Kapitel 5Konsumenten- und Produzententheorie

Einleitung

Teil I behandelte Nachfrage- und Angebotskurven als gegeben. Wir zeichneten sie, verschoben sie und maßen die Rente, die sie erzeugten. Aber woher kommen diese Kurven? Dieses Kapitel beantwortet diese Frage, indem es die Nachfrage aus dem Optimierungsproblem des Konsumenten und das Angebot aus dem Optimierungsproblem des Unternehmens herleitet.

Der Methodenwechsel ist bedeutsam. Teil I verwendete Algebra und Geometrie. Dieses Kapitel führt die restringierte Optimierung ein — die Maximierung einer Zielfunktion unter einer Nebenbedingung — mithilfe von Differentialrechnung und Lagrange-Methoden. Der Ertrag ist, dass Nachfrage- und Angebotskurven keine Annahmen mehr sind, sondern zu Konsequenzen tieferer Grundlagen werden: Präferenzen, Technologie und Preise.

Das Kapitel ist lang, weil es zwei parallele Theorien abdeckt — Konsumententheorie und Produzententheorie — die sich in ihrer Struktur spiegeln. Der Konsument maximiert den Nutzen unter einer Budgetbeschränkung; das Unternehmen minimiert die Kosten unter einer Outputvorgabe (oder maximiert den Gewinn unter technologischen Beschränkungen). Beide führen zu Tangentialbedingungen, und beide erzeugen die Kurven, die wir in Teil I als gegeben angenommen haben.

Am Ende dieses Kapitels werden Sie in der Lage sein:
  1. Das Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten mithilfe des Lagrange-Ansatzes aufstellen und lösen
  2. Marshallsche Nachfragefunktionen aus der Nutzenmaximierung herleiten
  3. Preisänderungen in Einkommens- und Substitutionseffekte zerlegen (Slutsky-Gleichung)
  4. Das Kostenminimierungs- und Gewinnmaximierungsproblem des Unternehmens aufstellen und lösen
  5. Kurz- und langfristige Kostenkurven aus einer Produktionsfunktion herleiten
  6. Skalenerträge klassifizieren

Voraussetzungen: Kapitel 2 und 3. Mathematische Voraussetzungen: Mehrvariable Analysis, restringierte Optimierung (siehe Anhang A zur Wiederholung).

5.1 Präferenzen und Nutzen

Der Konsument wählt zwischen Güterbündeln — Kombinationen wie „3 Äpfel und 2 Bananen“ oder „5 Stunden Freizeit und 200 $ Konsum“. Um diese Wahl zu modellieren, brauchen wir eine Möglichkeit, die Präferenzen des Konsumenten darzustellen — seine Rangordnung verschiedener Güterbündel.

Präferenzen. Eine binäre Relation $\succsim$ auf der Menge der Güterbündel. Wir schreiben $x \succsim y$, um auszudrücken, dass der Verbraucher Bündel $x$ schwach gegenüber Bündel $y$ bevorzugt. Strikte Präferenz ($x \succ y$) bedeutet, dass $x$ strikt besser ist. Indifferenz ($x \sim y$) bedeutet, dass beide gleich gut sind.

Damit Präferenzen mathematisch gut modellierbar sind, verlangen wir drei Axiome:

Vollständigkeit. Ein Axiom rationaler Präferenzen, das verlangt, dass der Verbraucher für zwei beliebige Bündel $x$ und $y$ eine Rangfolge herstellen kann: entweder $x \succsim y$ oder $y \succsim x$ oder beides (Indifferenz). Der Verbraucher ist nie „unfähig zu entscheiden“.
Transitivität. Ein Axiom rationaler Präferenzen, das verlangt, dass wenn $x \succsim y$ und $y \succsim z$, dann auch $x \succsim z$. Präferenzen enthalten keine Zyklen — logische Konsistenz wird aufrechterhalten.
Stetigkeit. Ein Axiom, das verlangt, dass kleine Änderungen in den Bündeln kleine Änderungen in der Präferenzrangfolge erzeugen. Es gibt keine „Sprünge“ — wenn Bündel $x$ gegenüber $y$ bevorzugt wird, werden auch Bündel, die $x$ hinreichend nahe sind, gegenüber $y$ bevorzugt.
Nutzenfunktion. Eine reellwertige Funktion $U(x_1, x_2)$, die jedem Güterbündel eine Zahl zuordnet, sodass höhere Zahlen stärker präferierten Bündeln entsprechen. Sie existiert, wenn die Präferenzen Vollständigkeit, Transitivität und Stetigkeit erfüllen.
Ordinaler Nutzen. Eine Nutzenrepräsentation, bei der nur die Rangordnung der Bündel zählt, nicht die Größe der Nutzenwerte. Jede monotone Transformation $V = g(U)$ (wobei $g$ streng steigend ist) repräsentiert dieselben Präferenzen.

Unter diesen Bedingungen garantiert ein fundamentaler Satz die Existenz einer Nutzenfunktion $U(x_1, x_2)$ — einer reellwertigen Funktion, die jedem Bündel eine Zahl zuordnet, sodass:

$$x \succsim y \iff U(x) \geq U(y)$$

Höherer Nutzen bedeutet stärker präferiert. Aber die Zahlen selbst haben über die Rangordnung hinaus keine Bedeutung. Jede monotone Transformation $V = g(U)$ (wobei $g$ streng monoton steigend ist) repräsentiert dieselben Präferenzen. Das meinen wir mit ordinalem Nutzen: Nur die Reihenfolge zählt.

Indifferenzkurven

Indifferenzkurve. Die Menge aller Bündel, die dasselbe Nutzenniveau ergeben: $\{(x_1, x_2) : U(x_1, x_2) = \bar{u}\}$.

Eigenschaften von Indifferenzkurven (bei wohldefinierten Präferenzen): (1) Fallend: Mehr von einem Gut erfordert, etwas vom anderen aufzugeben. (2) Können sich nicht schneiden: Das würde die Transitivität verletzen. (3) Höhere Kurven = höherer Nutzen. (4) Konvex zum Ursprung (bei konvexen Präferenzen): Mischungen werden Extremen vorgezogen.

Grenzrate der Substitution

Grenzrate der Substitution (GRS). Die Rate, zu der der Konsument bereit ist, Gut 2 gegen Gut 1 zu tauschen, während er auf dem gleichen Nutzenniveau bleibt — das (Negative der) Steigung der Indifferenzkurve.

