Die Volkswirtschaftslehre erhebt kausale Ansprüche: Mindestlöhne beeinflussen die Beschäftigung, Bildung erhöht das Einkommen, Institutionen bestimmen das Wachstum. Die Überprüfung dieser Ansprüche erfordert Daten und eine Methode zur Unterscheidung von Kausalität und Korrelation. Ökonometrie ist diese Methode.
Dieses Kapitel ist kein Statistikkurs. Wir setzen Vertrautheit mit grundlegender Wahrscheinlichkeitsrechnung und Regression voraus. Wir konzentrieren uns auf das zentrale Problem der empirischen Ökonomie: Identifikation, das Finden glaubwürdiger Quellen exogener Variation, die es uns ermöglichen, kausale Effekte zu schätzen. Jedes Werkzeug in diesem Kapitel (OLS, Instrumentalvariablen, Differenz-von-Differenzen, Regressionsdiskontinuität) ist eine Strategie zur Lösung des Identifikationsproblems.
Voraussetzungen: Kapitel 2 und 5 (ökonomischer Kontext für Beispiele). Mathematische Voraussetzungen: Lineare Algebra, Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik.
Betrachten Sie die Frage: Erhöht ein zusätzliches Jahr Bildung das Einkommen? Wir beobachten, dass besser gebildete Menschen mehr verdienen. Aber liegt das daran, dass:
Beides ist mit der beobachteten Korrelation vereinbar. Das Identifikationsproblem besteht darin, dass wir dieselbe Person nicht direkt mit und ohne Bildung vergleichen können, denn das Kontrafaktische ist unbeobachtet.
Die grundlegende Gleichung:
wobei $Y_i$ das Ergebnis (Einkommen) ist, $X_i$ die Behandlung (Bildungsjahre), $\beta$ der kausale Parameter von Interesse und $\varepsilon_i$ alles andere erfasst, was $Y_i$ beeinflusst: Fähigkeit, familiärer Hintergrund, Motivation, Glück, Gesundheit und Tausende anderer Faktoren.
Das Identifikationsproblem entsteht, wenn $X_i$ mit $\varepsilon_i$ korreliert ist, also wenn die „Behandlung“ nicht zufällig zugewiesen wird. In der Statistik wird dies als Endogenität bezeichnet. In der Ökonomie ist es die Norm, nicht die Ausnahme: Menschen wählen ihre Bildung (und die Wahl korreliert mit der Fähigkeit), Länder wählen ihre Politiken (und die Wahl korreliert mit ihren wirtschaftlichen Bedingungen), Unternehmen wählen ihre Preise (und die Wahl korreliert mit den Nachfragebedingungen).
In einem randomisierten Experiment wird die Behandlung $X_i$ per Münzwurf zugewiesen und ist konstruktionsbedingt unabhängig von $\varepsilon_i$. Aber Ökonomen können sich Randomisierung bei den großen Fragen nur selten leisten. Die Methoden in diesem Kapitel (OLS, IV, DiD, RD) sind Strategien, um „natürliche Experimente“ zu finden, die die Randomisierung in Beobachtungsdaten approximieren.
Für das multivariate Modell $Y = X\beta + \varepsilon$ (Matrixnotation):
$$\hat{\beta}_{OLS} = (X'X)^{-1}X'Y$$ (Gl. 10.2)Unter den Gauss-Markov-Annahmen hat OLS wünschenswerte Eigenschaften:
Unter diesen Annahmen ist OLS BLUE, der beste lineare unverzerrte Schätzer. „Best“ bedeutet niedrigste Varianz unter allen linearen unverzerrten Schätzern. „Unverzerrt“ bedeutet $E[\hat{\beta}] = \beta$.
Die kritische Annahme ist Nr. 4: $E[\varepsilon|X] = 0$. Ist sie verletzt, sei es durch ausgelassene Variablen, Simultanität oder Messfehler in $X$, so ist OLS verzerrt. Die Schätzung $\hat{\beta}$ konvergiert selbst bei unendlich vielen Daten nicht mehr gegen das wahre $\beta$. Das ist kein Problem kleiner Stichproben, sondern ein grundlegender Designfehler, den mehr Daten nicht beheben können.
Ein Streudiagramm mit einer angepassten OLS-Regressionslinie. Ziehen Sie den Schieberegler, um einen Ausreißer an verschiedenen vertikalen Positionen hinzuzufügen, und beobachten Sie, wie die Regressionslinie kippt. Beobachten Sie, wie ein einzelner Punkt mit hohem Hebelwert die Steigung, $R^2$ und Koeffizienten dramatisch verändern kann.
