第6章消费者理论与生产者理论
引言
第一部分将需求曲线和供给曲线视为既定的。我们绘制了它们，移动了它们，并衡量了它们产生的剩余。但这些曲线从何而来？本章通过从消费者的最优化问题推导需求、从企业的最优化问题推导供给来回答这个问题。
方法上的转变意义重大。第一部分使用代数和几何。本章引入约束优化——在约束条件下最大化目标函数——使用微积分和拉格朗日方法。回报是，需求曲线和供给曲线不再是假设，而成为更深层基本要素的结果：偏好、技术和价格。
本章篇幅较长，因为它涵盖了两个平行的理论——消费者理论和生产者理论——它们在结构上相互映射。消费者在预算约束下最大化效用；企业在产出目标约束下最小化成本（或在技术约束下最大化利润）。两者都导出切点条件，两者都生成我们在第一部分中视为既定的曲线。
学完本章后，你将能够：
- 使用拉格朗日方法建立并求解消费者的效用最大化问题
- 从效用最大化推导马歇尔需求函数
- 将价格变动分解为收入效应和替代效应（斯勒茨基方程）
- 建立并求解企业的成本最小化和利润最大化问题
- 从生产函数推导短期和长期成本曲线
- 判断规模报酬类型
先修内容：第2章和第3章。数学先修：多元微积分、约束优化（参见附录A复习）。
6.1 偏好与效用
消费者在商品束中进行选择——例如"3个苹果和2根香蕉"或"5小时休闲和200美元消费"等组合。为了建模这种选择，我们需要一种方法来表示消费者的偏好——他们对不同商品束的排序。
偏好。 对束集合上的二元关系$\succsim$。我们用$x \succsim y$表示“消费者弱偏好束x而非y”。严格偏好（$x \succ y$）意味着x严格优于y。无差异（$x \sim y$）意味着两者同样好。
为使偏好具有良好的数学性质以便建模，我们要求三个公理：
- 完备性：对于任意两个商品束 $x$ 和 $y$，要么 $x \succsim y$，要么 $y \succsim x$（或两者皆是）。消费者总能比较任意两个选项。
- 传递性：如果 $x \succsim y$ 且 $y \succsim z$，则 $x \succsim z$。偏好是逻辑一致的——没有循环。
- 连续性：商品束的微小变化导致偏好的微小变化。没有"悬崖边"。
完备性。 理性偏好的一个公理，要求对于任意两个束x和y，消费者都能对它们进行排序：要么$x \succsim y$，要么$y \succsim x$，或两者都成立（无差异）。消费者永远不会“无法决定”。
传递性。 理性偏好的一个公理，要求如果$x \succsim y$且$y \succsim z$，则$x \succsim z$。偏好中没有循环——保持逻辑一致性。
连续性。 一个公理，要求束的微小变化产生偏好排序的微小变化。没有“悬崖”——如果束x优于y，那么足够接近x的束也优于y。
效用函数。 一个实值函数 $U(x_1, x_2)$，它为每个商品束分配一个数值，使得数值越高对应越受偏好的商品束。当偏好满足完备性、传递性和连续性时，该函数存在。
序数效用。 一种效用表示，其中只有束的排序重要，而不是效用数值的大小。任何单调变换$V = g(U)$（其中$g$为严格递增）表示相同的偏好。
在这些条件下，一个基本定理保证了效用函数 $U(x_1, x_2)$ 的存在——一个将每个商品束映射为实数的函数，使得：
$$x \succsim y \iff U(x) \geq U(y)$$
效用越高意味着越受偏好。但数值本身除了排序外没有其他含义。任何单调变换 $V = g(U)$（其中 $g$ 严格递增）代表相同的偏好。这就是序数效用的含义：只有排序重要。
无差异曲线
无差异曲线。 所有产生相同效用水平的束的集合：$\{(x_1, x_2) : U(x_1, x_2) = \bar{u}\}$。
无差异曲线的性质（在良好偏好下）：(1) 向下倾斜：要增加一种商品就必须放弃另一种。(2) 不能相交：否则违反传递性。(3) 越高的曲线 = 越高的效用。(4) 凸向原点（如果偏好是凸的）：混合优于极端。
边际替代率
边际替代率（MRS）。 消费者在保持相同效用水平的情况下，愿意用商品2换取商品1的比率——即无差异曲线斜率的（负值）。