Entlang einer Indifferenzkurve gilt $dU = 0$:

$$MRS_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U = \bar{u}} = \frac{MU_1}{MU_2}$$ (Eq. 5.1)
Intuition

Was das besagt: The MRS tells you your personal exchange rate between two goods. If your MRS is 3, you would give up 3 units of good 2 for 1 more unit of good 1 and feel equally happy. It equals the ratio of how much extra happiness each good gives you.

Warum das wichtig ist: This is how economists measure "how much you want something" without using money. It captures trade-offs purely in terms of your own preferences, and it is the slope of the indifference curve at any point.

Was sich ändert: As you consume more of good 1 and less of good 2, your willingness to trade shrinks — each additional unit of good 1 is less valuable when you already have a lot. This "diminishing MRS" gives indifference curves their bowed-in shape.

In Full Mode, Eq. 5.1 derives this formally from the total differential of the utility function.

Die GRS ist das Verhältnis der Grenznutzen. Abnehmende GRS: Bei konvexen Präferenzen nimmt die GRS ab, wenn der Konsument die Indifferenzkurve entlanggleitet (mehr $x_1$, weniger $x_2$). Intuitiv: Je mehr Limonade Sie bereits haben, desto weniger sind Sie bereit, Kekse für einen weiteren Becher aufzugeben.

Gebräuchliche Nutzenfunktionen

Name$U(x_1, x_2)$GRSHauptmerkmal
Cobb-Douglas$x_1^a x_2^b$$(a/b)(x_2/x_1)$Konstante Budgetanteile
Perfekte Substitute$ax_1 + bx_2$$a/b$ (konstant)Kauft möglicherweise nur ein Gut
Perfekte Komplemente$\min(ax_1, bx_2)$Am Knick undefiniertFestes Konsumverhältnis
Quasilinear$v(x_1) + x_2$$v'(x_1)$Kein Einkommenseffekt auf $x_1$
CES$(x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$$(x_2/x_1)^{1-\rho}$Enthält alle obigen als Spezialfälle

5.2 Das Konsumentenproblem

Budgetbeschränkung. Die Menge der bezahlbaren Bündel: $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$, wobei $p_i$ die Preise und $m$ das Einkommen sind. Die Budgetlinie hat die Steigung $-p_1/p_2$ und Achsenabschnitte $m/p_1$ auf der $x_1$-Achse und $m/p_2$ auf der $x_2$-Achse.

Die Steigung $-p_1/p_2$ ist das Markttauschverhältnis: Um eine weitere Einheit von Gut 1 zu kaufen (die $p_1$ kostet), muss der Konsument $p_1/p_2$ Einheiten von Gut 2 aufgeben.

Interaktiv: Budgetbeschränkungs-Explorer

Ziehen Sie die Schieberegler, um Preise und Einkommen zu ändern. Beobachten Sie, wie sich die Budgetgerade in Echtzeit dreht und verschiebt.

\$1\$10
\$1\$10
\$20\$240
Budgetgerade: $x_1$-Achsenabschnitt = 30  |  $x_2$-Achsenabschnitt = 60  |  Steigung = −2.00

Abbildung 5.0. Die Budgetbeschränkung zeigt alle erschwinglichen Güterbündel. Die Änderung eines Preises dreht die Linie um den anderen Achsenabschnitt; eine Einkommensänderung verschiebt sie parallel. Die Steigung $-p_1/p_2$ ist das Markttauschverhältnis.

Das Konsumentenproblem

Nutzenmaximierung. Das grundlegende Problem des Verbrauchers: Das Güterbündel wählen, das den höchsten Nutzen unter der Budgetbeschränkung ergibt. Formal: $\max U(x_1, x_2)$ unter der Nebenbedingung $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$.
$$\max_{x_1, x_2} \; U(x_1, x_2) \quad \text{u.d.N.} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$ (Eq. 5.2)

Die Lagrange-Methode

Lagrange-Funktion. Eine mathematische Technik zur Lösung von beschränkten Optimierungsproblemen. Der Lagrangian $\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$ wandelt ein beschränktes Problem in ein unbeschränktes um, indem ein Multiplikator $\lambda$ eingeführt wird, der die Beschränkung bepreist.
$$\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$$ (Eq. 5.3)
Intuition

Was das besagt: The Lagrangian packages a constrained optimization problem (maximize utility subject to a budget constraint) into a single expression. Instead of juggling two separate conditions, the mathematician combines them into one function and optimizes freely.

Warum das wichtig ist: Every consumer demand curve and every cost curve in microeconomics comes from solving a Lagrangian — it is the engine behind the entire chapter. The shadow price λ tells you exactly how much one more dollar of income would increase your utility.

Was sich ändert: When the budget constraint tightens (income falls), the Lagrange multiplier (shadow price of the constraint) rises, meaning each additional dollar of income is worth more. When prices change, the optimal bundle shifts along the budget line.

In Full Mode, the Lagrangian expression derives this formally.

Der Lagrange-Multiplikator $\lambda$ ist der Grenznutzen des Einkommens — der Anstieg des maximalen Nutzens durch einen zusätzlichen Dollar Budget.

Bedingungen erster Ordnung:

$$MU_1 = \lambda p_1, \quad MU_2 = \lambda p_2, \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$ (Eq. 5.4)
Intuition

Was das besagt: The consumer picks the best affordable bundle. The Lagrangian is the calculus machinery for solving this, but the result is simple: spend your budget so that the last dollar spent on each good gives you the same boost in happiness. If coffee gives you more happiness-per-dollar than tea, buy more coffee until the extra enjoyment per dollar is equalized.

Warum das wichtig ist: This "equal bang for the buck" principle is the foundation of all demand theory. It explains why people diversify their spending rather than buying only one good, and it generates the demand curves from Chapter 2.

Was sich ändert: When prices change, the "bang for the buck" shifts. If good 1 gets cheaper, its happiness-per-dollar rises, so you buy more of it until the marginal enjoyment drops back to equality. When income rises, you can afford more of both goods, but the ratio stays the same for Cobb-Douglas preferences.

In Full Mode, Eqs. 5.2-5.4 derive the first-order conditions from the Lagrangian.

