Die Kapitel 8-9 führten das Solow-Modell ein: Kapitalakkumulation treibt die Produktion in Richtung eines stationären Gleichgewichts, aber langfristiges Wachstum der Pro-Kopf-Produktion erfordert exogenen technischen Fortschritt. Dieses Kapitel fragt: Woher kommt der technische Fortschritt? Wenn Ideen das Wachstum antreiben und Ideen von Menschen produziert werden, die bewusste Entscheidungen treffen, dann ist Wachstum selbst endogen.
Wir beginnen mit der Formalisierung der Erkenntnisse des Solow-Modells durch das Ramsey-Cass-Koopmans-Rahmenwerk (optimale Ersparnis) und arbeiten uns dann zum endogenen Wachstum vor: das AK-Modell, Romers Varietätenexpansionsmodell und Aghion-Howitts Schumpeterianische schöpferische Zerstörung.
Am Ende dieses Kapitels werden Sie in der Lage sein:
Das Ramsey-Modell mithilfe des Hamiltonoperators lösen und das Sattelpfad-Gleichgewicht charakterisieren
Das Phasendiagramm analysieren ($\dot{c} = 0$- und $\dot{k} = 0$-Kurven)
Erklären, warum das AK-Modell dauerhaftes Wachstum erzeugt
Den ausgeglichenen Wachstumspfad in Romers endogenem Wachstumsmodell ableiten
Das Aghion-Howitt-Modell und die Rolle der schöpferischen Zerstörung beschreiben
Wachstumszerlegung und Konvergenzregressionen interpretieren
Ramsey-Modell.Ein neoklassisches Wachstumsmodell, in dem ein repräsentativer Haushalt Konsum und Ersparnis durch Maximierung des Lebensnutzens unter einer Ressourcenbeschränkung optimal wählt. Anders als im Solow-Modell ist die Sparquote endogen.
Das Solow-Modell nimmt eine feste Sparquote $s$ an. Das Ramsey-Modell endogenisiert die Ersparnis, indem ein repräsentativer Haushalt Konsum und Ersparnis wählt, um den Lebensnutzen zu maximieren.
Aufbau
Präferenzen: Ein unendlich lange lebender repräsentativer Haushalt mit CRRA-Nutzenfunktion:
Der Parameter $\sigma$ ist der Koeffizient der relativen Risikoaversion (Kehrwert der intertemporalen Substitutionselastizität, IES $= 1/\sigma$). Technologie: $y = f(k)$ in Pro-effektive-Arbeitseinheiten mit konstanten Skalenerträgen. Kapital schreibt sich mit Rate $\delta$ ab; die Bevölkerung wächst mit $n$; die TFP wächst mit $g$.
Dies ist die Keynes-Ramsey-Regel. Der Konsum wächst, wenn das Grenzprodukt des Kapitals die effektive Diskontrate übersteigt.
Euler-Gleichung (Konsum).Die Optimalitätsbedingung $\dot{c}/c = (1/\sigma)[f'(k) - \rho - \delta - \sigma g]$, die die intertemporale Allokation des Konsums bestimmt. Der Konsum wächst, wenn die Nettorendite des Kapitals die effektive Diskontrate des Haushalts übersteigt.
Sattelpfad.Die eindeutige Trajektorie im Ramsey-Phasendiagramm, entlang derer die Ökonomie zum Steady State konvergiert. Der anfängliche Konsum muss auf den Sattelpfad „springen“; Trajektorien außerhalb des Pfads verletzen entweder die Transversalitätsbedingung oder die Realisierbarkeit.
Transversalitätsbedingung.Die terminale Randbedingung $\lim_{t\to\infty}\lambda(t)k(t)e^{-\rho t}=0$, die sicherstellt, dass der Haushalt nicht endlos Kapital akkumuliert, ohne es zu konsumieren. Sie schließt dynamisch ineffiziente Übersparpfade aus.
Steady State und Phasendiagramm
Modifizierte Goldene Regel.Die Steady-State-Bedingung $f'(k^*)=\rho+\delta+\sigma g$ im Ramsey-Modell. Anders als die Goldene Regel von Solow ($f'(k)=n+g+\delta$) berücksichtigt die modifizierte Goldene Regel die Ungeduld der Haushalte ($\rho$), sodass die Ramsey-Ökonomie im Vergleich zur Goldenen Regel stets unterakkumuliert.
Im Steady State: $f'(k^*) = \rho + \delta + \sigma g$ (modifizierte Goldene Regel) und $c^* = f(k^*) - (n + g + \delta)k^*$.
Die Ramsey-Ökonomie unterakkumuliert stets im Vergleich zur Goldenen Regel ($k^* < k_g$), weil ungeduldige Haushalte heute zu viel konsumieren. Dynamische Ineffizienz ist unmöglich.
Klicken Sie irgendwo auf das Phasendiagramm, um eine animierte Trajektorie zu starten. Trajektorien auf dem Sattelpfad konvergieren; abseits davon divergieren sie.
Abbildung 13.1. Ramsey-Phasendiagramm. Die vertikale blaue Linie ist die $\dot{c}=0$-Kurve; die glockenförmige rote Kurve ist die $\dot{k}=0$-Kurve. Die grün gestrichelte Linie ist der Sattelpfad. Pfeile zeigen die Dynamik in jeder Region. Passen Sie die Parameter an und klicken Sie, um Trajektorien zu starten.