沿无差异曲线，$dU = 0$：
$$MRS_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U = \bar{u}} = \frac{MU_1}{MU_2}$$
(Eq. 6.1)
MRS 是边际效用之比。递减的 MRS：对于凸偏好，随着消费者沿无差异曲线向下移动（更多 $x_1$，更少 $x_2$），MRS 递减。直觉上：你已经拥有的柠檬水越多，你就越不愿意为再多一杯而放弃饼干。
常见效用函数
| 名称 | $U(x_1, x_2)$ | MRS | 主要特征 |
|---|
| 柯布-道格拉斯 | $x_1^a x_2^b$ | $(a/b)(x_2/x_1)$ | 恒定预算份额 |
| 完全替代品 | $ax_1 + bx_2$ | $a/b$（常数） | 可能只购买一种商品 |
| 完全互补品 | $\min(ax_1, bx_2)$ | 在折点处无定义 | 固定消费比例 |
| 拟线性 | $v(x_1) + x_2$ | $v'(x_1)$ | $x_1$ 无收入效应 |
| CES | $(x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$ | $(x_2/x_1)^{1-\rho}$ | 包含以上所有特殊情形 |
6.2 消费者问题
预算约束。 可负担的束的集合：$p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$，其中$p_i$为价格，$m$为收入。预算线的斜率为$-p_1/p_2$，在$x_1$轴上的截距为$m/p_1$，在$x_2$轴上的截距为$m/p_2$。
斜率 $-p_1/p_2$ 是市场交换比率：要多买一单位商品1（花费 $p_1$），消费者必须放弃 $p_1/p_2$ 单位的商品2。
互动：预算约束探索器
拖动滑块改变价格和收入。实时观察预算线的旋转和移动。
Budget line: $x_1$-intercept = 30 | $x_2$-intercept = 60 | Slope = −2.00
消费者问题
效用最大化。 消费者的基本问题：选择在预算约束下产生最高效用的商品束。形式化：$\max U(x_1, x_2)$ 约束条件 $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$。
$$\max_{x_1, x_2} \; U(x_1, x_2) \quad \text{subject to} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$
(Eq. 6.2)
拉格朗日方法
拉格朗日函数。 一种求解约束优化问题的数学技术。拉格朗日函数$\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$通过引入乘子$\lambda$将约束问题转化为无约束问题。
$$\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$$
(Eq. 6.3)
拉格朗日乘子 $\lambda$ 是收入的边际效用——预算每增加一美元所带来的最大效用增量。
一阶条件：
$$MU_1 = \lambda p_1, \quad MU_2 = \lambda p_2, \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$
(Eq. 6.4)
消费者分配支出使得每种商品每美元的边际效用相等：$MU_1/p_1 = MU_2/p_2 = \lambda$。将前两个条件相除：
$$MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$$
(Eq. 6.5)
切点条件。 在消费者的最优点，无差异曲线与预算线相切：$MRS = p_1/p_2$。消费者愿意交换商品的比率等于市场允许她交换的比率。
马歇尔需求
