Kapitel 5 führte die Konsumententheorie durch Nutzenmaximierung und den Lagrange-Ansatz ein. Dieses Kapitel löst sich von spezifischen Funktionsformen und baut die Theorie auf axiomatischen Grundlagen auf. Wir fragen: Wann können Präferenzen durch eine Nutzenfunktion dargestellt werden? Welche Eigenschaften müssen Nachfragefunktionen erfüllen? Und unter welchen Bedingungen alloziert ein System wettbewerblicher Märkte Ressourcen effizient?
Der methodische Wandel führt von der Berechnung zum Beweis. Teil II löste Optimierungsprobleme. Teil III beweist Theoreme und stellt fest, welche Ergebnisse robust sind und welche von Spezialannahmen abhängen.
Am Ende dieses Kapitels werden Sie in der Lage sein:
Die Präferenzaxiome und die Bedingungen für die Nutzenrepräsentation angeben
WARP und SARP definieren und die Konsistenz offenbarter Präferenzen testen
Die Ausgabenfunktion und die Hicks’sche Nachfrage mittels Dualität ableiten
Eigenschaften der Slutsky-Matrix formulieren und überprüfen
Das walrasianische Gleichgewicht definieren und den ersten Wohlfahrtssatz beweisen
Den zweiten Wohlfahrtssatz formulieren und seine wirtschaftspolitischen Implikationen erklären
Voraussetzungen: Kapitel 5–7. Mathematische Voraussetzungen: Grundlagen der reellen Analysis (offene/abgeschlossene Mengen, Stetigkeit, Fixpunktsätze), konvexe Analysis, Matrizenalgebra. Siehe Anhang A.
11.1 Wahltheorie: Axiome und Nutzenrepräsentation
Präferenzaxiome
Präferenzrelation.Eine binäre Relation $\succsim$ auf einer Konsummenge $X \subseteq \mathbb{R}^n_+$. Wir definieren: $x \succ y$ (strikte Präferenz), wenn $x \succsim y$ und nicht $y \succsim x$; und $x \sim y$ (Indifferenz), wenn $x \succsim y$ und $y \succsim x$.
Die Standardaxiome:
Axiom 1 (Vollständigkeit).Für alle $x, y \in X$: $x \succsim y$ oder $y \succsim x$ (oder beides).
Axiom 2 (Transitivität).Für alle $x, y, z \in X$: wenn $x \succsim y$ und $y \succsim z$, dann $x \succsim z$.
Axiom 3 (Stetigkeit).Für alle $y \in X$ sind die Mengen $\{x : x \succsim y\}$ und $\{x : y \succsim x\}$ abgeschlossen. Äquivalent: die strikten Präferenzmengen $\{x : x \succ y\}$ und $\{x : y \succ x\}$ sind offen.
Satz (Debreu).Wenn $\succsim$ vollständig, transitiv und stetig ist, dann existiert eine stetige Nutzenfunktion $u: X \to \mathbb{R}$, sodass $x \succsim y \iff u(x) \geq u(y)$.
Beweisskizze. Fixiere einen Strahl $\{te : t \geq 0\}$ wobei $e = (1,1,\ldots,1)$. Für jedes $x$ existiert nach Vollständigkeit und Stetigkeit ein eindeutiges $t(x) \geq 0$ mit $x \sim t(x)e$. Setze $u(x) = t(x)$. Transitivität sichert die Konsistenz der Darstellung; Stetigkeit sichert, dass $u$ stetig ist.
Intuition
Was das besagt: Wenn Ihre Präferenzen sich nie widersprechen und keine Sprünge machen, lassen sie sich durch eine einzige Zahl je Güterbündel zusammenfassen: Diese Zahl ist der Nutzen. Debreus Satz garantiert, dass diese Zusammenfassung existiert: Ordnen Sie jedem Bündel den Punkt auf einem festen Referenzstrahl zu, mit dem Sie gleich zufrieden wären, und Sie erhalten eine konsistente Bewertung.
Warum das wichtig ist: Ökonomen müssen also keine Nutzenfunktion annehmen, sondern gewinnen sie aus drei schlichten Bedingungen an das Wahlverhalten. Alles Weitere (Nachfrage, Wohlfahrtssätze, Mechanismusdesign) stützt sich auf diese Garantie. Ohne Repräsentation gibt es kein Ziel, das man maximieren könnte.
Was sich ändert: Lässt man die Stetigkeit fallen, bricht die Garantie: Lexikografische Präferenzen (immer mehr von Gut 1 vorziehen, bei Gleichstand nach Gut 2 entscheiden) sind vollständig und transitiv, machen aber Sprünge, sodass keine stetige Nutzenzahl ihnen folgen kann. Stetigkeit ist die Bedingung, die solche Sprünge ausschließt.
Im vollständigen Modus konstruieren der Satz und seine Beweisskizze die Nutzenzahl explizit aus einem Referenzstrahl.
Die Nutzenfunktion ist ordinal, das heißt, jede monotone Transformation $v = g(u)$ mit $g' > 0$ repräsentiert dieselben Präferenzen. Kardinale Eigenschaften (Größen von Nutzendifferenzen) haben keine Bedeutung.
Zusätzliche Eigenschaften
Monotonie (mehr ist besser).Wenn $x \geq y$ (komponentenweise) und $x \neq y$, dann $x \succ y$.
Konvexität.Wenn $x \succsim y$, dann $\lambda x + (1-\lambda)y \succsim y$ für alle $\lambda \in [0,1]$. Konvexität bedeutet, dass Indifferenzkurven zum Ursprung hin konvex sind und der Konsument Mischungen bevorzugt.
Strikte Konvexität.Wenn $x \succsim y$, $x \neq y$ und $\lambda \in (0,1)$, dann $\lambda x + (1-\lambda)y \succ y$. Strikte Konvexität garantiert eindeutige optimale Bündel.
Beispiel 11.1a — Überprüfung der Präferenzaxiome
Betrachten Sie lexikographische Präferenzen auf $\mathbb{R}^2_+$: $x \succ y$ wenn $x_1 > y_1$, oder $x_1 = y_1$ und $x_2 > y_2$.
Vollständigkeit: Erfüllt, denn für beliebige $x, y$ gilt entweder $x_1 > y_1$, $y_1 > x_1$, oder $x_1 = y_1$ und wir vergleichen $x_2, y_2$.
Transitivität: Erfüllt, denn wenn $x \succ y$ und $y \succ z$, dann $x \succ z$ (folgt aus der Transitivität von $>$ auf $\mathbb{R}$).