Der Konsument verteilt seine Ausgaben so, dass der Grenznutzen pro Dollar für beide Güter gleich ist: $GU_1/p_1 = GU_2/p_2 = \lambda$. Division der ersten beiden Bedingungen:

At the optimum, the consumer equalizes the happiness-per-dollar across all goods. This principle leads directly to the tangency condition:

$$MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$$ (Eq. 5.5)
Tangentialbedingung. Am Optimum des Verbrauchers ist die Indifferenzkurve tangential zur Budgetlinie: $MRS = p_1/p_2$. Die Rate, zu der der Verbraucher bereit ist, Güter zu tauschen, entspricht der Rate, zu der der Markt es ihm erlaubt.

Marshallsche Nachfrage

Marshallsche (gewöhnliche) Nachfrage. Die optimalen Mengen als Funktionen der Preise und des Einkommens: $x_i^*(p_1, p_2, m)$. Dies sind die Nachfragefunktionen, die den Nachfragekurven aus Kapitel 2 zugrunde liegen.
Beispiel 5.1 — Cobb-Douglas-Nachfrage

$U = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$. Tangentialbedingung: $x_2/x_1 = p_1/p_2$, also $x_2 = (p_1/p_2)x_1$.

Einsetzen in die Budgetbeschränkung: $1p_1 x_1 = m$.

Marshallsche Nachfrage: $x_1^* = m/(2p_1)$, $x_2^* = m/(2p_2)$.

Der Konsument gibt genau die Hälfte seines Einkommens für jedes Gut aus — die Eigenschaft konstanter Budgetanteile bei Cobb-Douglas-Präferenzen.

Intuition

Was das besagt: With Cobb-Douglas preferences, the consumer always spends a fixed fraction of income on each good — regardless of prices. If the utility exponents are equal, she splits her budget 50/50. The demand for each good is simply income divided by twice its price.

Warum das wichtig ist: This "constant budget share" result is the signature of Cobb-Douglas utility. It makes these preferences the workhorse model in economics: demand is easy to compute, and the income elasticity is always 1 (spending on each good rises proportionally with income).

Was sich ändert: When price doubles, quantity demanded halves (unit elastic demand). When income doubles, quantity demanded doubles. The budget share stays fixed no matter what — a strong and testable prediction.

In Full Mode, Example 5.1 derives the Marshallian demand step by step from the tangency condition.

Interaktiv: Nutzenmaximierung und Nachfrageherleitung

Diese Visualisierung zeigt den tiefen Zusammenhang: Wenn $p_1$ sich ändert, zeichnet das optimale Bündel die Nachfragekurve für Gut 1 nach. Die Nachfragekurve IST die Menge der optimalen Punkte bei verschiedenen Preisen.

\$1 (günstig)\$4\$10 (teuer)
Optimales Bündel: x₁* = 15.0, x₂* = 30.0  |  Nutzen = 20.1  |  MRS = p₁/p₂ = 2.00

Abbildung 5.1a. Budgetgerade und Indifferenzkurven. Das optimale Bündel liegt am Tangentialpunkt.

Abbildung 5.1b. Die Nachfragekurve für Gut 1, hergeleitet durch Variation von $p_1$.

Beispiel 5.2 — Quasilineare Nutzenfunktion

$U = \ln(x_1) + x_2$. Tangentialbedingung: $1/x_1 = p_1/p_2$, also $x_1^* = p_2/p_1$.

Budget: $x_2^* = m/p_2 - 1$.

Die Nachfrage nach $x_1$ hängt nur vom Preisverhältnis ab, nicht vom Einkommen — das Kennzeichen quasilinearer Nutzenfunktionen. Es gibt keine Einkommenseffekte auf Gut 1.

Intuition

Was das besagt: With quasilinear preferences, the consumer has a "satiation point" for good 1 that depends only on relative prices. Any extra income goes entirely to good 2. This means income changes have zero effect on the demand for good 1.

Warum das wichtig ist: Quasilinear utility isolates the substitution effect perfectly — since there is no income effect on good 1, the Slutsky decomposition simplifies dramatically. Economists use this as a benchmark to study pure substitution behavior.

Was sich ändert: When the price of good 1 rises, the consumer buys less of it (pure substitution). When income rises, all extra spending goes to good 2 — the Engel curve for good 1 is perfectly vertical.

In Full Mode, Example 5.2 derives the demands from the tangency condition.

5.3 Einkommens- und Substitutionseffekte

Wenn sich der Preis eines Gutes ändert, geschehen gleichzeitig zwei Dinge:

Substitutionseffekt. Die Änderung der nachgefragten Menge, die ausschließlich auf die Änderung der relativen Preise zurückzuführen ist, bei konstantem Nutzen. Der Substitutionseffekt ist immer negativ: eine Preiserhöhung verringert stets die kompensierte Nachfragemenge.
Einkommenseffekt. Die Änderung der nachgefragten Menge aufgrund der Änderung der realen Kaufkraft durch die Preisänderung. Bei normalen Gütern verringert eine Preiserhöhung das reale Einkommen und reduziert die Nachfrage weiter. Bei inferioren Gütern wirkt der Einkommenseffekt in die entgegengesetzte Richtung.
  1. Substitutionseffekt: Das Gut wird relativ billiger (oder teurer). Der Konsument substituiert zum billigeren Gut hin. Dieser Effekt ist immer negativ.
  2. Einkommenseffekt: Die Preisänderung verändert die reale Kaufkraft. Eine Preissenkung wirkt wie eine Einkommenserhöhung. Bei normalen Gütern verstärkt dies den Substitutionseffekt. Bei inferioren Gütern wirkt er in die entgegengesetzte Richtung.

Die Slutsky-Gleichung

Slutsky-Gleichung. Die grundlegende Zerlegung des Gesamteffekts einer Preisänderung in Substitutions- und Einkommenseffekte: $\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \cdot \partial x_1/\partial m$. Sie zeigt, dass die Nachfragereaktion auf eine Preisänderung davon abhängt, wie leicht der Verbraucher substituieren kann und wie wichtig das Gut im Budget ist.
$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \underbrace{\frac{\partial x_1^h}{\partial p_1}}_{\text{Substitution (−)}} - \underbrace{x_1 \cdot \frac{\partial x_1}{\partial m}}_{\text{Einkommen (Vorzeichen variiert)}}$$ (Eq. 5.7)
Intuition

Was das besagt: When a price changes, two things happen simultaneously. First, the good becomes relatively more or less expensive compared to alternatives, so you substitute (the substitution effect — always pushes you away from the pricier good). Second, the price change makes you effectively richer or poorer, changing how much of everything you buy (the income effect). The Slutsky equation says: total response = substitution effect + income effect.