马歇尔（普通）需求。 作为价格和收入的函数的最优数量：$x_i^*(p_1, p_2, m)$。这些是第2章需求曲线背后的需求函数。
例 6.1 —— 柯布-道格拉斯需求
$U = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$。切点条件：$x_2/x_1 = p_1/p_2$，所以 $x_2 = (p_1/p_2)x_1$。
代入预算约束：\$1p_1 x_1 = m$。
马歇尔需求： $x_1^* = m/(2p_1)$，$x_2^* = m/(2p_2)$。
消费者恰好将收入的一半花在每种商品上——这是柯布-道格拉斯偏好的恒定预算份额性质。
互动：效用最大化与需求推导
此可视化展示了深层联系：当 $p_1$ 变化时，最优商品束描绘出商品1的需求曲线。需求曲线就是不同价格下最优点的集合。
Optimal bundle: x₁* = 15.0, x₂* = 30.0 | Utility = 20.1 | MRS = p₁/p₂ = 2.00
例 6.2 —— 拟线性效用
$U = \ln(x_1) + x_2$。切点条件：\$1/x_1 = p_1/p_2$，所以 $x_1^* = p_2/p_1$。
预算：$x_2^* = m/p_2 - 1$。
$x_1$ 的需求仅取决于价格比，与收入无关——这是拟线性效用的标志性特征。商品1没有收入效应。
6.3 收入效应与替代效应
当一种商品的价格发生变化时，同时发生两件事：
替代效应。 仅由相对价格变化引起的需求量变化，保持效用不变。替代效应总是负的：价格上升总是减少补偿需求量。
收入效应。 由价格变化引起的实际购买力变化所导致的需求量变化。对于正常品，价格上升减少实际收入并进一步减少需求。对于劣等品，收入效应方向相反。
- 替代效应：商品变得相对更便宜（或更贵）。消费者转向更便宜的商品。该效应总是为负。
- 收入效应：价格变化改变了实际购买力。价格下降相当于收入增加。对于正常品，这加强了替代效应。对于劣等品，两者方向相反。
斯勒茨基方程
斯勒茨基方程。 将价格变化的总效应分解为替代效应和收入效应的基本分解：$\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \cdot \partial x_1/\partial m$。它表明对价格变化的需求反应取决于消费者替代的难易程度和该商品在预算中的重要性。
$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \underbrace{\frac{\partial x_1^h}{\partial p_1}}_{\text{替代效应 (−)}} - \underbrace{x_1 \cdot \frac{\partial x_1}{\partial m}}_{\text{收入效应 (符号不定)}}$$
(Eq. 6.7)
正常品（消费者理论）。 需求随收入增加而增加的商品（$\partial x/\partial m > 0$）。对于正常品，收入效应加强替代效应，因此需求定律始终成立。
劣等品。 需求随收入增加而减少的商品（$\partial x/\partial m < 0$）。对于劣等品，收入效应与替代效应相反，但替代效应通常占主导。
吉芬商品。 一种极端的劣等品，其收入效应如此强烈以至于压倒了替代效应，导致价格上升时需求增加。吉芬商品违反了需求定律，在实践中极为罕见。
| 商品类型 | 替代效应 | 收入效应 | 价格上升的总效应 |
|---|
| 正常品 | −（买更少） | −（更穷 → 买更少） | 明确为 − |
| 劣等品 | −（买更少） | +（更穷 → 买更多） | 通常为 − |
| 吉芬商品 | −（买更少） | +（收入效应占主导） | +（需求上升） |
互动：收入效应与替代效应（希克斯分解）
向下滑动 $p_1$ 查看价格下降被分解为替代效应（沿原无差异曲线的移动）和收入效应（移至更高的无差异曲线）。
No price change yet. Slide p₁ below \$1.00 to see the decomposition.