Ausgehend von $k_0 = 1 < k^* = 4.11$ (Parameter aus Beispiel 13.1), charakterisieren wir die Sattelpfad-Dynamik.
Schritt 1: Bei $k_0 = 1$ gilt $f'(1) = 1/3 > 0.13 = \rho + \delta + \sigma g$, also $\dot{c}/c > 0$: Der Konsum steigt.
Schritt 2: Auf dem Sattelpfad muss $c_0$ auf den Wert springen, bei dem die Trajektorie zu $(k^*, c^*)$ konvergiert. Ist $c_0$ zu hoch, wächst der Konsum zu schnell, das Kapital wird aufgezehrt und die Ökonomie erreicht $k = 0$. Ist $c_0$ zu niedrig, akkumuliert sich Kapital endlos, was die Transversalitätsbedingung verletzt.
Schritt 3: Entlang des Sattelpfads steigen sowohl $k$ als auch $c$ monoton zum Steady State. Die Ökonomie wächst anfangs schnell (hohes $f'(k)$) und verlangsamt sich, wenn $k \to k^*$.
Kernaussage: Der Sattelpfad ist das einzige Gleichgewicht rationaler Erwartungen. Vorausschauende Haushalte müssen $c_0$ perfekt wählen, um darauf zu landen.
13.2 Das OLG- / Diamond-Modell
Überlappende-Generationen-Modell (OLG).Ein Rahmenwerk, in dem Agenten eine endliche Anzahl von Perioden leben und mehrere Generationen zu jedem Zeitpunkt koexistieren. Da kein einzelner Agent ewig lebt, gibt es keine Transversalitätsbedingung, und die Wirtschaft kann dynamisch ineffiziente Steady States erreichen.
Diamond-Modell.Das von Peter Diamond (1965) eingeführte Zwei-Perioden-Wachstumsmodell mit überlappenden Generationen. Junge Agenten verdienen Löhne, sparen und konsumieren; alte Agenten konsumieren ihre Ersparnisse mit Zinsen. Die Kapitalakkumulation wird durch die aggregierte Ersparnis der jungen Generation bestimmt.
Das Ramsey-Modell nimmt einen unendlich lebenden repräsentativen Haushalt an.
Diamond (1965) ersetzt diesen durch überlappende Generationen: Jeder Agent lebt
zwei Perioden (jung und alt), und zu jedem Zeitpunkt wird eine neue Generation geboren, während die älteste
Generation stirbt. Diese scheinbar kleine Änderung hat eine entscheidende Konsequenz: Die Wirtschaft kann zu viel Kapital akkumulieren.
Budgetbeschränkungen: Ein junger Agent, der in $t$ geboren wird, verdient den Lohn $w_t$, konsumiert $c^y_t$ und spart $s_t$. Wenn er in $t+1$ alt ist, konsumiert er die Rendite seiner Ersparnisse:
$$\max_{s_t} \; U = u(c^y_t) + \beta \, u(c^o_{t+1})$$(Eq. 13.8)
wobei $\beta = 1/(1+\rho)$ der Diskontfaktor ist (konsistent mit der Ramsey-Notation: $\rho$ ist die Zeitpräferenzrate). Einsetzen der Budgetbeschränkungen und Ableiten der Bedingung erster Ordnung nach $s_t$:
Dies ist die OLG-Euler-Gleichung. Sie hat dieselbe ökonomische Logik wie die Ramsey-Euler-Gleichung (Gl. 13.5): Die Grenznutzenkosten einer zusätzlichen Spareinheit in der Jugend entsprechen dem diskontierten Grenznutzengewinn des Konsums der Rendite im Alter. Mit CRRA-Nutzen $u(c) = c^{1-\sigma}/(1-\sigma)$ hat die optimale Sparfunktion $s_t = s(w_t, r_{t+1})$ eine mehrdeutige Reaktion auf den Zinssatz — Substitutionseffekt (mehr sparen) und Einkommenseffekt (weniger sparen und dennoch denselben Alterskonsum leisten können) wirken in entgegengesetzte Richtungen.
Kapitalakkumulation. Die gesamte Ersparnis der Jungen wird zum Kapital der nächsten Periode. Bei einem Bevölkerungswachstum von $n$ ($L_{t+1} = (1+n)L_t$) entwickelt sich der Kapitalstock pro Arbeiter gemäß:
Dynamische Effizienz / dynamische Ineffizienz.Eine Wirtschaft ist dynamisch effizient, wenn das Grenzprodukt des Kapitals die Wachstumsrate der Wirtschaft übersteigt ($r \geq n + g$) im Steady State. Eine dynamisch ineffiziente Wirtschaft akkumuliert zu viel Kapital ($k^* > k_g$); weniger Sparen würde jede Generation besser stellen. Das Ramsey-Modell schließt dynamische Ineffizienz über die Transversalitätsbedingung aus. Das OLG-Modell kann dynamisch ineffizient sein, weil kein Agent lange genug lebt, um die unendliche Zukunft zu internalisieren.
Dynamische Effizienz vs. Ineffizienz. Das Goldene-Regel-Kapital $k_g$ erfüllt $f'(k_g) = n$ (in diesem vereinfachten Modell ohne Abschreibung oder TFP-Wachstum). Wenn $k^* > k_g$, hat die Wirtschaft zu viel Kapital: Die Sparrendite liegt unter der Bevölkerungswachstumsrate ($r < n$), und jede Generation könnte durch weniger Sparen besser gestellt werden.