Warum das wichtig ist: This decomposition explains why demand curves almost always slope downward (both effects reinforce for normal goods), and identifies the rare exception: Giffen goods, where the income effect is so strong it overwhelms substitution, making people buy more of something when its price rises.

Was sich ändert: When the good takes up a small share of the budget (like salt), the income effect is negligible and substitution dominates — the demand curve definitely slopes down. When the good takes up a large share of the budget AND is inferior (like a staple food for a very poor household), the income effect can be large enough to overwhelm substitution, potentially creating a Giffen good.

In Full Mode, Eq. 5.7 derives this decomposition formally.
Normales Gut (Konsumententheorie). Ein Gut, dessen Nachfrage steigt, wenn das Einkommen steigt ($\partial x/\partial m > 0$). Bei normalen Gütern verstärkt der Einkommenseffekt den Substitutionseffekt, sodass das Gesetz der Nachfrage immer gilt.
Inferiores Gut. Ein Gut, dessen Nachfrage sinkt, wenn das Einkommen steigt ($\partial x/\partial m < 0$). Bei inferioren Gütern wirkt der Einkommenseffekt dem Substitutionseffekt entgegen, aber der Substitutionseffekt dominiert in der Regel.
Giffen-Gut. Ein extremes inferiores Gut, bei dem der Einkommenseffekt so stark ist, dass er den Substitutionseffekt dominiert, was dazu führt, dass die Nachfrage bei steigendem Preis zunimmt. Giffen-Güter verletzen das Gesetz der Nachfrage und sind in der Praxis äußerst selten.
GutartSubstitutionseffektEinkommenseffektGesamteffekt einer Preiserhöhung
Normales Gut− (kauft weniger)− (ärmer → kauft weniger)Eindeutig −
Inferiores Gut− (kauft weniger)+ (ärmer → kauft mehr)Gewöhnlich −
Giffen-Gut− (kauft weniger)+ (Einkommenseffekt dominiert)+ (Nachfrage steigt)

Interaktiv: Einkommens- und Substitutionseffekte (Hicks-Zerlegung)

Schieben Sie $p_1$ nach unten, um die Preissenkung in einen Substitutionseffekt (Bewegung entlang der ursprünglichen Indifferenzkurve) und einen Einkommenseffekt (Bewegung zu einer höheren Indifferenzkurve) zu zerlegen.

\$1 (starker Rückgang)\$4 (Ausgangswert)
Noch keine Preisänderung. Schieben Sie p₁ unter \$1.00, um die Zerlegung zu sehen.

Abbildung 5.2. Hicks-Zerlegung einer Preissenkung. A = ursprüngliches Bündel, B = kompensiertes Bündel (Substitutionseffekt), C = neues Bündel (Einkommenseffekt). Der Substitutionseffekt bewegt sich entlang der ursprünglichen IK; der Einkommenseffekt verschiebt auf eine höhere IK.

Engelkurven

Engelkurve. Die Beziehung zwischen Einkommen und der nachgefragten Menge eines Gutes bei konstanten Preisen. Für normale Güter verläuft die Engel-Kurve ansteigend. Für inferiore Güter verläuft sie schließlich abwärts.

Für Cobb-Douglas ist die Engelkurve eine Gerade durch den Ursprung: $x_1 = am/p_1$, linear in $m$. Der Budgetanteil beträgt stets $a$, unabhängig vom Einkommen.

Interaktiv: Engelkurven

Passen Sie das Einkommen mit dem Schieberegler an, um zu sehen, wie sich das optimale Güterbündel verschiebt. Das linke Panel zeigt Budgetgeraden und Indifferenzkurven; das rechte Panel zeichnet die Engel-Kurve. Wechseln Sie zwischen einem normalen Gut (Cobb-Douglas) und einem inferioren Gut (modifizierte Nutzenfunktion, bei der die Nachfrage bei hohem Einkommen zurückgeht).

20200

Abbildung 5.4. Links: Budgetgeraden und Indifferenzkurven bei verschiedenen Einkommensniveaus. Mit steigendem Einkommen verschiebt sich das optimale Bündel entlang des Einkommens-Konsum-Pfades nach außen. Rechts: Die Engelkurve stellt die Menge von Gut 1 (horizontal) gegen das Einkommen (vertikal) dar. Für ein normales Gut (Cobb-Douglas) ist die Engelkurve linear. Für ein inferiores Gut biegt sie sich bei hohem Einkommen zurück.

5.4 Produktionsfunktionen

Produktionsfunktion. Eine mathematische Beziehung, die die maximale Produktion beschreibt, die aus gegebenen Inputs erzielt werden kann: $Y = f(K, L)$, wobei $K$ Kapital und $L$ Arbeit ist.

Cobb-Douglas-Produktion

$$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$$ (Eq. 5.8)

wobei $A > 0$ die totale Faktorproduktivität und $\alpha \in (0,1)$ die Outputelastizität des Kapitals ist.

Grenzprodukte: $GP_K = \alpha Y/K$, $GP_L = (1-\alpha)Y/L$. Beide sind positiv und abnehmend.

Intuition

Was das besagt: The marginal product of each input tells you how much extra output you get from one more unit of that input, holding the other fixed. For Cobb-Douglas, each input's marginal product is proportional to its average product (total output divided by the amount of that input).

Warum das wichtig ist: Diminishing marginal products are the engine behind upward-sloping cost curves. Adding more workers to a fixed factory eventually yields less and less extra output per worker, which means each additional unit of output costs more to produce.

Was sich ändert: Doubling capital while holding labor fixed does NOT double the marginal product of capital — it falls. But doubling both inputs together (with CRS) doubles output and leaves marginal products unchanged.

In Full Mode, the marginal products are derived by differentiating the Cobb-Douglas production function.