恩格尔曲线
恩格尔曲线。 在价格不变的情况下，收入与商品需求量之间的关系。对于正常品，恩格尔曲线向上倾斜。对于劣等品，它最终向下倾斜。
对于柯布-道格拉斯，恩格尔曲线是过原点的直线：$x_1 = am/p_1$，关于 $m$ 是线性的。预算份额始终为 $a$，与收入无关。
6.4 生产函数
生产函数。 描述给定投入可获得的最大产出的数学关系：$Y = f(K, L)$，其中$K$为资本，$L$为劳动。
柯布-道格拉斯生产函数
$$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$$
(Eq. 6.8)
其中 $A > 0$ 是全要素生产率，$\alpha \in (0,1)$ 是资本的产出弹性。
边际产品： $MP_K = \alpha Y/K$，$MP_L = (1-\alpha)Y/L$。两者均为正且递减。
等产量线与边际技术替代率
等产量线。 产生相同产出的投入组合集合：$\{(K, L) : f(K,L) = \bar{Y}\}$。等产量线是生产中无差异曲线的类似物。
边际技术替代率（MRTS）。 企业在保持产出不变的情况下，一种投入替代另一种投入的比率——等产量线斜率的（负值）。$MRTS_{LK} = MP_L/MP_K$。
$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{(1-\alpha)K}{\alpha L}$$
(Eq. 6.9)
规模报酬
规模报酬。 当所有投入按相同比例缩放时，产出如何变化。规模报酬不变（CRS）：产出成比例缩放。规模报酬递增（IRS）：产出超比例缩放（规模经济）。规模报酬递减（DRS）：产出不足比例缩放（规模不经济）。
| 类型 | 条件 | 含义 |
|---|
| CRS | $f(tK,tL) = tY$ | 投入加倍，产出加倍 |
| IRS | $f(tK,tL) > tY$ | 投入加倍，产出增加超过一倍 |
| DRS | $f(tK,tL) < tY$ | 投入加倍，产出增加不到一倍 |
例 6.3 —— 规模报酬
$Y = K^{0.3}L^{0.8}$：$f(tK,tL) = t^{1.1}Y$。由于 \$1.1 > 1$：规模报酬递增。
6.5 成本最小化
成本最小化。 企业选择以最低总成本生产给定产出水平的投入组合的问题：$\min wL + rK$ 约束条件 $f(K,L) = \bar{Y}$。
$$\min_{K, L} \; wL + rK \quad \text{约束条件} \quad f(K,L) = \bar{Y}$$
(Eq. 6.10)
等成本线。 所有成本相同的$K$和$L$的组合：$C = wL + rK$。斜率：$-w/r$。
成本最小化条件（来自拉格朗日的一阶条件）：
$$MRTS = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$$
(Eq. 6.11)
这完美地对应消费者的 $MRS = p_1/p_2$。
互动：等产量线/等成本线成本最小化
企业选择投入以最小化成本。调整要素价格，观察等成本线旋转和最优 $K/L$ 比率的变化。
Cost minimum: L* = 141.4, K* = 70.7 | K/L = 0.50 | TC = \$1,828
例 6.4 —— 成本最小化
$Y = K^{0.5}L^{0.5}$，$w = 10$，$r = 20$。生产 $\bar{Y} = 100$。
$MRTS = K/L = w/r = 0.5$，所以 $K = 0.5L$。
$(0.5L)^{0.5} \cdot L^{0.5} = 100 \Rightarrow L^* = 141.4$，$K^* = 70.7$。
$TC = 10(141.4) + 20(70.7) = \\$1{,}828$。由于劳动力更便宜，企业使用更多劳动而非资本。
6.6 成本曲线
短期与长期
在短期中，至少有一种投入是固定的（通常是资本：$K = \bar{K}$）。在长期中，所有投入都是可变的。
短期成本函数
固定成本（FC）。 短期内无法调整的投入的成本（如租金、设备租赁）。固定成本不随产出水平变化。
可变成本（VC）。 随产出水平变化的投入的成本（如劳动、原材料）。可变成本随企业生产更多而上升。