Stetigkeit:Verletzt. Betrachten Sie $y = (1, 1)$. Die Menge $\{x : x \succ y\}$ enthält $(1, 1.5)$, aber nicht $(0.999, 100)$. Die Menge der „mindestens so guten“ Alternativen ist nicht abgeschlossen, denn es gibt einen Sprung bei $x_1 = 1$.
Folgerung: Keine stetige Nutzenfunktion kann lexikographische Präferenzen darstellen. Dies zeigt, dass Stetigkeit für Debreus Nutzenrepräsentationstheorem wesentlich ist.
Statt Präferenzen anzunehmen, können wir sie aus beobachteten Wahlen ableiten.
Schwaches Axiom der offenbarten Präferenz (WARP).Wenn Bündel $x$ gewählt wird, obwohl Bündel $y$ erschwinglich ist (d.h. $p \cdot x \geq p \cdot y$, wobei $p$ der Preisvektor ist), dann wird $y$ niemals gewählt, wenn $x$ erschwinglich ist.
Formal: Wenn $x$ gegenüber $y$ offenbart präferiert wird ($xRy$: $x$ wurde bei Preisen gewählt, bei denen $y$ erschwinglich war), dann wird $y$ nicht gegenüber $x$ offenbart präferiert.
Starkes Axiom der offenbarten Präferenz (SARP).Die offenbarte Präferenzrelation hat keine Zyklen: Es gibt keine Folge $x^1 R x^2 R \cdots R x^k R x^1$.
SARP ist notwendig und hinreichend dafür, dass beobachtete Wahlen mit Nutzenmaximierung konsistent sind (Afriats Theorem). WARP ist notwendig, aber im Allgemeinen nicht hinreichend (obwohl es bei zwei Gütern hinreichend ist).
Beispiel 11.1 — WARP-Überprüfung
Die Wahlen eines Konsumenten bei zwei Preis-Einkommens-Situationen:
Situation
Preise $(p_1, p_2)$
Gewähltes Bündel $(x_1, x_2)$
Ausgaben
A
(1, 2)
(4, 2)
8
B
(2, 1)
(2, 4)
8
Überprüfung von WARP: Konnte sich der Konsument bei Preisen A das Bündel B leisten? $1(2) + 2(4) = 10 > 8$. Nein. Konnte sich der Konsument bei Preisen B das Bündel A leisten? $1(4) + 1(2) = 10 > 8$. Nein. WARP ist erfüllt, die Daten sind also konsistent mit Nutzenmaximierung.
Interaktiv: Offenbarte-Präferenz-Test
Geben Sie Preisvektoren und gewählte Güterbündel für bis zu 6 Beobachtungen ein. Das Werkzeug prüft WARP und SARP automatisch.
Beob.
$p_1$
$p_2$
$x_1$
$x_2$
Ausgaben
1
8.0
2
8.0
3
6.0
4
—
5
—
6
—
Klicken Sie auf „WARP & SARP prüfen“, um die Daten zu analysieren.
Interaktiv 11.1. Geben Sie Preis-Bündel-Beobachtungen ein und testen Sie die Konsistenz offenbarter Präferenzen. WARP prüft direkte paarweise Umkehrungen; SARP prüft auf Zyklen beliebiger Länge. Verletzungen werden mit Erklärungen hervorgehoben.
11.3 Dualität: Ausgabenfunktion und Hicks’sche Nachfrage
Kapitel 5 löste das primale Problem: Maximiere den Nutzen unter einer Budgetrestriktion. Das duale Problem minimiert die Ausgaben zur Erreichung eines Zielnutzenniveaus.
Das Ausgabenminimierungsproblem
Ausgabenfunktion.$e(p, \bar{u}) = \min_{x \geq 0} p \cdot x$ unter der Nebenbedingung $u(x) \geq \bar{u}$. Sie gibt die minimalen Kosten an, um das Nutzenniveau $\bar{u}$ bei Preisen $p$ zu erreichen. Die Ausgabenfunktion ist homogen vom Grad 1 in Preisen und konkav in Preisen.
$$e(p, \bar{u}) = \min_{x \geq 0} \; p \cdot x \quad \text{u.d.N.} \quad u(x) \geq \bar{u}$$(Gl. 11.1)
Hicks’sche (kompensierte) Nachfrage.Die Nachfragefunktion $h(p, \bar{u})$, die das Ausgabenminimierungsproblem löst. Sie zeigt, wie der Konsum auf Preisänderungen reagiert, wobei der Nutzen konstant gehalten wird (der Konsument wird für die Preisänderung kompensiert). Anders als die Marshall’sche Nachfrage isoliert die Hicks’sche Nachfrage den reinen Substitutionseffekt.
Die Lösung ist die Hicks’sche (kompensierte) Nachfrage $h(p, \bar{u})$:
Shephards Lemma.Die Hicks’sche Nachfrage kann direkt aus der Ausgabenfunktion durch Differentiation gewonnen werden: $h_i(p, \bar{u}) = \partial e(p, \bar{u}) / \partial p_i$. Dies ist das duale Analogon zu Roys Identität.
Homogen vom Grad 1 in $p$: $e(tp, \bar{u}) = te(p, \bar{u})$
Nicht-fallend in $p$: Höhere Preise bedeuten mehr Ausgaben zur Erreichung von $\bar{u}$
Konkav in $p$: $e(\lambda p + (1-\lambda)p', \bar{u}) \geq \lambda e(p, \bar{u}) + (1-\lambda)e(p', \bar{u})$
Nicht-fallend in $\bar{u}$: Höherer Zielnutzen bedeutet mehr Ausgaben
Verknüpfung von Primal und Dual
Die indirekte Nutzenfunktion $V(p, m)$ gibt den maximal erreichbaren Nutzen bei Preisen $p$ mit Einkommen $m$ an:
$$V(p, m) = \max_{x} \; u(x) \quad \text{s.t.} \quad p \cdot x \leq m$$
Die zentralen Dualitätsbeziehungen:
$$e(p, V(p, m)) = m$$(Gl. 11.3)
$$V(p, e(p, \bar{u})) = \bar{u}$$(Gl. 11.4)
$$h(p, \bar{u}) = x(p, e(p, \bar{u}))$$(Gl. 11.5)
Roys Identität.Die Marshall’sche Nachfrage kann aus der indirekten Nutzenfunktion gewonnen werden: $x_i(p, m) = -(\partial V / \partial p_i) / (\partial V / \partial m)$. Eine Preiserhöhung reduziert die Wohlfahrt proportional zur konsumierten Menge, skaliert mit dem Grenznutzen des Einkommens.