Isoquanten und GRTS

Isoquante. Die Menge der Inputkombinationen, die dieselbe Produktion ergeben: $\{(K, L) : f(K,L) = \bar{Y}\}$. Isoquanten sind das Produktionsanalogon der Indifferenzkurven.
Grenzrate der technischen Substitution (GRTS). Die Rate, mit der ein Unternehmen einen Input durch einen anderen ersetzen kann, während die Produktion konstant bleibt — die (negative) Steigung der Isoquante. $MRTS_{LK} = MP_L/MP_K$.
$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{(1-\alpha)K}{\alpha L}$$ (Eq. 5.9)
Intuition

Was das besagt: The MRTS tells you how many units of capital you can replace with one more worker while keeping output the same. It is the production analog of the consumer's MRS. When you already have lots of capital relative to labor, one extra worker is very productive (high MRTS); when you have lots of workers already, each additional one adds less.

Warum das wichtig ist: This ratio determines the shape of the isoquant (the production equivalent of an indifference curve) and drives the firm's input choice. The firm will keep substituting the cheaper input for the more expensive one until the trade-off rate matches the relative input prices.

Was sich ändert: As the firm uses more labor relative to capital, each additional worker adds less output (diminishing marginal product), so the MRTS falls. This is why isoquants are bowed inward — the same logic as diminishing MRS for consumers.

In Full Mode, Eq. 5.9 derives the MRTS from the marginal products of the Cobb-Douglas production function.

Skalenerträge

Skalenerträge. Wie sich die Produktion verändert, wenn alle Inputs um denselben Faktor skaliert werden. Konstante Skalenerträge (CRS): die Produktion skaliert proportional. Steigende Skalenerträge (IRS): die Produktion steigt überproportional (Skalenvorteile). Sinkende Skalenerträge (DRS): die Produktion steigt unterproportional (Skalennachteile).
TypBedingungBedeutung
CRS$f(tK,tL) = tY$Verdopplung der Inputs verdoppelt den Output
IRS$f(tK,tL) > tY$Verdopplung der Inputs mehr als verdoppelt den Output
DRS$f(tK,tL) < tY$Verdopplung der Inputs weniger als verdoppelt den Output
Beispiel 5.3 — Skalenerträge

$Y = K^{0.3}L^{0.8}$: $f(tK,tL) = t^{1.1}Y$. Da \$1.1 > 1$: zunehmende Skalenerträge.

Intuition

Was das besagt: To check returns to scale, ask: if I double all inputs, does output more than double, exactly double, or less than double? Add the exponents — if they sum to more than 1, doubling inputs more than doubles output (increasing returns).

Warum das wichtig ist: Returns to scale determine market structure. With increasing returns, larger firms have lower unit costs, which tends toward natural monopoly. With constant returns, firm size is indeterminate — perfectly competitive markets are possible.

Was sich ändert: If the exponents sum to exactly 1 (like standard Cobb-Douglas with $\alpha + (1-\alpha) = 1$), we get constant returns. Larger exponent sums mean stronger scale economies; smaller sums mean scale diseconomies.

In Full Mode, Example 5.3 tests returns to scale by scaling all inputs by factor $t$.

5.5 Kostenminimierung

Kostenminimierung. Das Problem des Unternehmens, die Inputkombination zu wählen, die ein gegebenes Produktionsniveau zu den niedrigsten Gesamtkosten erzeugt: $\min wL + rK$ unter der Nebenbedingung $f(K,L) = \bar{Y}$.
$$\min_{K, L} \; wL + rK \quad \text{unter der Nebenbedingung} \quad f(K,L) = \bar{Y}$$ (Eq. 5.10)
Isokostenlinie. Alle Kombinationen von $K$ und $L$, die denselben Betrag kosten: $C = wL + rK$. Steigung: $-w/r$.

Die Kostenminimierungsbedingung (aus den Bedingungen erster Ordnung des Lagrange-Ansatzes):

$$MRTS = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$$ (Eq. 5.11)
Intuition

Was das besagt: To produce at the lowest cost, the firm adjusts its mix of workers and machines until the "bang for the buck" is equal across inputs. If hiring one more worker adds more output per dollar than renting one more machine, hire the worker. Keep adjusting until the last dollar spent on labor and the last dollar spent on capital contribute equally to output.

Warum das wichtig ist: This is the producer's version of the consumer's "equal marginal utility per dollar" rule. It explains why firms change their input mix when wages or interest rates change, and it generates the cost curves that underpin supply.

Was sich ändert: When wages rise relative to the rental rate of capital, the firm substitutes toward capital (more machines, fewer workers). When interest rates rise, the firm substitutes toward labor. The firm always moves along the isoquant toward the relatively cheaper input.

In Full Mode, Eqs. 5.10-5.11 derive the cost-minimizing condition from the Lagrangian.

Dies entspricht perfekt der Bedingung $GRS = p_1/p_2$ des Konsumenten.

Interaktiv: Isoquanten-/Isokostenlinien-Kostenminimierung

Das Unternehmen wählt Inputs zur Kostenminimierung. Passen Sie die Faktorpreise an und beobachten Sie, wie die Isokostenlinie rotiert und sich das optimale $K/L$-Verhältnis ändert.

\$2\$30
\$2\$30
Kostenminimum: L* = 141.4, K* = 70.7  |  K/L = 0.50  |  TK = \$1,828

Abbildung 5.3. Kostenminimierung: Das Unternehmen wählt die Inputkombination, bei der die Isoquante ($\bar{Y} = 100$) die niedrigste Isokostenlinie tangiert. Die Tangentialbedingung lautet $GRTS = w/r$. Wenn Arbeit teurer wird, substituiert das Unternehmen in Richtung Kapital.

Beispiel 5.4 — Kostenminimierung

$Y = K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 10$, $r = 20$. Produziere $\bar{Y} = 100$.

$GRTS = K/L = w/r = 0.5$, also $K = 0.5L$.

$(0.5L)^{0.5} \cdot L^{0.5} = 100 \Rightarrow L^* = 141.4$, $K^* = 70.7$.

$GK = 10(141.4) + 20(70.7) = \\$1{,}828$. Da Arbeit günstiger ist, setzt das Unternehmen mehr Arbeit als Kapital ein.

Intuition

Was das besagt: When labor costs half as much as capital per unit, the firm uses twice as many workers as machines. The cheaper input gets used more intensively — the firm tilts its input mix toward whatever is the better deal.

Warum das wichtig ist: This is why manufacturing moves to low-wage countries (labor is cheap relative to capital there) and why automation increases when wages rise (capital becomes relatively cheaper). The cost-minimizing input ratio responds directly to relative input prices.