Abbildung 10.1. OLS-Regression mit einem einstellbaren Ausreißer. Der Ausreißer befindet sich bei $X=14$ (hoher Hebelwert). Ziehen Sie den Schieberegler über „Kein Ausreißer“ hinaus, um ihn einzublenden, und beobachten Sie, wie die Linie kippt. Für Werte mit der Maus darüberfahren.
Angenommen, das wahre Modell ist $Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 Z + u$, aber wir lassen $Z$ aus und schätzen $Y = \alpha_0 + \alpha_1 X + e$. Dann:
$$E[\hat{\alpha}_1] = \beta_1 + \beta_2 \cdot \frac{Cov(X, Z)}{Var(X)}$$ (Gl. 10.3)Die Verzerrung entspricht dem Effekt der ausgelassenen Variablen ($\beta_2$) multipliziert mit dem Zusammenhang zwischen der ausgelassenen Variablen und dem eingeschlossenen Regressor.
Vorzeichen der Verzerrung:
| $Cov(X, Z) > 0$ | $Cov(X, Z) < 0$ | |
|---|---|---|
| $\beta_2 > 0$ | Aufwärtsverzerrung (Überschätzung von $\beta_1$) | Abwärtsverzerrung |
| $\beta_2 < 0$ | Abwärtsverzerrung | Aufwärtsverzerrung |
Angenommen, die Fähigkeit ($Z$) ist sowohl mit Bildung ($X$) als auch mit Einkommen ($Y$) positiv korreliert. Dann ist $\beta_2 > 0$ (Fähigkeit erhöht das Einkommen) und $Cov(X,Z) > 0$ (fähigere Menschen erhalten mehr Bildung). Die OLS-Schätzung der Bildungsrendite ist nach oben verzerrt, denn sie schreibt einen Teil des Fähigkeitseffekts der Bildung zu.
Zwei Panels zeigen dieselben Daten. Links: die wahre Beziehung mit dem Störfaktor (Fähigkeit), dargestellt als Punktfarbe. Rechts: die naive OLS-Regression ohne Fähigkeit. Ziehen Sie den Schieberegler, um die Stärke des Störfaktors zu ändern, und beobachten Sie, wie die Verzerrung wächst.
Links: Wahres Modell mit dem Störfaktor (Fähigkeit), dargestellt als Farbe. Dunkler = höhere Fähigkeit.
Rechts: Naive OLS-Regression ohne Berücksichtigung der Fähigkeit. Die verzerrte Linie (rot gestrichelt) ist steiler als der wahre kausale Effekt (blau).
Wenn OLS verzerrt ist, weil $X$ endogen ist ($Cov(X, \varepsilon) \neq 0$), kann eine Instrumentalvariable Abhilfe schaffen.
Zweistufige Methode der kleinsten Quadrate (2SLS):
Erste Stufe: Regression von $X$ auf $Z$ (und etwaige Kontrollvariablen):
$$X_i = \pi_0 + \pi_1 Z_i + \nu_i$$ (Erste Stufe)Dies isoliert den Teil von $X$, der auf das Instrument zurückgeht, also den exogenen Teil. Die angepassten Werte $\hat{X}_i$ repräsentieren die „saubere“ Variation in $X$.
Zweite Stufe: Regression von $Y$ auf $\hat{X}$. In Matrixform:
$$\hat{\beta}_{IV} = (Z'X)^{-1}Z'Y$$ (Gl. 10.4)Im einfachen Fall mit einem Instrument und einem endogenen Regressor:
Die IV-Schätzung ist das Verhältnis der reduzierten Form (Effekt von $Z$ auf $Y$) zur ersten Stufe (Effekt von $Z$ auf $X$). Die Intuition: $Z$ beeinflusst $Y$ nur über $X$ (Ausschlussrestriktion), daher isoliert die Division durch die erste Stufe den kausalen Effekt von $X$ auf $Y$.
Was IV schätzt. Bei heterogenen Behandlungseffekten identifiziert IV den lokalen durchschnittlichen Behandlungseffekt (LATE): den kausalen Effekt für die Teilpopulation, deren Verhalten durch das Instrument verändert wird (die „Complier“).
Das Siedlersterblichkeits-Instrument (Acemoglu, Johnson & Robinson 2001) ist die kanonische Debatte um die Ausschlussrestriktion. Sein inhaltlicher Kern und die Streitfrage der Entwicklungsökonomie, ob Institutionen oder Geografie den Ausschlag geben, stehen in Kapitel 18 (Institutionenökonomik).