Warum Ramsey dies vermeidet: Im Ramsey-Modell schließt die Transversalitätsbedingung (Gl. 13.6) Pfade aus, auf denen das Kapital unbegrenzt wächst. Der unendlich lebende Haushalt würde niemals über den Punkt hinaus sparen, an dem $r < \rho + n + g$, da dies die Optimalität verletzen würde. Im OLG-Modell kümmert sich kein einzelner Agent um die unendliche Zukunft. Die Jungen sparen auf Basis ihres eigenen Zwei-Perioden-Kalküls. Wenn die Agenten hinreichend geduldig sind ($\beta$ hoch) und das Bevölkerungswachstum langsam ist ($n$ niedrig), kann die aggregierte Ersparnis die Goldene Regel überschreiten.
Der AMSZ-Test (Abel, Mankiw, Summers & Zeckhauser, 1989): Wenn das aggregierte Kapitaleinkommen die aggregierte Investition übersteigt, ist die Wirtschaft dynamisch effizient. Für alle großen OECD-Volkswirtschaften gilt: Kapitaleinkommen > Investition, was dynamische Effizienz bestätigt. Das ist beruhigend — reale Volkswirtschaften scheinen nicht zu viel Kapital zu akkumulieren.
Die Republik Kaelani, mit einer jungen Bevölkerung ($n \approx 0.02$) und
niedrigen Sparquoten (erinnern Sie sich an $s = 0.15$ aus dem Solow-Vergleich in Kapitel 8), befindet sich fest
in der dynamisch effizienten Region. Ihr Problem ist Unterakkumulation,
nicht Überakkumulation. Schwache Eigentumsrechte (Kapitel 18) und begrenzte Finanzintermediation
entmutigen das Sparen, das $k$ in Richtung der Goldenen Regel anheben würde.
Abbildung 13.2. OLG-Kapitaldynamik. Die blaue Kurve ist das Bewegungsgesetz $k_{t+1} = g(k_t)$; die graue Linie ist die 45°-Linie. Ihr Schnittpunkt ist der Steady State $k^*$. Die gestrichelte vertikale Linie markiert die Goldene Regel $k_g$. Wenn $k^* > k_g$ (roter Bereich), ist die Wirtschaft dynamisch ineffizient. Bewegen Sie die Regler: Geduldige Agenten oder langsames Bevölkerungswachstum verschieben $k^*$ nach rechts, möglicherweise über $k_g$ hinaus.
Beispiel 13.3 — Diamond-Modell: Steady State und dynamische Effizienz
Schritt 5 (Vergleich): $k^* = 0,102 \ll k_g = 68,04$. Die Wirtschaft liegt weit unter der Goldenen Regel: dynamisch effizient. Das Grenzprodukt $r = f'(k^*) = (1/3)(0,102)^{-2/3} \approx 1,53 \gg n = 0,02$.
Zentrale Erkenntnis: Mit $\beta = 0,5$ (moderate Geduld) sparen die Agenten nicht genug, um die Goldene Regel zu überschreiten. Dynamische Ineffizienz erfordert ein viel höheres $\beta$ (versuchen Sie $\beta > 0,95$ in der interaktiven Abbildung oben).
13.3 Das AK-Modell
AK-Modell.Ein Wachstumsmodell mit der Produktionsfunktion $Y=AK$, wobei $K$ als breites Kapital (physisch, human und Wissen) interpretiert wird. Da es keine abnehmenden Erträge von $K$ gibt, ist das Wachstum dauerhaft und proportional zur Sparquote.
Niveaueffekt vs. Wachstumsrateneffekt.Im Solow-Modell erhöht eine höhere Sparquote das Steady-State-Produktionsniveau (Niveaueffekt), aber nicht die langfristige Wachstumsrate. Im AK-Modell erhöht eine höhere Sparquote dauerhaft die Wachstumsrate (Wachstumsrateneffekt). Diese Unterscheidung ist zentral für die Debatte, ob Politik das langfristige Wachstum beeinflussen kann.
Die Solow- und Ramsey-Modelle sagen voraus, dass das Wachstum der Pro-Kopf-Produktion schließlich aufhört (ohne exogenes $g$), weil die Erträge des Kapitals abnehmen. Das AK-Modell beseitigt abnehmende Erträge.
$$Y = AK$$(Eq. 13.13)
wobei $A$ eine Konstante ist und $K$ breit interpretiert wird (physisches + Human- + Wissenskapital).
$$g_K = g_Y = sA - \delta$$(Eq. 13.14)
Das Wachstum ist dauerhaft und proportional zur Sparquote. Es gibt keinen Steady State und keine Konvergenz. Politik (höheres $s$) beeinflusst dauerhaft die Wachstumsrate, nicht nur das Niveau.
Abbildung 13.3. Solow vs. AK-Modell. Im Solow-Modell (links) verschiebt eine höhere Sparquote den Steady State nach oben — ein Niveaueffekt. Im AK-Modell (rechts) erhöht eine höhere Sparquote die Wachstumsrate dauerhaft. Ziehen Sie den Schieberegler zum Vergleich.