Was sich ändert: If the wage doubled from \$10 to \$20, the firm would use equal amounts of labor and capital (K/L = 1 instead of 0.5), and total cost would rise. The firm substitutes away from the input that got more expensive.

In Full Mode, Example 5.4 solves the cost minimization step by step.

5.6 Kostenkurven

Kurzfrist vs. Langfrist

In der kurzen Frist ist mindestens ein Input fix (typischerweise Kapital: $K = \bar{K}$). In der langen Frist sind alle Inputs variabel.

Kurzfristige Kostenfunktionen

Fixkosten (FK). Die Kosten von Inputs, die kurzfristig nicht angepasst werden können (z.B. Miete, Ausrüstungsleasing). Fixkosten ändern sich nicht mit dem Produktionsniveau.
Variable Kosten (VK). Die Kosten von Inputs, die mit dem Produktionsniveau variieren (z.B. Arbeit, Rohstoffe). Variable Kosten steigen, wenn das Unternehmen mehr produziert.
Grenzkosten (GK). Die zusätzlichen Kosten der Produktion einer weiteren Einheit: $MC = dTC/dQ$. Die Grenzkosten fallen typischerweise zunächst (steigende Erträge des variablen Inputs), steigen dann (abnehmende Erträge).
Durchschnittskosten (DK). Gesamtkosten pro Outputeinheit: $AC = TC/Q = AFC + AVC$. Die AC-Kurve ist U-förmig und erreicht ihr Minimum dort, wo $MC = AC$.
Durchschnittliche variable Kosten (DVK). Variable Kosten pro Outputeinheit: $AVC = VC/Q$. Die AVC-Kurve ist ebenfalls U-förmig. Ihr Minimum ist der Stilllegungspunkt — der niedrigste Preis, zu dem das Unternehmen kurzfristig bereit ist zu produzieren.
Betriebsminimum. Das Produktionsniveau (und der entsprechende Preis), bei dem der Preis dem Minimum der durchschnittlichen variablen Kosten entspricht ($P = AVC_{min}$). Unterhalb dieses Preises verliert das Unternehmen mehr durch Produktion als durch vollständige Stilllegung, da die Einnahmen nicht einmal die variablen Kosten decken.
Mindestoptimale Betriebsgröße. Das kleinste Produktionsniveau, bei dem die langfristigen Durchschnittskosten ihr Minimum erreichen. Unternehmen, die unterhalb dieser Größe operieren, haben höhere Stückkosten und sind im Wettbewerb benachteiligt.
KostenbegriffSymbolDefinition
Fixkosten$FK$Kosten der fixen Inputs ($r\bar{K}$)
Variable Kosten$VK$Kosten der variablen Inputs ($wL(Q)$)
Gesamtkosten$GK$$FK + VK$
Grenzkosten$GK$$dGK/dQ$
Durchschnittliche Gesamtkosten$DK$$GK/Q$
Durchschnittliche variable Kosten$DVK$$VK/Q$
Durchschnittliche Fixkosten$DFK$$FK/Q$ (stets fallend)

Wichtige Zusammenhänge:

  1. $DK = DVK + DFK$. Da $DFK$ stets sinkt, konvergieren $DK$ und $DVK$ bei hohem Output.
  2. GK schneidet DK im Minimum von DK. Wenn $GK < DK$, zieht eine weitere Einheit den Durchschnitt nach unten. Wenn $GK > DK$, zieht sie ihn nach oben.
  3. Das Betriebsminimum liegt dort, wo $P = DVK_{min}$. Darunter stellt das Unternehmen die Produktion ein.
Intuition

Was das besagt: A firm's costs break down simply. Fixed costs (rent, equipment) don't change with output. Variable costs (labor, materials) rise as you produce more. Marginal cost is the cost of making one more unit. Average cost is total cost spread across all units.

Warum das wichtig ist: The shapes of these curves drive every supply decision. The U-shape of average cost comes from spreading fixed costs (pulls it down) battling diminishing returns (pushes it up). Marginal cost always crosses average cost at the bottom of the U — think of it like your GPA: a new grade above your average pulls it up, below pulls it down.

Was sich ändert: When fixed costs rise, the average cost curve shifts up but marginal cost is unchanged — the shutdown point stays the same but the break-even point rises. When variable costs rise (e.g., higher wages), both MC and AVC shift up, raising the shutdown price.

In Full Mode, the cost summary table shows the formal definitions and calculus notation.

Interaktiv: Kostenkurven und Gewinn

Das Unternehmen hat $GK = 50 + 2Q + 0.05Q^2$. Passen Sie den Marktpreis an, um den gewinnmaximierenden Output zu sehen und ob das Unternehmen Gewinn oder Verlust macht.

\$1\$8\$15
Bei P = \$1.00: Q* = 60  |  GE = \$180  |  TK = \$150  |  Gewinn = \$130

Abbildung 5.4. Kurzfristige Kostenkurven. Das Unternehmen produziert dort, wo $P = GK$ (auf dem steigenden Abschnitt). Grüne Schattierung = Gewinn; rote Schattierung = Verlust. Unterhalb des Betriebsminimums ($DVK_{min}$) produziert das Unternehmen nichts.

Langfristige Durchschnittskosten

Langfristig kann das Unternehmen jedes Kapitalniveau wählen. Die langfristige Durchschnittskostenkurve (LDKK) ist die Einhüllende aller kurzfristigen DK-Kurven — jede entspricht einem anderen Niveau an fixem Kapital.

Warum die LDKK typischerweise U-förmig ist:

Das Outputniveau am Tiefpunkt der LDKK ist die mindestoptimale Betriebsgröße (MOS) — der kleinste Output, bei dem die LDKK minimiert wird.

Interaktiv: Kurzfristige vs. langfristige Durchschnittskosten

Jede kurzfristige DK-Kurve entspricht einem anderen Kapitalniveau. Ziehen Sie den Schieberegler, um eine bestimmte KDKK hervorzuheben und zu sehen, wie sie sich zur LDKK-Einhüllenden verhält.