Roys Identität bietet eine Abkürzung zur Ableitung der Marshall’schen Nachfrage aus der indirekten Nutzenfunktion:
$$x_i(p, m) = -\frac{\partial V / \partial p_i}{\partial V / \partial m}$$(Gl. 11.6)
Intuition
Was das besagt: Zwei Abkürzungen ergeben sich daraus, dieselbe Frage von zwei Seiten zu stellen. Shephards Lemma: Der billigste Weg, ein festes Zufriedenheitsniveau zu erreichen, verschiebt sich bei einer Preiserhöhung genau im Verhältnis zu der Menge, die Sie von diesem Gut gekauft haben. Die Nachfragekurve ist also nichts anderes als die Steigung der Funktion „Kosten, um gleich zufrieden zu bleiben“. Roys Identität: Ihre Nachfrage nach einem Gut ist die Rate, mit der Ihre bestmögliche erreichbare Zufriedenheit sinkt, wenn sein Preis einen Schritt steigt, geteilt durch das, was Ihnen ein Dollar mehr gebracht hätte.
Warum das wichtig ist: Die Nachfrage lässt sich durch Ableiten einer einzigen Funktion gewinnen, statt ein Optimierungsproblem von Grund auf neu zu lösen. Kostenminimierung und Nutzenmaximierung sind zwei Sichten auf eine einzige Entscheidung, sodass die Antwort auf die eine Ihnen die andere gratis liefert. Diese Dualität macht die Wohlfahrtsmessung und die anschließende Slutsky-Zerlegung erst möglich.
Was sich ändert: Erhöht sich ein Preis, bewegen sich beide Abkürzungen in dieselbe Richtung: Shephard sagt, dass Sie entlang des Pfads konstanten Nutzens vom nun teuren Gut auf andere ausweichen; Roy sagt, dass Ihre erreichbare Wohlfahrt ungefähr um die Menge sinkt, die Sie gekauft haben. Je mehr Sie von einem Gut kaufen, desto härter trifft Sie seine Preiserhöhung.
Im vollständigen Modus formulieren Gl. 11.2 und 11.6 Shephards Lemma und Roys Identität als Ableitungen der Ausgabenfunktion und der indirekten Nutzenfunktion.
Intuition für Roys Identität: Ein kleiner Anstieg von $p_i$ hat zwei Auswirkungen auf die Wohlfahrt (gemessen durch $V$): (1) er reduziert direkt den Nutzen, indem Gut $i$ teurer wird (der Zähler $\partial V/\partial p_i < 0$), und (2) das Ausmaß dieses Effekts ist proportional zur Menge von Gut $i$, die der Konsument kauft ($x_i$), multipliziert mit dem Grenznutzen des Einkommens ($\partial V/\partial m$). Division von (1) durch den Grenznutzen des Einkommens ergibt die Menge von Gut $i$.
Für $\rho \to 0$ (Substitutionselastizität $\sigma = 1/(1-\rho) \to 1$) konvergiert dies zum Cobb-Douglas-Fall.
Interaktiv: Dualitäts-Simulator
Cobb-Douglas-Nutzen $u = x_1^{0.5} x_2^{0.5}$ mit Einkommen $m = 10$. Verschieben Sie $p_1$, um zu sehen, wie alle drei Darstellungen, Tangentialpunkt an der Budgetlinie, Marshall’sche Nachfrage und Ausgabenfunktion, dieselbe Information enthalten.
Interaktiv 11.2. Drei Ansichten desselben Konsumenten. Links: Indifferenzkurve tangential zur Budgetlinie (primal). Mitte: Marshall’sche Nachfrage nach Gut 1 als Funktion von $p_1$. Rechts: Ausgabenfunktion $e(p_1, p_2, \bar{u})$, die zur Erreichung des aktuellen Nutzenniveaus benötigt wird. Alle drei bilden dieselben Präferenzen ab.
11.4 Die Slutsky-Matrix
Slutsky-Matrix.Die $n \times n$-Matrix $S$ mit Einträgen $S_{ij} = \partial h_i / \partial p_j$, die Substitutionseffekte zwischen Gütern misst. Wenn die Nachfrage durch Nutzenmaximierung erzeugt wird, muss $S$ symmetrisch und negativ semidefinit sein. Dies sind testbare Restriktionen für beobachtete Nachfrage.
Die Slutsky-Gleichung aus Kapitel 5 (Gl. 5.7) verallgemeinert sich zu einer Matrix. Definiere die Slutsky-(Substitutions-)Matrix mit den Einträgen:
Wenn die Nachfrage durch Nutzenmaximierung erzeugt wird, muss die Slutsky-Matrix folgende Eigenschaften haben:
Symmetrisch: $S_{ij} = S_{ji}$ (Kreuzsubstitutionseffekte sind gleich)
Negativ semidefinit: $v'Sv \leq 0$ für alle Vektoren $v$ (Eigensubstitutionseffekte sind nicht-positiv: $S_{ii} \leq 0$)
$S \cdot p = 0$: Kompensierte Nachfrage ist homogen vom Grad null in Preisen
Intuition
Was das besagt: Die Slutsky-Matrix ist die Buchführung über zwei Tatsachen der Substitution. Erstens sind die Kreuzeffekte symmetrisch: Wie die kompensierte Nachfrage nach Gut A auf den Preis von Gut B reagiert, spiegelt genau wider, wie B auf den Preis von A reagiert. Zweitens gehen die eigenen Substitutionseffekte nie in die falsche Richtung: Erhöht sich der Preis eines Gutes bei festgehaltener Zufriedenheit, kaufen Sie davon nie mehr, allenfalls weniger. Mehr besagt „symmetrisch und negativ semidefinit“ nicht.
Warum das wichtig ist: Diese beiden Tatsachen sind testbar. Ein Nachfragesystem, das jemand aus echten Daten schätzt, erfüllt sie oder nicht, und wenn nicht, kann kein rationaler, nutzenmaximierender Konsument es erzeugt haben. Die Matrix verwandelt die abstrakte Behauptung „Menschen maximieren ihren Nutzen“ in ein überprüfbares Muster in beobachteten Käufen.
