他们身上。
对柠檬水卖家征收每杯 $t = 0.50$ 的税（其中 $Q_d = 100 - 20P$，$Q_s = 20P - 10$）：
$P_B = 2.75 + 0.5(0.50) = 3.00$ | $P_S = 2.75 - 0.5(0.50) = 2.50$
$Q_{new} = 100 - 20(3.00) = 40$
买方承担 \$1.50 税收中的 \$1.25（50%）。卖方承担另外 \$1.25（50%）。由于 $b = d = 20$——绝对斜率相等，税负均分。
图 3.4.固定 \$1.00 的税。改变需求斜率观察税负转移：更陡峭（更缺乏弹性）的需求意味着买方承担更多税负，因为他们难以轻易减少消费。更平坦（更富有弹性）的需求意味着卖方承担更多。
无谓损失不是从一方到另一方的转移。税收收入是转移（从私人部门到政府）。但无谓损失是净损失——它不归任何人。这是低效率的代价。
其中 $\Delta Q = Q^*_{no\,tax} - Q^*_{tax}$ 是税收导致的数量减少。
根据例 3.4：$t = 0.50$，$\Delta Q = 45 - 40 = 5$。
$DWL = \frac{1}{2}(0.50)(5) = 1.25$
验证：$TS_{original} = 101.25$。征税后：$CS = 40.00$，$PS = 40.00$，税收 $= 20.00$，所以 $TS = 100.00$。差额 \$1.25 即为无谓损失。
对于线性供给和需求，$\Delta Q$ 与 $t$ 成正比。由于 $DWL = \frac{1}{2} t \cdot \Delta Q$ 且 $\Delta Q \propto t$：
税率翻倍，无谓损失翻两番。这有一个深远的含义：以低税率对多种商品广泛征税，比以高税率集中对少数商品征税更有效率。
图 3.5.将税收滑块从 \$1 拖动到 \$1。观察无谓损失三角形（黄色）随税率的平方增长。在 $t = 1$ 时，DWL = \$1.00。在 $t = 2$ 时，DWL = \$10.00——是前者的四倍。紫色矩形为税收收入，当高税率摧毁太多交易时，它最终会缩小。
当供给和需求更富有弹性时，无谓损失更大。弹性市场反应灵敏——税收消除了许多交易。缺乏弹性的市场反应迟钝——税收几乎不改变行为，因此很少有交易消失。
这产生了一个矛盾：最有效率的税收（最小无谓损失）落在需求缺乏弹性的商品上——但这也是买方承担最大税负的税收。效率与公平可能发生冲突。
图 3.6.同一税收应用于弹性市场（左，$b = 40$）和非弹性市场（右，$b = 5$）。弹性市场损失更多交易，无谓损失更大。拖动税收滑块进行比较。
市议会为增加收入，对柠檬水摊贩征收每杯 \$1.50 的税。
回忆第2章：$Q_d = 100 - 20P$，$Q_s = 20P - 10$，均衡价格 $P^* = 2.75$，均衡数量 $Q^* = 45$。
征税前：收入 = \$1.75 \times 45 = \\$123.75$/天。CS = \$10.63，PS = \$10.63，TS = \$101.25。
征税后（$t = 0.50$）：买方支付 \$1.00；玛雅收到 \$1.50；她卖出40杯。
玛雅的收入：\$1.50 \times 40 = \\$100.00$/天（从 \$123.75 下降）。
CS = \$10.00（下降 \$10.63）。PS = \$10.00（下降 \$10.63）。税收收入 = \$10.00。DWL = \$1.25。
玛雅每天 \$100.00 的收入现已低于她在书店工作的机会成本 \$120/天（第1章）。税收使她从勉强可行变为明显不盈利。每天卖不出去的五杯代表了本可为买卖双方创造价值的交易。\$1.25 的无谓损失是这五笔交易本可创造的总价值。
| 标签 | 公式 | 描述 |
|---|---|---|
| 式 3.1 | $\varepsilon_d = (\Delta Q_d / \Delta P)(P/Q)$ | 需求的价格弹性 |
| 式 3.2 | $\varepsilon_d = -b \cdot P/Q$ | 线性需求的点弹性 |
| 式 3.3 | $\varepsilon_d^{arc} = \frac{Q_2-Q_1}{P_2-P_1} \cdot \frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2}$ | 弧弹性（中点法） |
| 式 3.4 | $\varepsilon_I = (\Delta Q_d / \Delta I)(I/Q_d)$ | 需求的收入弹性 |
| 式 3.5 | $\varepsilon_{xy} = (\Delta Q_x / \Delta P_y)(P_y/Q_x)$ | 交叉价格弹性 |
| 式 3.6 | $\varepsilon_s = (\Delta Q_s / \Delta P)(P/Q_s)$ | 供给的价格弹性 |
| 式 3.7 | $TR = P \times Q$ | 总收益 |
| 式 3.8 | $dTR/dP = Q(1 + \varepsilon_d)$ | 总收益对价格变化的响应 |
| 式 3.9 | $CS = \int_0^{Q^*} D(Q)\,dQ - P^* Q^*$ | 消费者剩余（一般形式） |
| 式 3.10 | $CS = \frac{1}{2}(P_{max} - P^*)Q^*$ | 消费者剩余（线性需求） |
| 式 3.11 | $PS = P^* Q^* - \int_0^{Q^*} S(Q)\,dQ$ | 生产者剩余（一般形式） |
| 式 3.12 | $PS = \frac{1}{2}(P^* - P_{min})Q^*$ | 生产者剩余（线性供给） |
| 式 3.13 | $TS = CS + PS$ | 总剩余 |
| 式 3.14 | $Q_d(P_B) = Q_s(P_B - t)$ | 税收均衡条件 |
| 式 3.15 | 买方份额 $= \varepsilon_s / (\varepsilon_s + |\varepsilon_d|)$ | 税收归宿——买方 |
| 式 3.16 | 卖方份额 $= |\varepsilon_d| / (\varepsilon_s + |\varepsilon_d|)$ | 税收归宿——卖方 |
| 式 3.17 | $DWL = \frac{1}{2} t \cdot \Delta Q$ | 从量税的无谓损失 |
| 式 3.18 | $DWL \propto t^2$ | 无谓损失随税率平方增长 |