K=1 (klein)K=3K=6 (groß)
Kapital K̄ = 3: KDKK-Minimum bei Q = 47, DK = \$1.32  |  MEB bei Q ≈ 60

Abbildung 5.5. Die langfristige DK-Kurve (schwarz) ist die Einhüllende der kurzfristigen DK-Kurven. Jede KDKK entspricht einer anderen Betriebsgröße. Die hervorgehobene KDKK (fett) zeigt das aktuelle Kapitalniveau. Langfristig kann das Unternehmen durch Kapitalanpassung entlang der LDKK wandern.

5.7 Gewinnmaximierung

Gewinnmaximierung. Das Ziel des Unternehmens: Die Produktion wählen, die den Gewinn $\Pi = P \cdot Q - TC(Q)$ maximiert. Für ein Wettbewerbsunternehmen (Preisnehmer) ergibt die Bedingung erster Ordnung $P = MC$ — dort produzieren, wo der Preis den Grenzkosten entspricht.
$$\max_Q \; \Pi = P \cdot Q - TC(Q)$$ (Eq. 5.12)

Bedingung erster Ordnung:

$$P = MC(Q)$$ (Eq. 5.13)
Intuition

Was das besagt: A competitive firm should keep producing as long as the price it receives for one more unit exceeds the cost of making that unit. Stop when they are equal. Producing beyond that point means each additional unit costs more to make than it earns.

Warum das wichtig ist: This single rule — price equals marginal cost — is where supply curves come from. The firm's supply curve is literally its marginal cost curve. It connects the abstract calculus of profit maximization to the supply-and-demand diagrams from Chapter 2.

Was sich ändert: When the market price rises, the firm produces more (moves up its MC curve). When costs increase (MC shifts up), the firm produces less at any given price. If the price falls below the minimum of average variable cost, the firm shuts down entirely — producing would lose money on every unit.

In Full Mode, Eqs. 5.12-5.13 derive the profit-maximizing condition from the first-order condition.

Die Gewinnmaximierungsregel: Produziere dort, wo der Preis gleich den Grenzkosten ist. Das Unternehmen sollte weiter produzieren, solange der Erlös einer weiteren Einheit ($P$) die Kosten ($GK$) übersteigt. Die Angebotskurve des Unternehmens ist der Teil seiner GK-Kurve oberhalb von $DVK_{min}$.

Warum $P = GK$ die Angebotskurve ist — der tiefe Zusammenhang. In Kapitel 2 zeichneten wir die Angebotskurve als steigend. Jetzt sehen wir, woher sie kommt: Sie ist die Grenzkostenkurve des Unternehmens. Die Angebotskurve steigt, weil die Grenzkosten steigen — nicht weil wir es angenommen haben, sondern weil es aus dem abnehmenden Grenzertrag folgt.

Beispiel 5.5 — Gewinnmaximierung

$GK = 50 + 2Q + 0.5Q^2$. Bei $P = 12$: $P = GK$ ergibt \$12 = 2 + Q$, also $Q^* = 10$.

$\Pi = 12(10) - [50 + 20 + 50] = 0$. Null ökonomischer Gewinn — das langfristige Wettbewerbsgleichgewicht.

Intuition

Was das besagt: At a price of \$12, the firm produces 10 units and exactly breaks even — zero economic profit. This is what long-run competitive equilibrium looks like: entry and exit drive the price to the point where firms earn just enough to cover all costs, including the opportunity cost of capital.

Warum das wichtig ist: Zero economic profit does not mean the firm is failing — it means the firm earns a normal return on its investment. Positive economic profit attracts entry, pushing prices down. Negative economic profit triggers exit, pushing prices up. The market converges to zero economic profit.

Was sich ändert: If the price rose above \$12, the firm would produce more and earn positive profit, attracting new entrants. If the price fell below the break-even point, the firm would eventually exit.

In Full Mode, Example 5.5 solves the profit maximization numerically.
Beispiel 5.6 — Gewinnmaximierung aus der Produktionsfunktion

Ein Wettbewerbsunternehmen hat die Produktionsfunktion $Y = 10L^{0.5}$, steht einem Lohn $w = 20$ und einem Outputpreis $P = 8$ gegenüber.

Schritt 1 — Gewinnfunktion bestimmen. Erlös: $R = PY = 8 \times 10L^{0.5} = 80L^{0.5}$. Kosten: $C = wL = 20L$. Gewinn: $\Pi = 80L^{0.5} - 20L$.

Schritt 2 — Bedingung erster Ordnung. $d\Pi/dL = 40L^{-0.5} - 20 = 0 \implies L^{-0.5} = 0.5 \implies L^* = 4$.

Schritt 3 — Output und Gewinn berechnen. $Y^* = 10(4)^{0.5} = 20$. Erlös = \$1 \times 20 = 160$. Kosten = \$10 \times 4 = 80$. Gewinn = \$10.

Überprüfung: $P \times MP_L = w$ im Optimum: \$1 \times 10 \times 0.5 \times 4^{-0.5} = 8 \times 2.5 = 20 = w$. ✓

Intuition

Was das besagt: The firm hires workers until the revenue generated by the last worker exactly equals the wage. Hiring one more worker beyond that point would cost more than the revenue they generate.

Warum das wichtig ist: This is "P = MC" expressed in terms of the labor market: hire until the value of the marginal product equals the wage. It explains labor demand — firms hire more workers when the output price rises or when workers become more productive.

Was sich ändert: If the output price rose from \$1 to \$10, the firm would hire more workers (labor becomes more valuable). If wages rose, the firm would hire fewer workers. Diminishing returns mean each additional worker adds less revenue than the last.

In Full Mode, Example 5.6 derives the optimal labor choice from the first-order condition of the profit function.

5.8 Die Angebotskurve des Unternehmens

Leitbeispiel: Mayas Unternehmen

Mayas Limonadenstand — Die vollständige Kostenanalyse

Kostenstruktur: $FK = \\$10$/Tag (Standmiete). Material: $\\$1.50$/Becher. Mayas Arbeit: 10 Becher/Stunde bei Opportunitätskosten von $\\$15$/Std., also $\\$1.50$/Becher.

$GK = 20 + 3Q$,   $GK = 3$,   $DVK = 3$,   $DK = 20/Q + 3$.

Aus Kapitel 2: $P^* = \\$1.75$. Aber $GK = \\$1.00 > P^*$. Maya sollte nicht produzieren. Jeder Becher verliert $\\$1.25$.