边际成本（MC）。 生产额外一单位产出的额外成本：$MC = dTC/dQ$。边际成本通常先下降（可变投入的报酬递增），然后上升（报酬递减）。
平均成本（AC）。 每单位产出的总成本：$AC = TC/Q = AFC + AVC$。AC曲线呈U形，在$MC = AC$处达到最低点。
平均可变成本（AVC）。 每单位产出的可变成本：$AVC = VC/Q$。AVC曲线也呈U形。其最低点是停产点——企业在短期内愿意生产的最低价格。
停产点。 价格等于平均可变成本最低值的产出水平（和相应价格）（$P = AVC_{min}$）。低于此价格，企业停产比生产损失更少，因为收入甚至无法覆盖可变成本。
最小有效规模。 长期平均成本达到最低值的最小产出水平。低于此规模运营的企业单位成本更高，在竞争中处于劣势。
| 成本概念 | 符号 | 定义 |
|---|
| 固定成本 | $FC$ | 固定投入的成本（$r\bar{K}$） |
| 可变成本 | $VC$ | 可变投入的成本（$wL(Q)$） |
| 总成本 | $TC$ | $FC + VC$ |
| 边际成本 | $MC$ | $dTC/dQ$ |
| 平均总成本 | $AC$ | $TC/Q$ |
| 平均可变成本 | $AVC$ | $VC/Q$ |
| 平均固定成本 | $AFC$ | $FC/Q$（始终递减） |
关键关系：
- $AC = AVC + AFC$。由于 $AFC$ 总是递减的，$AC$ 和 $AVC$ 在高产量时趋于一致。
- MC 在 AC 最低点处与 AC 相交。当 $MC < AC$ 时，多生产一单位拉低了平均值。当 $MC > AC$ 时，多生产一单位推高了平均值。
- 停产点是 $P = AVC_{min}$ 的位置。低于此点，企业停产。
互动：成本曲线与利润
企业的 $TC = 50 + 2Q + 0.05Q^2$。调整市场价格，查看企业的利润最大化产量以及是盈利还是亏损。
At P = \$1.00: Q* = 60 | TR = \$180 | TC = \$150 | Profit = \$130
长期平均成本
在长期中，企业可以选择任意资本水平。长期平均成本（LRAC）曲线是所有短期 AC 曲线的包络线——每条对应不同的固定资本水平。
为什么 LRAC 通常是U形的：
- 低产量时：规模经济（LRAC 下降）——分摊固定成本、专业化、批量采购。
- 中等产量时：规模报酬不变——U形底部的平坦段。
- 高产量时：规模不经济（LRAC 上升）——协调成本、监督问题、僵化。
LRAC 底部对应的产量是最小有效规模（MES）——LRAC 达到最小值时的最小产量。
互动：短期与长期平均成本
每条短期 AC 曲线对应不同的资本水平。拖动滑块高亮某条 SRAC 曲线，查看其与 LRAC 包络线的关系。
Capital K\u0304 = 3: SRAC minimum at Q = 47, AC = \$1.32 | MES at Q ≈ 60
6.7 利润最大化
利润最大化。 企业的目标：选择产出以最大化利润$\Pi = P \cdot Q - TC(Q)$。对于竞争性企业（价格接受者），一阶条件得出$P = MC$——在价格等于边际成本处生产。
$$\max_Q \; \Pi = P \cdot Q - TC(Q)$$
(Eq. 6.12)
一阶条件：
$$P = MC(Q)$$
(Eq. 6.13)
利润最大化法则：在价格等于边际成本处生产。只要再多一单位的收入（$P$）超过成本（$MC$），企业就应继续生产。企业的供给曲线是其 MC 曲线在 $AVC_{min}$ 以上的部分。
为什么 $P = MC$ 是供给曲线——深层联系。在第2章中，我们将供给曲线画成向上倾斜的。现在我们看到它的来源：它就是企业的边际成本曲线。供给曲线向上倾斜是因为边际成本递增——不是因为我们假设了它，而是因为它源于边际报酬递减。
例 6.5 —— 利润最大化
$TC = 50 + 2Q + 0.5Q^2$。当 $P = 12$ 时：$P = MC$ 得到 \$12 = 2 + Q$，所以 $Q^* = 10$。
$\Pi = 12(10) - [50 + 20 + 50] = 0$。零经济利润——长期竞争均衡。
例 6.6 —— 从生产函数推导利润最大化