Was sich ändert: Andersherum gelesen (der Integrabilitätssatz): Erfüllt ein Nachfragesystem Symmetrie, negative Semidefinitheit, Homogenität und Budgetausschöpfung, dann muss irgendeine Nutzenfunktion es erzeugt haben. Die Restriktionen sind nicht nur notwendig, sie reichen aus, um Präferenzen aus Entscheidungen zu rekonstruieren.
Im vollständigen Modus definiert Gl. 11.7 die Matrix, und die aufgeführten Eigenschaften formulieren Symmetrie, negative Semidefinitheit und Homogenität formal.
Dies sind testbare Restriktionen: Wenn die beobachtete Nachfrage sie verletzt, kann sie nicht von einem rationalen, eine wohlverhaltene Nutzenfunktion maximierenden Konsumenten erzeugt worden sein.
Integrabilität.Umgekehrt: Wenn ein Nachfragesystem erfüllt: (a) Walras’ Gesetz ($p \cdot x(p,m) = m$), (b) Homogenität vom Grad null, (c) Slutsky-Symmetrie und negative Semidefinitheit, dann existiert eine Nutzenfunktion, die es erzeugt. Dies ist das Integrabilitätstheorem.
Beispiel 11.3 — Slutsky-Symmetrie für Cobb-Douglas
Passen Sie den Preis von Gut 1 an, um zu sehen, wie die Marshall’sche Nachfrage, die Hicks’sche (kompensierte) Nachfrage und der Einkommenseffekt reagieren. Verwendet Cobb-Douglas-Nutzen $u(x_1,x_2)=x_1^a x_2^{1-a}$ mit $a=0.6$, $p_2=3$, $m=120$.
1 (günstiger)4 (teurer)
Abbildung 11.2. Links: Slutsky-Zerlegung im Güterraum. Das ursprüngliche Bündel (blau), das kompensierte Bündel (orange, auf der ursprünglichen Indifferenzkurve bei neuen Preisen) und das neue Bündel (grün). Der Substitutionseffekt führt von Blau nach Orange, der Einkommenseffekt von Orange nach Grün. Rechts: Slutsky-Matrixeinträge $S_{11}$ und $S_{12}$ bei variierendem $p_1$, was die negative Semidefinitheit ($S_{11} \leq 0$) und Symmetrie bestätigt.
Tauschwirtschaft.Eine Ökonomie mit $I$ Konsumenten und $L$ Gütern, aber ohne Produktion. Jeder Konsument hat eine Anfangsausstattung $\omega_i$ und Präferenzen $\succsim_i$. Der Tausch findet zu Marktpreisen statt. Die Frage ist, ob ein Preisvektor existiert, der alle Märkte gleichzeitig räumt.
Betrachte eine Ökonomie mit $I$ Konsumenten und $L$ Gütern. Konsument $i$ hat Ausstattung $\omega_i \in \mathbb{R}^L_+$ und Präferenzen $\succsim_i$.
Bei Preisen $p$ beträgt das Vermögen von Konsument $i$: $m_i = p \cdot \omega_i$. Er fragt $x_i(p, m_i)$ nach.
Walrasianisches (Wettbewerbs-)Gleichgewicht.Ein Preisvektor $p^*$ und eine Allokation $(x_1^*, \ldots, x_I^*)$, sodass: (1) Jeder Konsument maximiert den Nutzen: $x_i^*$ löst $\max u_i(x_i)$ u.d.N. $p^* \cdot x_i \leq p^* \cdot \omega_i$; (2) Die Märkte räumen: $\sum_i x_i^* = \sum_i \omega_i$.
Walras’ Gesetz.Für jeden Preisvektor $p$: $p \cdot z(p) = 0$. Der Gesamtwert der Überschussnachfrage ist stets null. Dies folgt aus der Budgetausschöpfung: $p \cdot x_i = p \cdot \omega_i$ für jeden Konsumenten.
Implikationen: (1) Wenn $L - 1$ Märkte geräumt sind, wird der $L$-te automatisch geräumt. (2) Nur relative Preise sind relevant, sodass wir einen Preis auf 1 normieren können (den Numéraire).
Existenz
Satz (Arrow-Debreu, 1954).Unter Standardbedingungen (stetige, strikt konvexe, lokal nicht-gesättigte Präferenzen; positive Gesamtausstattung jedes Gutes) existiert ein walrasianisches Gleichgewicht.
Beweisstrategie (Skizze). Normiere die Preise auf den Einheitssimplex $\Delta$. Definiere eine Preisanpassungsabbildung $f: \Delta \to \Delta$, die den Preis von Gütern mit Überschussnachfrage erhöht. Nach dem Fixpunktsatz von Brouwer hat $f$ einen Fixpunkt $p^*$. Am Fixpunkt gilt $z(p^*) = 0$: Alle Märkte sind geräumt.
Geschichte des ökonomischen Denkens — Denklinie des Werts
Die Edgeworth-Box
Edgeworth-Box.Ein Diagramm für eine 2-Konsumenten-, 2-Güter-Tauschwirtschaft. Die Seitenlängen der Box entsprechen den Gesamtausstattungen. Konsument 1 hat seinen Ursprung unten links, Konsument 2 oben rechts. Jeder Punkt in der Box ist eine realisierbare Allokation. Die Kontraktkurve verbindet alle Pareto-effizienten Punkte (Tangentialpunkte der Indifferenzkurven).
Für eine 2-Konsumenten-, 2-Güter-Ökonomie bietet die Edgeworth-Box eine vollständige Visualisierung. Die Seitenlängen der Box entsprechen den Gesamtausstattungen. Konsument 1 hat seinen Ursprung unten links, Konsument 2 oben rechts. Jeder Punkt in der Box ist eine realisierbare Allokation.
Interaktiv: Edgeworth-Box
Zwei Konsumenten mit Cobb-Douglas-Präferenzen. Verschieben Sie den Ausstattungspunkt, um zu erkunden, wie sich das walrasianische Gleichgewicht, die Kontraktkurve und der Kern ändern.
Abbildung 11.1 (Interaktiv). Die Edgeworth-Box. Der orangefarbene Punkt ist die Ausstattung. Der grüne Punkt ist das walrasianische Gleichgewicht. Die rote Kurve ist die Kontraktkurve (alle Pareto-effizienten Allokationen). Der schattierte Kernbereich zeigt Allokationen, die beide Konsumenten gegenüber der Ausstattung bevorzugen. Die Budgetlinie verläuft durch die Ausstattung mit Steigung $-p_x/p_y$.
Erster Wohlfahrtssatz.Wenn Präferenzen lokal nicht-gesättigt sind, dann ist jede walrasianische Gleichgewichtsallokation Pareto-optimal.