Wenn wir jedoch ihre Opportunitätskosten ausschließen (nur buchhalterischer Gewinn), $DVK_{Material} = \\$1.50$, und $P = 2.75 > 1.50$. Sie verdient $\\$16.25$/Tag an buchhalterischem Gewinn, aber $-\\$13.75$/Tag an ökonomischem Gewinn. Der Ökonom sagt: Maya, Ihre Zeit ist $\\$120$/Tag in der Buchhandlung wert.

Zusammenfassung

Wichtige Gleichungen

BezeichnungGleichungBeschreibung
Gl. 5.1$MRS = MU_1/MU_2$Grenzrate der Substitution
Gl. 5.2$\max U(x_1,x_2)$ u.d.N. $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$Konsumentenproblem
Gl. 5.3$\mathcal{L} = U + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$Lagrange-Funktion
Gl. 5.4FOCs: $MU_i = \lambda p_i$; budget bindsBedingungen erster Ordnung
Gl. 5.5$MRS = p_1/p_2$Tangentialbedingung
Gl. 5.6$x_i^* = a_i m / p_i$Cobb-Douglas-Marshallsche-Nachfrage
Gl. 5.7$\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \partial x_1/\partial m$Slutsky-Gleichung
Gl. 5.8$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
Gl. 5.9$MRTS = MP_L/MP_K$Grenzrate der technischen Substitution
Gl. 5.10$\min wL + rK$ u.d.N. $f(K,L) = \bar{Y}$Kostenminimierungsproblem
Gl. 5.11$MRTS = w/r$Kostenminimales Inputverhältnis
Gl. 5.12$\max \Pi = PQ - TC(Q)$Gewinnmaximierung
Gl. 5.13$P = MC$Gewinnmaximierende Outputregel

Übungen

Übung

  1. Ein Konsument hat die Nutzenfunktion $U = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$, Preise $p_1 = 4$, $p_2 = 2$, Einkommen $m = 120$. (a) Schreiben Sie die Lagrange-Funktion auf. (b) Leiten Sie die Tangentialbedingung her. (c) Lösen Sie nach der Marshallschen Nachfrage für beide Güter. (d) Berechnen Sie das optimale Bündel und überprüfen Sie, dass es die Budgetbeschränkung erfüllt.
  2. Ein Konsument hat eine quasilineare Nutzenfunktion $U = 2\sqrt{x_1} + x_2$, $p_1 = 1$, $p_2 = 1$, $m = 10$. (a) Lösen Sie nach dem optimalen Konsum. (b) Wie hoch ist die Einkommenselastizität der Nachfrage nach $x_1$? (c) Was passiert mit $x_1^*$, wenn sich das Einkommen verdoppelt?
  3. Ein Unternehmen hat die Produktionsfunktion $Y = 4K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 8$, $r = 2$. (a) Finden Sie die kostenminimale Inputkombination zur Produktion von $Y = 40$. (b) Wie hoch sind die Gesamtkosten? (c) Wenn sich $w$ verdoppelt, wie ändert sich das optimale $K/L$-Verhältnis?
  4. Ein Wettbewerbsunternehmen hat $GK = 100 + 5Q + Q^2$. (a) Leiten Sie GK, DK und DVK her. (b) Bestimmen Sie das Betriebsminimum. (c) Bei $P = 25$: Bestimmen Sie den gewinnmaximierenden Output und den Gewinn. (d) Bei $P = 5$: Sollte das Unternehmen produzieren oder stilllegen?
  5. Klassifizieren Sie die Skalenerträge: (a) $Y = 3K + 2L$, (b) $Y = K^{0.4}L^{0.4}$, (c) $Y = (KL)^{0.6}$, (d) $Y = \min(2K, 3L)$.

Anwendung

  1. Für Cobb-Douglas-Nutzen $U = x_1^a x_2^{1-a}$: Leiten Sie die Marshallschen Nachfragen her und zeigen Sie, dass der Konsument stets den Anteil $a$ für Gut 1 ausgibt. Verwenden Sie dann $V = \ln U$ und zeigen Sie, dass dieselben Nachfragen resultieren. Was bestätigt dies bezüglich der Ordinalität?
  2. Eine Preissenkung bei Gut 1 führt dazu, dass ein Konsument weniger von Gut 1 kauft. (a) Ist das irrational? (b) Um welche Art von Gut muss es sich handeln? (c) Welche Bedingungen sind notwendig? (d) Warum sind Giffen-Güter so selten?
  3. Ein Unternehmen kann mit Technologie A ($GK_A = 100 + 2Q$) oder Technologie B ($GK_B = 10 + 5Q$) produzieren. (a) Für welche Outputniveaus ist jeweils die eine günstiger? (b) Was impliziert dies für Unternehmensgröße und Technologiewahl?
  4. Leiten Sie die kurzfristige Angebotskurve für ein Unternehmen mit $GK = 50 + Q^2/2$ her. Zeichnen Sie sie, kennzeichnen Sie den Stilllegungspreis und schattieren Sie den Gewinn bei $P = 10$.
  5. Mit $Y = K^{0.3}L^{0.7}$, $w = 14$, $r = 6$: (a) Bestimmen Sie das kostenminimale $K/L$-Verhältnis. (b) Leiten Sie $GK(Y)$ her. (c) Welche Skalenerträge liegen vor?

Herausforderung

  1. Beweisen Sie, dass für Cobb-Douglas-Nutzen $U = x_1^a x_2^{1-a}$ die indirekte Nutzenfunktion $V(p_1, p_2, m) = m \cdot (a/p_1)^a \cdot ((1-a)/p_2)^{1-a}$ lautet. Verifizieren Sie dann Roys Identität: $x_1^* = -(\partial V/\partial p_1)/(\partial V/\partial m)$.
  2. Zeigen Sie, dass ein gewinnmaximierendes Unternehmen mit Cobb-Douglas-Produktion bei konstanten Skalenerträgen im langfristigen Gleichgewicht null ökonomischen Gewinn erzielt. (Hinweis: Euler-Theorem.) Warum stellen zunehmende Skalenerträge ein Problem für Wettbewerbsmärkte dar?
  3. Die Nachfrage eines Konsumenten nach Gut 1 ist $x_1 = m/p_1 - p_2$. (a) Ist sie homogen vom Grad null? (b) Erfüllt sie die Slutsky-Symmetrie? (c) Kann sie durch Nutzenmaximierung erzeugt werden?
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