一个竞争性企业的生产函数为 $Y = 10L^{0.5}$，面对工资 $w = 20$ 和产出价格 $P = 8$。
第1步——求利润函数。收入：$R = PY = 8 \times 10L^{0.5} = 80L^{0.5}$。成本：$C = wL = 20L$。利润：$\Pi = 80L^{0.5} - 20L$。
第2步——一阶条件。 $d\Pi/dL = 40L^{-0.5} - 20 = 0 \implies L^{-0.5} = 0.5 \implies L^* = 4$。
第3步——计算产出和利润。 $Y^* = 10(4)^{0.5} = 20$。收入 = \$1 \times 20 = 160$。成本 = \$10 \times 4 = 80$。利润 = \$10。
验证： $P \times MP_L = w$ 在最优点成立：\$1 \times 10 \times 0.5 \times 4^{-0.5} = 8 \times 2.5 = 20 = w$。✓
6.8 企业的供给曲线
- 短期供给：当 $P \geq AVC_{min}$ 时的 MC 曲线。低于此点，$Q = 0$（停产）。
- 长期供给：当 $P \geq LRAC_{min}$ 时的长期 MC 曲线。低于此点，退出市场。
- 市场供给：所有企业供给曲线的水平加总。自由进出使 $P \to LRAC_{min}$。
线索案例：玛雅的企业
玛雅的柠檬水摊——完整成本分析
成本结构： $FC = \\$10$/天（摊位租金）。原材料：$\\$1.50$/杯。玛雅的劳动：每小时10杯，机会成本 $\\$15$/小时，即 $\\$1.50$/杯。
$TC = 20 + 3Q$， $MC = 3$， $AVC = 3$， $AC = 20/Q + 3$。
根据第2章：$P^* = \\$1.75$。但 $MC = \\$1.00 > P^*$。玛雅不应营业。每杯亏损 $\\$1.25$。
然而，如果不计入她的机会成本（仅计算会计利润），$AVC_{materials} = \\$1.50$，且 $P = 2.75 > 1.50$。她每天赚取 $\\$16.25$ 的会计利润，但每天有 $-\\$13.75$ 的经济利润。经济学家会说：玛雅，你在书店工作每天值 $\\$120$。
总结
- 消费者理论：消费者在 $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$ 的约束下最大化 $U(x_1, x_2)$。切点条件 $MRS = p_1/p_2$ 表明消费者的交换意愿等于市场交换比率。
- 马歇尔需求给出最优数量作为价格和收入的函数。柯布-道格拉斯效用下预算份额恒定；拟线性效用下商品1无收入效应。
- 斯勒茨基方程将价格效应分解为替代效应（始终为负）和收入效应（符号取决于正常品与劣等品）。吉芬商品需要主导性的收入效应。
- 生产函数将投入映射为产出。规模报酬：CRS、IRS或DRS。
- 成本最小化要求 $MRTS = w/r$，与消费者的 $MRS = p_1/p_2$ 平行。
- 短期成本曲线：MC在AC和AVC的最低点与之相交。停业点：$P = AVC_{min}$。
- 利润最大化：$P = MC$。企业的供给曲线是停业点以上的MC曲线。
- 经济利润（含机会成本）与会计利润（不含机会成本）决定企业是否应该经营。
关键公式
| 标签 | 公式 | 描述 |
|---|
| 公式 6.1 | $MRS = MU_1/MU_2$ | 边际替代率 |
| 公式 6.2 | $\max U(x_1,x_2)$ 约束条件 $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$ | 消费者问题 |
| 公式 6.3 | $\mathcal{L} = U + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$ | 拉格朗日函数 |
| 公式 6.4 | FOCs: $MU_i = \lambda p_i$; budget binds | 一阶条件 |
| 公式 6.5 | $MRS = p_1/p_2$ | 切点条件 |
| 公式 6.6 | $x_i^* = a_i m / p_i$ | 柯布-道格拉斯马歇尔需求 |