Pareto-optimal (effizient).Eine Allokation $x^*$ ist Pareto-optimal, wenn es keine andere realisierbare Allokation $x'$ gibt, sodass $u_i(x'_i) \geq u_i(x_i^*)$ für alle $i$ und $u_j(x'_j) > u_j(x_j^*)$ für mindestens ein $j$.
Beweis. Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Angenommen, die walrasianische Gleichgewichtsallokation $x^*$ bei Preisen $p^*$ ist nicht Pareto-optimal. Dann existiert eine realisierbare Allokation $x'$, bei der alle mindestens ebenso gut gestellt sind und jemand strikt besser.
Schritt 1. Für Konsument $j$, der strikt besser gestellt ist: Da $x_j^*$ nutzenmaximierend war und $x_j'$ strikt bevorzugt wird, muss $x_j'$ nicht erschwinglich gewesen sein: $p^* \cdot x_j' > p^* \cdot \omega_j$.
Schritt 2. Für jeden Konsumenten $i$: Durch lokale Nichtsättigung gilt $p^* \cdot x_i' \geq p^* \cdot \omega_i$.
Was das besagt: Angenommen, das Marktergebnis ließe sich so umordnen, dass jemand besser gestellt wird, ohne dass jemand anderes verliert. Diese Person hielte dann ein Bündel, das sie dem im Gleichgewicht gekauften vorzieht. Hätte sie es aber vorgezogen und sich leisten können, hätte sie es schon gekauft. Das hat sie nicht, also muss es unerreichbar gewesen sein. Zählt man die Ausgaben aller zusammen, kostet die „verbesserte“ Allokation mehr, als die Volkswirtschaft tatsächlich besitzt. Unmöglich. Eine solche Verbesserung gibt es also nicht: Das Gleichgewicht ist bereits effizient.
Warum das wichtig ist: Das ist Adam Smiths unsichtbare Hand, exakt formuliert. Eigennützige Händler, von denen jeder nur auf sein eigenes Budget achtet, landen bei einer Allokation, die kein zentraler Planer verbessern könnte, ohne jemanden schlechter zu stellen. Der Beweis braucht dabei weder Wohlwollen noch Koordination, nur Preise, die für alle gleich gelten.
Was sich ändert: Das Argument stützt sich auf nur zwei Dinge: Menschen lassen kein Geld liegen (lokale Nichtsättigung), und sie geben ihr ganzes Budget aus. Bricht die Annahme gemeinsamer Preise (Marktmacht, externe Effekte, fehlende Märkte, private Information), versagt der Schritt „sie hätten es kaufen können“. Genau dort hören reale Märkte auf, effizient zu sein.
Im vollständigen Modus leitet der vierstufige Beweis den Widerspruch aus Budgetausschöpfung und Realisierbarkeit her.
Der Beweis verwendet nur lokale Nichtsättigung und Budgetausschöpfung. Er erfordert keine Konvexität, Differenzierbarkeit oder eine spezifische Funktionsform. Diese Allgemeinheit macht das Theorem so stark.
Interpretation. Der erste Wohlfahrtssatz ist die formale Aussage von Adam Smiths „unsichtbarer Hand“. Wettbewerbsmärkte bringen eine Allokation hervor, die durch keine Umverteilung verbessert werden kann, ohne jemanden schlechter zu stellen. Aber die Annahmen (vollständige Märkte, Preisnehmerverhalten, keine Externalitäten, keine öffentlichen Güter, vollständige Information) definieren genau, wann die unsichtbare Hand versagt.
Geschichte des ökonomischen Denkens — Denklinie des Werts
Beispiel 11.6 — Erster Wohlfahrtssatz in einer 2-Konsumenten-Ökonomie
Aus Beispiel 11.4 ist das Gleichgewicht $x_1^* = y_1^* = x_2^* = y_2^* = 2$ bei $p_x = p_y$.
Überprüfung der Pareto-Optimalität: Im Gleichgewicht gilt $MRS_1 = y_1/x_1 = 1$ und $MRS_2 = y_2/x_2 = 1$. Da $MRS_1 = MRS_2 = p_x/p_y$, sind die Indifferenzkurven tangential, sodass die Allokation auf der Kontraktkurve liegt.
Überprüfung, dass keine Pareto-Verbesserung existiert: Jede Umverteilung, die Konsument 1 mehr von Gut $x$ gibt (z.B. $x_1 = 3$), erfordert $x_2 = 1$. Dann gilt $u_1 = \sqrt{3 \cdot y_1}$ und $u_2 = \sqrt{1 \cdot y_2}$ mit $y_1 + y_2 = 4$. Damit Konsument 1 profitiert ($u_1 > \sqrt{4} = 2$), brauchen wir $y_1 > 4$, also $y_1 > 4/3$, womit $y_2 < 8/3$ und $u_2 = \sqrt{8/3} < 2 = u_2^*$ folgt. Konsument 2 wird schlechter gestellt. Es existiert keine Pareto-Verbesserung.
Interaktiv: Visualisierung des ersten Wohlfahrtssatzes
Das walrasianische Gleichgewicht liegt auf der Kontraktkurve (Pareto-effizient). Schalten Sie „Pareto-Verbesserungsbereich anzeigen“ ein, um zu verifizieren: Im Gleichgewicht ist der linsenförmige Bereich, in dem beide Konsumenten gewinnen können, leer. Bei der Ausstattung ist er es nicht.
Im walrasianischen Gleichgewicht: Keine Pareto-Verbesserungen möglich, denn der erste Wohlfahrtssatz gilt. Die Gleichgewichtsallokation ist Pareto-optimal.
Interaktiv 11.3. Wechseln Sie zwischen der Ansicht des Gleichgewichts (wo keine Pareto-Verbesserungen existieren) und der Ausstattung (wo die schattierte Linse für beide vorteilhafte Tauschgeschäfte zeigt). Die Position des Gleichgewichts auf der Kontraktkurve macht die Effizienz sichtbar.