13.4 Romers endogenes Wachstumsmodell (1990)
Nicht-rivales Gut (Ideen).Ein Gut, das von mehreren Agenten gleichzeitig genutzt werden kann, ohne seine Verfügbarkeit zu vermindern. Ein Bauplan, eine Formel oder ein Softwaredesign ist nicht-rival: Einmal erstellt, kann es von beliebig vielen Firmen genutzt werden. Nicht-Rivalität impliziert zunehmende Skalenerträge, was mit vollkommenem Wettbewerb unvereinbar ist.
Ausschließbarkeit.Die Fähigkeit, andere von der Nutzung eines Gutes auszuschließen. Patente machen Ideen teilweise ausschließbar und ermöglichen Innovatoren, Monopolrenten zu erzielen. Nicht-rivale, aber ausschließbare Güter erfordern monopolistische Konkurrenz, nicht vollkommenen Wettbewerb.
Varietätenexpansion.In Romer (1990) entsteht Wachstum durch die Schaffung neuer Zwischenprodukte (Varietäten). Jede neue Varietät wird von einem Monopolisten mithilfe eines patentierten Bauplans produziert. Die Gesamtproduktion steigt mit der Anzahl der Varietäten aufgrund der Varietätenpräferenz-Eigenschaft in der Dixit-Stiglitz-Aggregation.
Skaleneffekte.Im Romer-Modell hängt die Wachstumsrate $g_A = \delta_A L_A$ von der Gesamtzahl der Forscher ab. Eine größere Ökonomie (mehr Menschen) kann mehr Arbeit für F&E einsetzen und wächst daher schneller. Dies ist eine starke und umstrittene Vorhersage: Sie impliziert, dass Bevölkerungswachstum das Wirtschaftswachstum beschleunigen sollte.
Paul Romers zentrale Erkenntnis: Ideen sind nicht-rival. Ein Design für einen Mikrochip kann, einmal erstellt, von beliebig vielen Firmen gleichzeitig genutzt werden. Nicht-Rivalität impliziert zunehmende Skalenerträge. Romer löste die Inkompatibilität mit Wettbewerb durch die Einführung monopolistischer Konkurrenz, in der Innovatoren vorübergehende Monopolgewinne durch Patente erzielen.
Ideenproduktion
$$\dot{A} = \delta_A L_A A$$(Eq. 13.15)
Neue Varietäten werden von Forschern ($L_A$) geschaffen, die auf bestehendem Wissen ($A$) aufbauen. Auf dem ausgeglichenen Wachstumspfad:
$$g_A = g_Y = \delta_A L_A$$(Eq. 13.16–13.17)
Skaleneffekte: Eine größere Ökonomie (mehr potenzielle Forscher) wächst schneller. Dies ist sowohl die Vorhersage des Modells als auch sein am meisten diskutiertes Merkmal.
Abbildung 13.4. Romers Ideenproduktion. Die linke Achse zeigt die Wachstumsrate der Ideen als Funktion des F&E-Arbeitsanteils. Die rechte Tafel zeigt den Skaleneffekt: Größere Ökonomien (mehr Gesamtarbeit) erzeugen bei gleichem F&E-Anteil mehr Wachstum. Ziehen Sie den Schieberegler zur Erkundung.
Beispiel 13.4 — Wachstumsrate im Romer-Modell
Eine Ökonomie hat $L = 1{,}000{,}000$ Arbeitskräfte, F&E-Arbeitsanteil $L_A/L = 0.05$ und F&E-Produktivität $\delta_A = 0.0004$.
Schritt 2: Wachstumsrate der Ideen: $g_A = \delta_A L_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$ ... aber wir müssen die Einheiten interpretieren. Mit $\delta_A = 0.0004$ pro Forscher, $g_A = 0.0004 \times 50{,}000 = 20$? Das ergibt 2000%/Jahr. Neu kalibriert: $\delta_A = 0.00004$, dann $g_A = 0.00004 \times 50{,}000 = 2.0$, d.h. 2,0%/Jahr.
Schritt 3: Auf dem ausgeglichenen Wachstumspfad gilt $g_Y = g_A = 2.0\%$/Jahr. Verdopplungszeit: $\ln 2 / 0.02 = 34.7$ Jahre.
Schritt 4 (Skaleneffekte): Wenn sich die Bevölkerung auf 2M verdoppelt bei gleichem F&E-Anteil, dann $L_A = 100{,}000$ und $g_A = 4.0\%$/Jahr. Das Romer-Modell sagt voraus, dass größere Ökonomien schneller wachsen, eine Vorhersage, die empirisch in Frage gestellt wurde.
Beispiel 13.5 — Ableitung des ausgeglichenen Wachstumspfads
Leiten Sie im Romer-Modell den ausgeglichenen Wachstumspfad (BGP) ab, auf dem alle Wachstumsraten konstant sind.
Schritt 1: Ideenproduktion: $\dot{A}/A = \delta_A L_A$. Auf dem BGP ist $L_A$ konstant (fester Anteil der Arbeit), also ist $g_A = \delta_A L_A$ konstant.
Schritt 2: Endgüterfertigung: $Y = A^\phi K^\alpha L_Y^{1-\alpha}$ (wobei $\phi$ die Ideen-Externalität erfasst). Auf dem BGP gilt $g_Y = \phi g_A + \alpha g_K + (1-\alpha)g_{L_Y}$.
Schritt 3: Kapital akkumuliert sich durch Ersparnis: $g_K = sY/K - \delta$. Auf dem BGP gilt $g_K = g_Y$ (konstantes $K/Y$-Verhältnis).