LATE ist eine Antwort auf eine ältere Sorge: dass die Menschen, die man beobachtet, nicht die Menschen sind, über die man etwas erfahren will. James Heckmans Selektionskorrektur von 1979 war die erste systematische Antwort darauf. Sie schätzt den Prozess, der über den Eintritt in die Stichprobe entscheidet, gemeinsam mit der Ergebnisgleichung. Ideengeschichte, Kap. 11 zeichnet diese Denklinie nach und liest Heckmans Korrektur als Brücke zu jenem Standard, der die Identifikation an den Anfang stellt und aus Instrumenten und natürlichen Experimenten den Normalfall des empirischen Belegs im Fach machte.
Wenn $Z$ schwach mit $X$ korreliert ist, ist die erste Stufe schwach und die IV-Schätzung unzuverlässig (verzerrt in Richtung OLS, breite Konfidenzintervalle). Faustregel: F-Statistik der ersten Stufe > 10.
Das Geburtsquartal wurde als Instrument für die Schuljahre verwendet. Schulpflichtgesetze bedeuten, dass früher im Jahr geborene Schüler mit etwas weniger Bildung die Schule verlassen können. Das Geburtsquartal ist plausiblerweise: (a) mit der Schulbildung korreliert (Relevanz), und (b) nicht direkt mit dem Einkommen verbunden (Ausschluss). Die IV-Schätzung der Bildungsrendite betrug etwa 7–8 % pro Jahr.
Dieser gerichtete azyklische Graph zeigt die Kausalstruktur eines IV-Designs. Wechseln Sie zwischen Ansichten, um zu sehen, wie ein Instrument Z den Konfundierungspfad unterbricht.
Abbildung 10.2. DAG für das Instrumentalvariablen-Design. Z ist das Instrument, X ist der endogene Regressor, Y ist das Ergebnis und U ist der unbeobachtete Störfaktor. Die IV-Strategie nutzt nur die Variation in X, die von Z erzeugt wird, und umgeht den Störpfad durch U.
Die erste Differenz beseitigt zeitinvariante Gruppenmerkmale. Die zweite Differenz beseitigt gemeinsame Zeittrends.
Schlüsselannahme: Parallele Trends. In Abwesenheit der Behandlung hätten Behandlungs- und Kontrollgruppe demselben Trend gefolgt. Dies ist für die Nachbehandlungsperiode nicht testbar, aber für die Vorbehandlungsperiode beurteilbar.
New Jersey erhöhte seinen Mindestlohn im April 1992 von 4,25 \$ auf 5,05 \$; Pennsylvania nicht. Die DiD-Schätzung des Beschäftigungseffekts war positiv (+2,7 VZÄ), was der Vorhersage des einfachen Wettbewerbsmodells widersprach. Diese Studie löste eine Revolution in der empirischen Arbeitsmarktökonomie aus.
Regressionsformulierung:
$$Y_{it} = \alpha + \beta_1 \cdot Treat_i + \beta_2 \cdot Post_t + \tau \cdot (Treat_i \times Post_t) + \varepsilon_{it}$$ (Gl. 10.7)Zwei Zeitreihen zeigen eine Behandlungs- und eine Kontrollgruppe. Die Behandlung erfolgt bei $t = 5$. Ziehen Sie den Schieberegler, um die Größe des Behandlungseffekts zu ändern, und beobachten Sie, wie sich die DiD-Schätzung aktualisiert. Parallele Trends vor der Behandlung sind sichtbar.
Abbildung 10.3. Differenz-von-Differenzen-Design. Die gestrichelte Linie zeigt das Kontrafaktische, also was mit der Behandlungsgruppe ohne Behandlung passiert wäre (parallel zur Kontrolle). Der Abstand zwischen den tatsächlichen und kontrafaktischen Ergebnissen am Ende ist der Behandlungseffekt.
Schlüsselannahme: Stetigkeit. Alle Faktoren, die $Y$ beeinflussen (außer der Behandlung), variieren stetig am Schwellenwert, ohne gezielte Selektion oder Manipulation an der Schwelle.
Ein Stipendium wird an Studierende vergeben, die bei einer Prüfung über 80 Punkte erzielen. Studierende mit 79 und 81 Punkten sind in ihren Fähigkeiten ähnlich, aber einer erhält das Stipendium und der andere nicht. Die Diskontinuität der Ergebnisse (z. B. Studienabschlussquoten) an der 80-Punkte-Schwelle schätzt den kausalen Effekt des Stipendiums.