Standpunkt
„Jeder Milliardär ist ein politisches Versagen“, viraler Slogan, bekannt gemacht von Dan Riffle / dem Büro von AOC
Dan Riffle, ehemaliger politischer Berater von AOC, machte aus diesem Satz ein Mantra der sozialen Medien, millionenfach geteilt, auf T-Shirts gedruckt, auf Kundgebungen skandiert. Die Behauptung ist schonungslos: Milliardäre existieren nicht, weil sie außerordentlichen Wert geschaffen haben. Sie existieren, weil das System kaputt ist, wegen Steuerschlupflöchern, Monopolmacht, manipulierter Regeln. Der erste Wohlfahrtssatz, den Sie gerade bewiesen haben, gibt Ihnen die Mittel, das genau zu prüfen: Steht extreme Vermögenskonzentration dafür, dass der Markt richtig funktioniert (und uns lediglich die Ausstattung missfällt), oder dafür, dass er versagt (und Effizienz nicht erreicht wird)?
Fortgeschritten
Die populäre Version
„Jeder Milliardär ist ein politisches Versagen“ verdichtet eine wirklich komplexe Frage zu einer Parole. Der Slogan behandelt alle Milliardärsvermögen als Rentenextraktion, als wären Jeff Bezos, ein russischer Oligarch, der Staatsölanlagen unter Waffengewalt kaufte, und ein Pharma-CEO, der Patentmonopole ausbeutet, alle durch denselben Mechanismus reich geworden.
Er verwechselt Vermögen mit Einkommen und ignoriert, dass die meisten Milliardärsvermögen Eigenkapital sind: Ansprüche auf zukünftige Gewinne, nicht Bargeld aus den Lohntüten der Arbeiter. Er behandelt die Wirtschaft als Nullsummenspiel, obwohl die Wohlfahrtstheoreme genau davon handeln, wie Austausch Tauschgewinne erzeugt.
Die entgegengesetzte Behauptung ist ebenso schlimm: „Milliardäre sind die Helden der Wirtschaft. Sie haben jeden Cent verdient.“ Das ignoriert, dass viele Vermögen von Marktmacht, Netzwerkeffekten, IP-Renten und politischem Einfluss abhängen, also von Mechanismen, die nichts mit dem wettbewerblichen Markt zu tun haben, den der erste Wohlfahrtssatz beschreibt. Keine Seite befasst sich damit, was der Satz tatsächlich sagt oder was seine Bedingungen tatsächlich verlangen.
Das stärkste Argument dafür
Hier ist die Version von „jeder Milliardär ist ein politisches Versagen“, die in einem Ökonomie-Seminar bestehen würde. Der erste Wohlfahrtssatz erfordert wettbewerbliche Märkte: Preisnehmerverhalten, keine Externalitäten, keine Marktmacht, keine Markteintrittsbarrieren. Viele Milliardärsvermögen verletzen diese Bedingungen systematisch.
Plattform-Monopole (Google, Meta, Amazon) profitieren von Netzwerkeffekten, die Winner-take-all-Dynamiken erzeugen: das sind natürliche Monopole mit massiven Eintrittsbarrieren, nicht die wettbewerblichen Märkte, die der Satz beschreibt. Pharmazeutische Vermögen hängen von Patentrenten ab, also von staatlich gewährten Monopolen. Finanzvermögen profitieren von Too-big-to-fail-Subventionen, Informationsasymmetrien und regulatorischer Vereinnahmung. Selbst „legitime“ Tech-Vermögen beruhen auf nicht-rivalen Gütern (Software, Algorithmen), wo die Grenzkosten null sind, sodass Standard-Wettbewerbspreisbildung ($P = MC$) null Einnahmen erzeugen würde. Gewinne erfordern Marktmacht.
Das tiefere strukturelle Argument: Pikettys $r > g$-Ergebnis zeigt, dass sich Vermögen, wenn die Kapitalrendite die Wachstumsrate übersteigt, mechanisch über die Zeit konzentriert, ungeachtet individuellen Verdienstes. Der zweite Wohlfahrtssatz sagt, dass jede effiziente Allokation mit Pauschaltransfers erreicht werden kann, aber diese Transfers existieren nicht. Also lässt sich Riffles Intuition formal stützen: Die Maßnahmen, die extreme Konzentration verhindern würden (pauschale Umverteilung, Wettbewerbsdurchsetzung, Rentenbesteuerung), sind entweder politisch unmöglich oder absichtlich geschwächt.
Das stärkste Argument dagegen
Bezos extrahierte keinen Reichtum aus einem festen Kuchen, sondern schuf Amazon und vergrößerte damit den Kuchen. Die Konsumentenrente aus Amazon (niedrigere Preise, schnellere Lieferung, breitere Auswahl) wird auf Hunderte Milliarden pro Jahr geschätzt. Die Tatsache, dass Bezos einen Teil dieser Rente als Gewinn einnahm, ist kein politisches Versagen. Es ist der Belohnungsmechanismus des Marktes in Aktion.
Das formale Argument: Der erste Wohlfahrtssatz sagt, wettbewerbliches Gleichgewicht ist Pareto-effizient: keine Umverteilung stellt jemanden besser, ohne jemand anderen schlechterzustellen. Bezos’ Vermögen zu konfiszieren und umzuverteilen würde viele Menschen besserstellen (abnehmender Grenznutzen), aber auch Bezos schlechterstellen. Das ist ein Pareto-Vergleich, kein Versagen. Der Satz verspricht keine Gleichheit, sondern Effizienz. Wenn Sie Gleichheit wollen, nutzen Sie den zweiten Wohlfahrtssatz: Ausstattungen umverteilen, dann Märkte räumen lassen. Das ist eine Gleichheitsintervention, keine Versagenskorrektur.
Außerdem ist Milliardär nicht gleich Milliardär. Bezos baute ein Logistikimperium auf, das den Verbrauchern echten Nutzen stiftet. Russische Oligarchen erwarben Staatsanlagen in manipulierten Privatisierungsauktionen. Riffles Slogan „jeder Milliardär“ wirft Wertschöpfer mit Rentenextraktoren, Innovatoren mit Oligarchen in einen Topf. Das ist Rhetorik.
Die Beurteilung
Hatte Riffle recht, dass jeder Milliardär ein politisches Versagen ist? Nein. Am Wort „jeder“ scheitert die Behauptung.
Manche Milliardärsvermögen sind echte Marktversagen: Vermögen, die auf Netzwerkeffekten, Patentrenten, regulatorischer Vereinnahmung oder politischen Verbindungen aufgebaut sind, beinhalten Marktmacht, die die Bedingungen des ersten Wohlfahrtssatzes verletzt. Das sind Abweichungen vom wettbewerblichen Gleichgewicht, und die resultierende Vermögenskonzentration ist nicht Pareto-optimal. Andere Vermögen sind näher am Ideal der Wohlfahrtstheoreme: sie spiegeln Wertschöpfung in halbwegs wettbewerblichen Märkten wider, und sie „politisches Versagen“ zu nennen, erfordert eine Versagens-Definition, die jedes unerwünschte Ergebnis umfasst.