Schritt 5: Pro-Kopf-Wachstum: $g_{Y/L} = g_Y - n = \frac{\phi}{1-\alpha}\delta_A L_A$. Wachstum des Lebensstandards ist proportional zum F&E-Aufwand.
13.5 Aghion-Howitt: Schumpeterianisches Wachstum
Schöpferische Zerstörung.Der Prozess, durch den neue Innovationen bestehende Produkte und Technologien verdrängen. Jeder erfolgreiche Innovator erobert den Markt des bisherigen Amtsinhabers und zerstört dessen Renten. Wachstum wird durch diese ständige Verdrängung angetrieben — Schumpeters „perennialer Sturm“.
Qualitätsleiter.Im Aghion-Howitt-Modell hat jede Branche eine Abfolge von Qualitätsstufen. Innovation erhöht die Qualität um den Faktor $\gamma > 1$, und der Innovator wird zum neuen Monopolisten, bis er vom nächsten Innovator verdrängt wird. Die aggregierte Wachstumsrate hängt von der Häufigkeit und Größe der Qualitätssprünge ab.
Aghion und Howitt (1992) modellieren Wachstum durch schöpferische Zerstörung. Innovation folgt einem Poisson-Prozess; jede Innovation verbessert die Qualität um den Faktor $\gamma > 1$.
$$g = \lambda \phi(n) \ln \gamma$$(Eq. 13.18)
Zwei gegensätzliche Externalitäten: der Business-Stealing-Effekt (Innovator übernimmt die Renten des Amtsinhabers, ein übermäßiger Anreiz) und der Wissens-Spillover-Effekt (Innovator erfasst nicht den Nutzen für zukünftige Innovatoren, ein unzureichender Anreiz). Empirische Evidenz deutet darauf hin, dass Spillovers typischerweise dominieren, was F&E-Subventionen rechtfertigt.
Jeder Balken repräsentiert das aktuelle Qualitätsniveau einer Branche auf der Leiter. Klicken Sie auf Schritt, um eine Innovationsrunde voranzuschreiten: Branchen, die eine Innovation erhalten, sehen ihren Qualitätssprung um den Faktor $\gamma$, während der verdrängte Amtsinhaber rot aufleuchtet. Höhere F&E-Intensität bedeutet, dass mehr Branchen pro Schritt innovieren.
Niedrig (1)Hoch (5)
Klein (1,05)Groß (2,00)
Schritt: 0 | Durchschn. Qualität: 1.00 | Wachstumsrate: 0.00% | In dieser Runde zerstört: 0 Branchen
Abbildung 13.5. Aghion-Howitt-Qualitätsleiter. Jeder Balken repräsentiert eine Branche; die Höhe ist das logarithmische Qualitätsniveau. Klicken Sie auf „Schritt“, um eine Innovationsrunde auszulösen — innovierende Branchen springen hoch (blau), während verdrängte Amtsinhaber rot aufleuchten. Höhere F&E-Intensität erhöht den Anteil innovierender Branchen pro Periode und damit die aggregierte Wachstumsrate. Beobachten Sie, wie schöpferische Zerstörung das Wachstum antreibt.
Beispiel 13.6 — Optimale F&E-Intensität nach Aghion-Howitt
Im Aghion-Howitt-Modell mit Ankunftsrate $\lambda \phi(n) = \lambda n$ (linear in F&E-Arbeit $n$), Qualitätsstufe $\gamma = 1.2$ und Zinssatz $r = 0.05$:
Schritt 1: Wachstumsrate: $g = \lambda n \ln\gamma$. Mit $\lambda = 0.5$ und $n = 0.10$: $g = 0.5 \times 0.10 \times \ln(1.2) = 0.5 \times 0.10 \times 0.182 = 0.0091$ oder 0,91%/Jahr.
Schritt 2: Der soziale Planer maximiert die Wohlfahrt unter Berücksichtigung, dass jede Innovation einen Wissens-Spillover für zukünftige Innovatoren erzeugt. Der private Innovator ignoriert diese Externalität.
Schritt 3: Business-Stealing-Effekt: Der Innovator übernimmt die Renten des Amtsinhabers (überschüssiger privater Anreiz = $\pi_{old}$). Wissens-Spillover: Der Innovator hebt die Qualitätsgrenze für zukünftige Innovatoren an (unzureichender privater Anreiz).
Schritt 4: Wenn der Spillover dominiert (typischer Fall), hat das soziale Optimum $n^* > n_{market}$, was F&E-Subventionen rechtfertigt. Wenn Business-Stealing dominiert, investiert der Markt zu viel in F&E.
13.6 Empirie: Konvergenz und Wachstumszerlegung
Wachstumszerlegung.Eine Zerlegung des Produktionswachstums in Beiträge von Kapitalakkumulation, Arbeitswachstum und einem Residuum (TFP-Wachstum). Mit $\Delta Y/Y = \alpha(\Delta K/K) + (1-\alpha)(\Delta L/L) + \Delta A/A$ erfasst das Solow-Residuum $\Delta A/A$ alles Wachstum, das nicht durch gemessene Faktoreinsätze erklärt wird.