Ein Streudiagramm mit einer Laufvariablen (Testergebnis). Studierende oberhalb des Schwellenwerts erhalten die Behandlung (Stipendium). Polynom-Anpassungen auf jeder Seite zeigen den Sprung am Schwellenwert. Passen Sie die Position des Schwellenwerts und die Bandbreite an, um zu sehen, wie sich der geschätzte Behandlungseffekt ändert.
Abbildung 10.4. Regressionsdiskontinuität. Die vertikale gestrichelte Linie markiert den Schwellenwert. Punkte links des Schwellenwerts sind unbehandelt (grau), Punkte rechts davon behandelt (grün). Der Sprung am Schwellenwert ist die Schätzung des Behandlungseffekts. Passen Sie die Bandbreite an, um sich auf Beobachtungen nahe dem Schwellenwert zu konzentrieren.
RCTs sind der „Goldstandard“ für interne Validität, da die Randomisierung konstruktionsbedingt $E[\varepsilon|X] = 0$ garantiert. Banerjee, Duflo und Kremer erhielten 2019 den Nobelpreis für ihren experimentellen Ansatz zur Bekämpfung globaler Armut.
Die Bewegung der randomisierten Evaluationen in der Entwicklungsökonomie, die angewandte Heimat dieser Methoden, ist Gegenstand von Kapitel 20, §20.6 (Die RCT-Revolution).
Dieser Nobelpreis steht am einen Ende einer langen Pendelbewegung in der Entwicklungsökonomie. Ideengeschichte, Kap. 16 verfolgt das Fach vom Lewis-Zwei-Sektoren-Modell und den Big-Push-Argumenten der 1940er und 1950er Jahre über die Dependenztheorie und den Washington-Konsens bis zur RCT-Wende und liest die Abfolge als ein Pendeln zwischen struktureller Theorie und glaubwürdiger Messung. Was diese Bewegung einbrachte und was sie kostete, verhandelt die Große Frage danach, was die Glaubwürdigkeitsrevolution am Wissen der Ökonomik verändert hat. Der Anspruch an eine Kausalaussage ist dauerhaft gestiegen, und die Rechnung für die externe Validität, die dabei aufgelaufen ist, wurde bis heute nicht beglichen.
Ein Berufsausbildungsprogramm weist 500 Personen zufällig der Behandlungsgruppe und 500 der Kontrollgruppe zu. Nur 60 % der zur Behandlung Zugewiesenen nehmen tatsächlich am Programm teil (Compliance-Rate = 0,6).
Ergebnisse: Durchschnittliches Einkommen: Behandlungsgruppe = 25.000 \$, Kontrollgruppe = 23.000 \$.
ITT: $\hat{\tau}_{ITT} = 25{,}000 - 23{,}000 = \$2{,}000$. Dies ist der Effekt des Angebots des Programms.
TOT: $\hat{\tau}_{TOT} = 2{,}000 / 0.6 = \$3{,}333$. Dies schätzt den Effekt der tatsächlichen Teilnahme am Programm (für Complier). Der TOT ist größer, da der ITT durch Nicht-Complier abgeschwächt wird.
Teststärke-Prüfung: Mit $n = 500$ pro Gruppe, $\sigma = \$2{,}000$ und einem wahren Effekt von $\$2{,}000$ beträgt die Teststärke $\approx 0.80$. Die Studie hat ausreichende Teststärke, um den ITT zu erkennen.
Statistische Teststärke ist die Wahrscheinlichkeit, einen wahren Behandlungseffekt zu erkennen. Verwenden Sie die Schieberegler, um zu erkunden, wie Effektgröße, Stichprobengröße und Varianz die Teststärke beeinflussen. Die Teststärkekurve aktualisiert sich in Echtzeit, und der minimale erkennbare Effekt (MDE) bei 80 % Teststärke wird hervorgehoben.
Abbildung 10.5. Teststärkekurve: Wahrscheinlichkeit, den Effekt zu erkennen, als Funktion der Effektgröße. Die rote gestrichelte Linie markiert 80 % Teststärke. Die grüne Raute markiert die aktuelle Parameterkombination. Der MDE ist der kleinste erkennbare Effekt bei 80 % Teststärke bei gegebener Stichprobengröße und Varianz.
Eine Punktschätzung ohne Maß der Unsicherheit ist nahezu nutzlos.
Standardfehler (SE) sind die Quadratwurzeln der Diagonalelemente. Ein 95%-Konfidenzintervall beträgt ungefähr $\hat{\beta} \pm 1.96 \cdot SE(\hat{\beta})$.
Statistische Signifikanz: Wir lehnen $H_0: \beta = 0$ auf dem 5%-Niveau ab, wenn $|t| = |\hat{\beta}/SE(\hat{\beta})| > 1.96$.