Aber selbst die „legitimen“ Milliardäre legen eine Grenze offen, die die Wohlfahrtstheoreme selbst anerkennen: Pareto-Optimalität sagt nichts über Gleichheit. Eine Welt mit einem Billionär und sieben Milliarden in Armut ist Pareto-optimal, wenn Umverteilung den Billionär schlechterstellt. Riffles Slogan hat einen wahren Kern: dass politische Entscheidungen (schwaches Kartellrecht, Kapitalertragsvorzüge, Lobby-Zugang) Vermögenskonzentration über das hinaus verstärken, was wettbewerbliche Märkte allein hervorbringen würden.
Aber „jeder Milliardär“ ersetzt Analyse durch Bauchgefühl. Die empirische Frage, wie viel Milliardärsvermögen auf Wertschöpfung und wie viel auf Rentenextraktion zurückgeht, ist wirklich umstritten, die Mischung unterscheidet sich zwischen Individuen, und pauschale Behauptungen in beide Richtungen sind falsch.
11.7 Der zweite Wohlfahrtssatz
Zweiter Wohlfahrtssatz.Unter Konvexitätsannahmen (konvexe Präferenzen, konvexe Produktionsmengen) kann jede Pareto-optimale Allokation als walrasianisches Gleichgewicht erreicht werden, und zwar nach entsprechender Umverteilung der Ausstattungen (Pauschaltransfers von Vermögen).
Intuition
Was das besagt: Wählen Sie ein beliebiges effizientes Ergebnis, das Sie sich wünschen: eine gerechte, gleiche oder aus anderen Gründen erwünschte Aufteilung, die nichts verschwendet. Der zweite Wohlfahrtssatz sagt, dass ein Markt sie erreichen kann. Sie setzen keine Preise außer Kraft, sondern verteilen zuerst die richtigen Anfangsausstattungen und lassen dann den Wettbewerb auf den Märkten arbeiten. Den Rest erledigt das Gleichgewicht.
Warum das wichtig ist: Er scheint zwei Fragen zu trennen, die gewöhnlich vermengt werden: wie groß der Kuchen ist (Effizienz) und wie er aufgeteilt wird (Gerechtigkeit). Im Prinzip kann man beides haben: die gewünschte Verteilung wählen und dann die ganze Effizienz der Märkte behalten. Die politische Linke und Rechte können, auf dem Papier, beide aus demselben Mechanismus bekommen, was sie wollen.
Was sich ändert: Der Haken, den die Konvexitätsannahme verbirgt, steckt im Wort „pauschal“. Um die gewählte Aufteilung zu erreichen, braucht es Transfers, die niemandes Entscheidungen verzerren, und das heißt, der Staat müsste den Typ jeder Person bereits kennen, ohne ihr Verhalten zu beobachten. Reale Steuern (auf Einkommen, Vermögen, Kapitalgewinne) reagieren auf Verhalten, also verzerren sie. Die saubere Trennung gilt im Modell und ist in der Praxis unerreichbar.
Im vollständigen Modus benennt die Formulierung des Satzes die Konvexitätsbedingungen und das Erfordernis von Pauschaltransfers präzise.
Interpretation. Der zweite Wohlfahrtssatz besagt, dass Effizienz und Gerechtigkeit trennbare Probleme sind. Die Gesellschaft kann jede Pareto-effiziente Verteilung in zwei Schritten wählen:
Märkte wirken lassen ausgehend von den neuen Ausstattungen
Die Märkte bringen dann ein Wettbewerbsgleichgewicht hervor, das sowohl effizient (nach dem ersten Wohlfahrtssatz) als auch die gewünschte Verteilung erreicht.
Warum es für die Wirtschaftspolitik wichtig ist. Verzerren Sie nicht die Märkte, um Gerechtigkeit zu erreichen (das kostet Effizienz). Verwenden Sie stattdessen Pauschaltransfers zur Umverteilung und lassen Sie dann die Märkte wirken. Die Folgerung für die Rechte: Lassen Sie den Märkten freien Lauf. Die Folgerung für die Linke: Verteilen Sie so viel um, wie Sie möchten. Beides kann gleichzeitig erreicht werden — in der Theorie.
Warum es in der Praxis scheitert. Pauschaltransfers erfordern Informationen über die Typen der Individuen, die der Staat nicht hat. Reale Umverteilung verwendet verzerrende Steuern (Einkommen, Kapitalgewinne, Vermögen), die Anreize verändern und Wohlfahrtsverluste erzeugen. Dieses Informationsproblem ist Gegenstand des Mechanismusdesigns (Kapitel 12) und der optimalen Besteuerung (Kapitel 16).
Kernäquivalenz
In großen Ökonomien schrumpft die Menge der Kern-Allokationen (Allokationen, die keine Koalition verbessern kann) auf die Menge der walrasianischen Gleichgewichtsallokationen. Dies ist das Kernäquivalenztheorem: Das Wettbewerbsgleichgewicht ist das einzige Ergebnis, das dem Wettbewerb aller möglichen Koalitionen standhält.
Mayas Unternehmen
Wir modellieren Mayas Limonadenmarkt als eine 2-Konsumenten-, 2-Güter-Edgeworth-Box-Tauschwirtschaft.
Aufbau: Maya und Alex. Zwei Güter: Limonade ($L$) und Kekse ($C$). Anfangsausstattung: Maya hat 45 Limonade und 0 Kekse, Alex hat 0 Limonade und 40 Kekse.
Nach dem ersten Wohlfahrtssatz ist diese Allokation Pareto-optimal.
Historische Perspektive
Arrow-Debreu (1954): Der Existenzbeweis. Kenneth Arrow und Gerard Debreu bewiesen, dass ein Wettbewerbsgleichgewicht unter schwachen Annahmen existiert (konvexe Präferenzen, keine Externalitäten). Mit Kakutanis Fixpunktsatz zeigten sie, dass ein Preisvektor existiert, der alle Märkte gleichzeitig räumt, und formalisierten damit Adam Smiths „unsichtbare Hand“ zwei Jahrhunderte nach dem Wohlstand der Nationen.