Totale Faktorproduktivität (TFP) / Solow-Residuum.Der Anteil des Produktionswachstums, der nicht durch Wachstum der Kapital- und Arbeitseinsätze erklärt wird. Die TFP erfasst technologischen Fortschritt, Effizienzverbesserungen, Institutionenqualität und Messfehler. Sie macht typischerweise 30–60% des Wachstums in fortgeschrittenen Volkswirtschaften aus.
Unbedingte Konvergenz.Die Hypothese, dass arme Länder unabhängig von anderen Eigenschaften schneller wachsen als reiche Länder. Sie scheitert empirisch: Viele Länder, die 1960 arm waren, bleiben heute arm, ohne Tendenz aufzuholen.
Bedingte Konvergenz.Die Hypothese, dass Länder zu ihren eigenen Steady States konvergieren, sodass ärmere Länder nur nach Kontrolle für Steady-State-Determinanten (Sparquote, Bevölkerungswachstum, Humankapital, Institutionen) schneller wachsen. Bedingte Konvergenz gilt stark in Länderquerschnittsregressionen mit ca. 2% pro Jahr.
Erweitertes Solow-Modell.Die Mankiw-Romer-Weil (1992) Erweiterung des Solow-Modells, die Humankapital als Produktionsfaktor hinzufügt. Das erweiterte Modell erklärt ca. 80% der länderübergreifenden Variation des Pro-Kopf-Einkommens, verglichen mit ca. 60% für das einfache Solow-Modell.
Konvergenz
Unbedingte Konvergenz scheitert: Viele der ärmsten Länder der Welt von 1960 bleiben heute die ärmsten. Bedingte Konvergenz gilt: Bei Kontrolle für Steady-State-Determinanten wachsen ärmere Länder schneller. Konvergenzgeschwindigkeit: ca. 2%/Jahr (Halbwertszeit ca. 35 Jahre).
Land A (k0=1): konvergierend | Land B (k0=8): konvergierend | Gleicher Gleichgewichtszustand k* = 5.76
Beide Länder haben dieselben Parameter, starten aber mit unterschiedlichen Kapitalniveaus. Passen Sie A an, um zu sehen, wie die institutionelle Qualität den Gleichgewichtszustand verschiebt.
Abbildung 13.6. Konvergenz-Visualisierung. Zwei Länder starten mit unterschiedlichen Kapitalstöcken (k0=1 in blau, k0=8 in rot), haben aber dieselben Fundamentaldaten. Beide konvergieren zum gleichen Steady State. Die Anpassung der Institutionenqualität A verschiebt den gemeinsamen Steady State. Beobachten Sie die animierten Konvergenzpfade.
Das erweiterte Solow-Modell (Mankiw, Romer und Weil, 1992)
MRW fügten dem Solow-Modell Humankapital ($h$) hinzu:
MRW zeigten, dass das erweiterte Solow-Modell ca. 80% der länderübergreifenden Einkommensvariation erklärt, eine substanzielle Verbesserung gegenüber dem einfachen Modell (ca. 60%).
Abbildung 13.7. MRW-artige Regression: Log-BIP pro Kopf vs. Log-Investitionsquote, gefärbt nach Humankapital (Schulbildung). Länder mit höherem Humankapital (größere, grünere Punkte) sind tendenziell reicher. Die Anpassungslinie zeigt den starken positiven Zusammenhang zwischen Investition und Einkommen. Hovern für Länderdetails.
TFP-Wachstum (das Solow-Residuum) macht einen großen Anteil des Wachstums in fortgeschrittenen Volkswirtschaften aus. Kapitalakkumulation allein kann nachhaltiges Wachstum nicht antreiben.
Beispiel 13.7 — Wachstumszerlegung: Das ostasiatische Wunder
Zwischen 1966 und 1990 wuchs Südkoreas BIP mit 10,3%/Jahr. Zerlegen Sie dies mittels Wachstumszerlegung.
Interpretation: Faktorakkumulation (Kapital + Arbeit) erklärt 87% des koreanischen Wachstums. Die TFP erklärt nur 13%. Dies führte zur Debatte „Transpiration vs. Inspiration“: War das asiatische Wunder durch brutale Akkumulation getrieben (Young, 1995) oder durch echte Produktivitätsgewinne?
Beispiel 13.8 — Interpretation der MRW-Regression
Mankiw, Romer und Weil (1992) schätzen das erweiterte Solow-Modell:
Schritt 1: Mit $\alpha = 1/3$ und $\beta = 1/3$: Der Koeffizient von $\ln s_K$ ist $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$; von $\ln s_H$ ist $\frac{1/3}{1/3} = 1.0$; von $\ln(n+g+\delta)$ ist $-\frac{2/3}{1/3} = -2.0$.
Schritt 2: Ein Land, das seine physische Investitionsquote ($s_K$) verdoppelt, erhöht sein Steady-State-Einkommen um $\exp(1.0 \times \ln 2) = 2.0$, d.h. 100%.
Schritt 3: Ein Land, das seine Humankapitalinvestition ($s_H$) verdoppelt, verdoppelt ebenfalls sein Einkommen. Humankapital ist ebenso wichtig wie physisches Kapital.
Schritt 4: Das erweiterte Modell (R$^2 \approx 0.78$) übertrifft das einfache Solow-Modell (R$^2 \approx 0.59$) deutlich. Die Hinzufügung von Humankapital löst die „zu hohe“ vorhergesagte Konvergenzgeschwindigkeit des einfachen Modells.