| 公式 6.7 | $\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \partial x_1/\partial m$ | 斯勒茨基方程 |
| 公式 6.8 | $Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$ | 柯布-道格拉斯生产函数 |
| 公式 6.9 | $MRTS = MP_L/MP_K$ | 边际技术替代率 |
| 公式 6.10 | $\min wL + rK$ 约束条件 $f(K,L) = \bar{Y}$ | 成本最小化问题 |
| 公式 6.11 | $MRTS = w/r$ | 成本最小化投入比率 |
| 公式 6.12 | $\max \Pi = PQ - TC(Q)$ | 利润最大化 |
| 公式 6.13 | $P = MC$ | 利润最大化产量法则 |
练习题
基础练习
- 一位消费者的效用函数为 $U = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$，价格 $p_1 = 4$，$p_2 = 2$，收入 $m = 120$。(a) 写出拉格朗日函数。(b) 推导切点条件。(c) 求两种商品的马歇尔需求。(d) 计算最优商品束并验证其满足预算约束。
- 一位消费者的拟线性效用函数为 $U = 2\sqrt{x_1} + x_2$，$p_1 = 1$，$p_2 = 1$，$m = 10$。(a) 求最优消费。(b) $x_1$ 的需求收入弹性是多少？(c) 如果收入翻倍，$x_1^*$ 会怎样变化？
- 一家企业的生产函数为 $Y = 4K^{0.5}L^{0.5}$，$w = 8$，$r = 2$。(a) 求生产 $Y = 40$ 的成本最小化投入组合。(b) 总成本是多少？(c) 如果 $w$ 翻倍，最优 $K/L$ 比率如何变化？
- 一家竞争性企业的 $TC = 100 + 5Q + Q^2$。(a) 推导 MC、AC 和 AVC。(b) 求停产点。(c) 当 $P = 25$ 时，求利润最大化产量和利润。(d) 当 $P = 5$ 时，企业应该生产还是停产？
- 判断规模报酬类型：(a) $Y = 3K + 2L$，(b) $Y = K^{0.4}L^{0.4}$，(c) $Y = (KL)^{0.6}$，(d) $Y = \min(2K, 3L)$。
应用练习
- 对于柯布-道格拉斯效用函数 $U = x_1^a x_2^{1-a}$，推导马歇尔需求并证明消费者总是将收入的 $a$ 份额用于商品1。然后使用 $V = \ln U$，证明得到相同的需求。这证实了序数性的什么含义？
- 商品1的价格下降导致消费者购买更少的商品1。(a) 这是否非理性？(b) 这必须是什么类型的商品？(c) 需要什么条件？(d) 为什么吉芬商品如此罕见？
- 一家企业可以使用技术A（$TC_A = 100 + 2Q$）或技术B（$TC_B = 10 + 5Q$）进行生产。(a) 在什么产量水平下各自更便宜？(b) 这对企业规模和技术选择意味着什么？
- 推导 $TC = 50 + Q^2/2$ 的企业短期供给曲线。画出图形，标注停产价格，并在 $P = 10$ 时标出利润的阴影区域。
- 使用 $Y = K^{0.3}L^{0.7}$，$w = 14$，$r = 6$：(a) 求成本最小化的 $K/L$ 比率。(b) 推导 $TC(Y)$。(c) 规模报酬是什么类型？
挑战题
- 证明对于柯布-道格拉斯效用函数 $U = x_1^a x_2^{1-a}$，间接效用函数为 $V(p_1, p_2, m) = m \cdot (a/p_1)^a \cdot ((1-a)/p_2)^{1-a}$。然后验证罗伊恒等式：$x_1^* = -(\partial V/\partial p_1)/(\partial V/\partial m)$。
- 证明具有柯布-道格拉斯常数规模报酬生产函数的利润最大化企业在长期均衡中经济利润为零。（提示：欧拉定理。）为什么规模报酬递增对竞争市场构成问题？
- 一位消费者对商品1的需求为 $x_1 = m/p_1 - p_2$。(a) 它是否是零次齐次的？(b) 它是否满足斯勒茨基对称性？(c) 它能否由效用最大化生成？