Ökonomische Signifikanz vs. statistische Signifikanz: Ein Koeffizient kann statistisch signifikant, aber ökonomisch trivial sein. Umgekehrt kann eine unpräzise Schätzung ökonomisch groß, aber statistisch nicht signifikant sein. Gute empirische Arbeit diskutiert beides.
Eine praktische Regel: In der modernen angewandten Ökonomie sollten Sie immer robuste oder geclusterte Standardfehler verwenden.
Jede empirische Strategie hat Annahmen, die verletzt sein können:
| Strategie | Schlüsselannahme | Bedrohung | Diagnostik |
|---|---|---|---|
| OLS | Keine ausgelassenen Variablen ($E[\varepsilon|X]=0$) | Konfundierung | Theorie + Sensitivitätsanalyse |
| IV | Ausschlussrestriktion | Direkter Effekt von $Z$ auf $Y$ | Nicht direkt testbar; theoretisch argumentieren |
| IV | Relevanz | Schwache Instrumente | F der ersten Stufe > 10 |
| DiD | Parallele Trends | Unterschiedliche Vorbehandlungstrends | Vorbehandlungstrends grafisch darstellen |
| RD | Keine Manipulation am Schwellenwert | Selektion am Schwellenwert | McCrary-Dichtetest |
| RCT | Keine Attrition, keine Spillover | Differenzieller Abbruch; Kontamination | Balance-Checks, Attritionsanalyse |
Ein Ökonom möchte den Effekt von Kaelanis neuer Bildungspolitik (kostenlose Schulbücher für die Klassen 1–6) auf die Testergebnisse schätzen. Die Politik wurde 2024 in den östlichen Provinzen eingeführt, aber nicht in den westlichen.
Design: Differenz-von-Differenzen.
| Vor der Politik (2023) | Nach der Politik (2025) | Veränderung | |
|---|---|---|---|
| Osten (Behandlung) | 55 | 63 | +8 |
| Westen (Kontrolle) | 52 | 56 | +4 |
| DiD-Schätzung | +4 |
Die DiD-Schätzung beträgt 4 Punkte. Kostenlose Schulbücher haben die Testergebnisse um 4 Punkte erhöht, nach Kontrolle des gemeinsamen Aufwärtstrends.
Bedrohungen: (1) Parallele Trends: Verbesserten sich die östlichen Provinzen bereits schneller? (2) Spillover-Effekte: Schickten Familien nahe der Grenze ihre Kinder in östliche Schulen? (3) Zusammensetzungsänderungen: Veränderten kostenlose Schulbücher die Einschreibungen?
Ein ergänzender Ansatz: Regressionsdiskontinuität an der Provinzgrenze, mit Vergleich von Dörfern direkt auf beiden Seiten.
| Bezeichnung | Gleichung | Beschreibung |
|---|---|---|
| Gl. 10.1 | $Y_i = \alpha + \beta X_i + \varepsilon_i$ | Strukturgleichung |
| Gl. 10.2 | $\hat{\beta}_{OLS} = (X'X)^{-1}X'Y$ | OLS-Schätzer |
| Gl. 10.3 | $E[\hat{\alpha}_1] = \beta_1 + \beta_2 \cdot Cov(X,Z)/Var(X)$ | Formel der Verzerrung durch ausgelassene Variablen |
| Gl. 10.4 | $\hat{\beta}_{IV} = (Z'X)^{-1}Z'Y$ | IV-Schätzer (Matrixform) |
| Gl. 10.5 | $\hat{\beta}_{IV} = Cov(Z,Y)/Cov(Z,X)$ | IV-Schätzer (einfach) |
| Gl. 10.6 | $\hat{\tau}_{DiD}$ = (Veränderung Behandlung) − (Veränderung Kontrolle) | DiD-Schätzer |
| Gl. 10.7 | $Y_{it} = \alpha + \beta_1 Treat + \beta_2 Post + \tau(Treat \times Post) + \varepsilon$ | DiD-Regression |
| Gl. 10.8 | $\hat{\tau}_{RD} = \lim_{x \downarrow c} E[Y|X=x] - \lim_{x \uparrow c} E[Y|X=x]$ | RD-Schätzer |
| Gl. 10.9 | $\hat{\tau}_{RCT} = \bar{Y}_{Behandlung} - \bar{Y}_{Kontrolle}$ | RCT-Schätzer |
| Gl. 10.10 | $Var(\hat{\beta}) = \sigma^2(X'X)^{-1}$ | OLS-Varianz |