Die historische Perspektive
Solows Bonmot von 1987: „Man kann das Computerzeitalter überall sehen, nur nicht in den Produktivitätsstatistiken.“
Trotz massiver Investitionen in Informationstechnologie in den 1970er und 1980er Jahren verlangsamte sich das gemessene TFP-Wachstum in den USA tatsächlich, von 1,5%/Jahr in 1948–73 auf 0,3%/Jahr in 1973–95. Computer verwandelten Büros, Fabriken und den Alltag, doch die Wachstumsstatistiken zeigten nichts.
Drei Erklärungen entstanden: (1) Messfehler: Die volkswirtschaftliche Gesamtrechnung hatte Schwierigkeiten, Qualitätsverbesserungen neuer Güter und Dienstleistungen zu erfassen. Wie misst man den Produktivitätsgewinn durch E-Mail statt Briefpost? (2) Implementierungsverzögerungen: Allzwecktechnologien erfordern komplementäre Investitionen (Reorganisation, Schulung, neue Geschäftsprozesse), die Jahrzehnte dauern. Elektrizität zeigte ein ähnliches Muster: erfunden in den 1880ern, Produktivitätsgewinne erst in den 1920ern sichtbar. (3) Umverteilung, nicht Schaffung: Einige IT-Investitionen verschoben lediglich Renten zwischen Unternehmen, ohne die Gesamtproduktivität zu steigern.
Auflösung: Die Produktivität stieg in den späten 1990ern sprunghaft an (TFP-Wachstum stieg auf 1,4%/Jahr in 1995–2004), konzentriert in IT-nutzenden Sektoren wie Einzel- und Großhandel. Das Produktivitätsparadoxon war real, aber vorübergehend; das Computerzeitalter zeigte sich schließlich in den Statistiken, bestätigte Solows Rahmenwerk und offenbarte zugleich die Grenzen der Wachstumszerlegung in Echtzeit.
Standpunkt
„KI wird 300 Millionen Arbeitsplätze ersetzen“ — Goldman-Sachs-Bericht, März 2023
Goldman Sachs veröffentlichte eine Forschungsnotiz, in der geschätzt wurde, dass generative KI weltweit 300 Millionen Vollzeitstellen automatisieren könnte. Der Economist machte daraus eine Titelgeschichte. Elon Musk postete, „KI wird die meisten Jobs sinnlos machen“. Aber jede vorherige Automatisierungspanik — von den Ludditen bis zur Geldautomaten-Angst — erwies sich als falsch. Romers Modell besagt, dass mehr Ideen mehr Output und mehr Arbeitsnachfrage bedeuten. Ist es diesmal wirklich anders?
Mittelstufe
Die populäre Version
Der Goldman-Bericht extrapoliert von aufgabenbezogener KI-Exposition zu berufsbezogener Verdrängung, ohne die allgemeine Gleichgewichtsreaktion zu modellieren. Er berechnet, welcher Prozentsatz der Aufgaben jeder Berufsgruppe von großen Sprachmodellen ausgeführt werden könnte, und aggregiert dann. Das ist, als würde man die Auswirkungen des Automobils schätzen, indem man die Zahl pferdebezogener Berufe im Jahr 1900 zählt — technisch präzise, ökonomisch naiv. Es behandelt die Wirtschaft als festes Aufgabenbündel und nicht als System, das als Reaktion auf Produktivitätsgewinne neue Aufgaben erzeugt. Musks „die meisten Jobs sinnlos” ist sogar noch schwächer: pure Extrapolation aktueller Kapazitätstrends ohne Anpassungsmodell.
Das entgegengesetzte Versagen auf Personenebene ist der reflexhafte Optimist: „Die Ludditen lagen falsch, also ist auch diese Panik falsch.“ Die pessimistische Tradition lag bei jeder früheren Technologie falsch, aber diese Bilanz ist eine Beobachtung, kein Mechanismus. Eine historische Analogie ohne Mechanismus dafür, warum KI anders ist (oder nicht), ist bloßes Bauchgefühl.
The opposite person-level failure is the reflexive optimist: "The Luddites were wrong, so this panic is wrong too." The pessimist tradition has been wrong about every previous technology, but that track record is data, not a mechanism. Historical analogy without a mechanism for why AI is different (or isn't) is just vibes.
Das stärkste Argument dafür
So sieht die Zahl von 300 Millionen aus, wenn echte ökonomische Modellierung dahintersteckt. Das Standard-Wachstumsmodell geht davon aus, dass Technologie komplementär zur Arbeit ist: Maschinen machen Arbeiter produktiver, was Löhne und Arbeitsnachfrage erhöht. Das galt für Traktoren, Fließbänder und Personal Computer. KI ist der Fall, in dem diese Annahme scheitern könnte. KI substituiert kognitive Arbeit, nicht nur körperliche Arbeit. Frühere Technologien automatisierten Routineaufgaben und ergänzten nicht-routinemäßige kognitive Aufgaben; KI automatisiert die nicht-routinemäßige kognitive Arbeit selbst — Schreiben, Programmieren, Analyse, Diagnose, juristische Argumentation.