Die mathematische Leistung war bemerkenswert: Die Reduktion des Problems auf den Nachweis, dass eine bestimmte Korrespondenz (Überschussnachfrage als Funktion der Preise) die Bedingungen für einen Fixpunkt erfüllt. Das Ergebnis erforderte nur lokale Nichtsättigung und Konvexität, nicht aber Differenzierbarkeit oder spezifische Funktionsformen.
Debreus Theory of Value (1959) verdichtete diesen Ansatz zu einem rigorosen axiomatischen System, wofür er 1983 den Nobelpreis erhielt. Arrow hatte den Nobelpreis bereits 1972 für seine breiteren Beiträge zum allgemeinen Gleichgewicht und zur Sozialwahltheorie erhalten. Ihr Existenzbeweis bleibt die mathematische Grundlage der Wohlfahrtsökonomie und der beiden in diesem Kapitel bewiesenen Wohlfahrtssätze.
Präferenzaxiome (Vollständigkeit, Transitivität, Stetigkeit) garantieren die Existenz einer stetigen Nutzenfunktion (Debreus Theorem). Zusätzliche Eigenschaften (Monotonie, Konvexität) sichern wohlverhaltene Nachfrage.
Offenbarte Präferenz (WARP, SARP) erlaubt die Überprüfung von Rationalität aus beobachteten Wahlen ohne Nutzenannahme. SARP ist notwendig und hinreichend für die Konsistenz mit Nutzenmaximierung.
Dualität verbindet das primale Problem (Nutzenmaximierung) und das duale Problem (Ausgabenminimierung). Die Ausgabenfunktion $e(p, \bar{u})$ und die Hicks’sche Nachfrage $h(p, \bar{u})$ sind durch Shephards Lemma verknüpft. Roys Identität gewinnt die Marshall’sche Nachfrage aus der indirekten Nutzenfunktion.
Die Slutsky-Matrix muss symmetrisch und negativ semidefinit sein, wenn die Nachfrage nutzenbasiert ist. Dies sind testbare Restriktionen. Das Integrabilitätstheorem besagt, dass sie auch hinreichend sind.
Das walrasianische Gleichgewicht erfordert, dass alle Märkte gleichzeitig geräumt werden. Walras’ Gesetz ($p \cdot z(p) = 0$) bedeutet, dass ein Markt automatisch geräumt wird. Die Existenz folgt aus Fixpunktargumenten (Arrow-Debreu).
Der erste Wohlfahrtssatz: Jedes Wettbewerbsgleichgewicht ist Pareto-optimal. Der zweite Wohlfahrtssatz: Jedes Pareto-Optimum kann nach Pauschalumverteilung als Wettbewerbsgleichgewicht erreicht werden.
Präferenzen sind definiert durch $x \succsim y \iff x_1 + x_2 \geq y_1 + y_2$. Überprüfen Sie Vollständigkeit, Transitivität und Stetigkeit. Schreiben Sie eine Nutzenfunktion auf, die diese Präferenzen darstellt.
Ein Konsument trifft folgende Wahlen: bei Preisen (2, 1) kauft er (3, 4); bei Preisen (1, 3) kauft er (5, 1). Überprüfen Sie WARP.
Für die Cobb-Douglas-Nutzenfunktion $u = x_1^{1/3}x_2^{2/3}$: (a) leiten Sie die Ausgabenfunktion ab, (b) überprüfen Sie Shephards Lemma, (c) überprüfen Sie Roys Identität.
In einer 2-Konsumenten-, 2-Güter-Tauschwirtschaft: $u_1 = x_1 y_1$, $\omega_1 = (6, 2)$; $u_2 = x_2 y_2$, $\omega_2 = (2, 6)$. Finden Sie die walrasianischen Gleichgewichtspreise und die Gleichgewichtsallokation.
Anwendung
Die beobachtete Nachfragefunktion eines Konsumenten ist $x_1 = m/(p_1 + p_2)$ und $x_2 = m/(p_1 + p_2)$. (a) Überprüfen Sie Walras’ Gesetz. (b) Überprüfen Sie die Homogenität vom Grad null. (c) Berechnen Sie die Slutsky-Matrix und prüfen Sie Symmetrie und negative Semidefinitheit. (d) Kann diese Nachfrage durch Nutzenmaximierung erzeugt werden?
Erklären Sie, warum der erste Wohlfahrtssatz nicht auf eine Ökonomie mit Externalitäten anwendbar ist (Verbindung zu Kapitel 4). Identifizieren Sie die spezifische Annahme, die verletzt wird.
Der zweite Wohlfahrtssatz besagt, dass jede effiziente Allokation über Wettbewerbsmärkte mit Pauschaltransfers erreicht werden kann. Erklären Sie, warum der Staat in der Praxis verzerrende Steuern einsetzt. Welches Informationsproblem macht Pauschaltransfers undurchführbar?
Veranschaulichen Sie mithilfe der Edgeworth-Box: (a) eine Allokation im Kern, die kein Wettbewerbsgleichgewicht ist, (b) eine Pareto-Verbesserung ausgehend vom Ausstattungspunkt, (c) warum der Ausstattungspunkt selbst im Allgemeinen nicht Pareto-effizient ist.
Herausforderung
Beweisen Sie: Wenn die Ausgabenfunktion $e(p, \bar{u})$ konkav in $p$ ist, dann ist die Slutsky-Matrix negativ semidefinit. (Hinweis: Die Hesse-Matrix einer konkaven Funktion ist negativ semidefinit, und $\partial^2 e/\partial p_i \partial p_j = \partial h_i/\partial p_j = S_{ij}$.)
Beweisen Sie den ersten Wohlfahrtssatz für den Fall von 2 Konsumenten und 2 Gütern mit lokal nicht-gesättigten Präferenzen. Identifizieren Sie dann, wo der Beweis scheitert, wenn ein Konsument gesättigte Präferenzen hat (einen Sättigungspunkt).
In einer Edgeworth-Box-Ökonomie mit Leontief-Präferenzen ($u = \min(x, 2y)$) für beide Konsumenten: Existiert ein walrasianisches Gleichgewicht? Falls ja, finden Sie es. Falls nein, erklären Sie, welche Existenzbedingung verletzt wird.
Formulieren Sie Afriats Theorem präzise. Konstruieren Sie anhand eines Datensatzes mit 4 Beobachtungen (Preisvektoren und gewählte Bündel) ein Beispiel, bei dem WARP erfüllt ist, aber SARP verletzt wird.
Quellen
Grundlegende Literatur: Mas-Colell, Whinston & Green (MWG); Debreu Theory of Value; Arrow & Debreu (1954); Varian Microeconomic Analysis.