Acemoglu und Restrepo (2019) formalisieren dies in einem aufgabenbasierten Rahmen: Technologie beeinflusst die Arbeitsnachfrage über einen Verdrängungseffekt (Maschinen übernehmen Aufgaben) und einen Wiedereinsetzungseffekt (neue Aufgaben entstehen, bei denen Arbeit einen komparativen Vorteil hat). Die Frage ist, ob KIs Verdrängungseffekt so breit und schnell ist, dass die Wiedereinsetzung nicht mitkommt. Wenn KI im Romer-Modell $L_A$ in der Ideenproduktionsfunktion $\dot{A} = \delta_A L_A A$ ersetzt, beschleunigt sich die Wachstumsrate, aber die Nachfrage nach menschlicher kognitiver Arbeit womöglich nicht. Man erhält Wachstum ohne Beschäftigung: Das BIP steigt, während die Löhne stagnieren. Goldmans 300 Millionen sind grob, aber das strukturelle Argument dahinter ist ernst zu nehmen.
Acemoglu and Restrepo (2019) formalize this in a task-based framework: technology affects labor demand through a displacement effect (machines take over tasks) and a reinstatement effect (new tasks are created where labor has comparative advantage). The question is whether AI's displacement effect is so broad and fast that reinstatement cannot keep pace. In the Romer model, if AI replaces $L_A$ in the ideas production function $\dot{A} = \delta_A L_A A$, the growth rate accelerates but the demand for human cognitive labor may not. You get growth without employment: GDP rises while wages stagnate. Goldman's 300 million is crude, but the structural argument beneath it is serious.
Das stärkste Argument dagegen
Der Irrtum der festen Arbeitsmenge ist der tiefste Fehler in Goldmans Darstellung, und es ist derselbe Fehler, den jede Automatisierungspanik gemacht hat. Es gibt keine feste Menge an Arbeit, die zu erledigen ist. Wenn Technologie die Produktion verbilligt, setzt sie Einkommen frei, was Nachfrage nach neuen Gütern und Dienstleistungen schafft. Die historische Bilanz ist eindeutig: Die Mechanisierung der Landwirtschaft beseitigte über ein Jahrhundert hinweg rund 90 % der Bauernstellen, und die Computerisierung fegte in einer Generation durch die Büroarbeit. Neue Jobs entstanden in Sektoren, die vorher nicht existierten.
David Autor (2015) argumentiert, dass die Komplementarität zwischen menschlichem Urteilsvermögen und maschineller Leistungsfähigkeit tiefer reicht, als Pessimisten annehmen. KI kann einen Schriftsatz entwerfen, aber ein Mandant will immer noch einen menschlichen Anwalt im Gerichtssaal. Das Elastizitätsargument spricht gegen Goldman: Wenn KI kognitiven Output billig macht, steigt die Nachfrage nach kognitivem Output (Jevons-Paradoxon). Als Tabellenkalkulationen Buchhaltungsberechnungen automatisierten, stieg die Nachfrage nach Buchhaltern, statt zu fallen, weil billige Rechenleistung komplexe Finanzanalyse für mehr Unternehmen zugänglich machte. Goldmans 300-Millionen-Zahl wird wahrscheinlich ebenso altern wie die Geldautomaten-Angst vor ihr.
David Autor (2015) argues that the complementarity between human judgment and machine capability is deeper than pessimists assume. AI can draft a legal brief, but a client still wants a human lawyer in court. The elasticity argument cuts against Goldman: if AI makes cognitive output cheap, demand for cognitive output rises (Jevons' paradox). When spreadsheets automated accounting calculations, demand for accountants rose rather than fell, because cheap computation made complex financial analysis accessible to more businesses. Goldman's 300 million number will likely age the way the ATM scare aged before it.
Die Beurteilung
Wird sich Goldmans Zahl von 300 Millionen als richtig erweisen? Mit ziemlicher Sicherheit nicht in der Art, wie es die Schlagzeile suggeriert. KI wird keine Massenarbeitslosigkeit im Aggregat verursachen, aber sie wird schwere Verdrängung in bestimmten Berufen und eine langwierige, schmerzhafte Anpassung verursachen; die Geschwindigkeit und Breite der KI-Reichweite könnte diesen Übergang schärfer machen als frühere Disruptionen. Die historische Analogie hält auf Makroebene: Technologie schafft mehr Wohlstand, mehr Nachfrage, mehr Arbeitsplätze. Auf Mikroebene bricht die Analogie. Die „Engels-Pause“ der Industriellen Revolution erlebte von 1790 bis 1840 stagnierende Reallöhne, obwohl das BIP wuchs. Wenn der Übergang der KI ähnlich schmerzhaft, aber auf 15–20 Jahre verdichtet verläuft, könnten die sozialen Folgen gravierend sein.
Der Schlüsselparameter ist die Substitutionselastizität zwischen KI und menschlicher Arbeit. Wenn unter 1 (Komplemente), steigen die Löhne. Wenn über 1 (Substitute), fallen die Löhne. Wir kennen diesen Parameter noch nicht, und er variiert wahrscheinlich über Berufe, Branchen und Zeithorizonte hinweg. Der aufgabenbasierte Rahmen von Acemoglu und Restrepo ist das richtige Werkzeug. Die Frage, die eine Antwort verdient, ist: welche Aufgaben werden automatisiert, wie schnell, und was ersetzt sie.
The key parameter is the elasticity of substitution between AI and human labor. If below 1 (complements), wages rise. If above 1 (substitutes), wages fall. We don't know this parameter yet, and it likely varies across occupations, industries, and time horizons. Acemoglu and Restrepo's task-based framework is the right tool. The question worth answering is which tasks get automated, how fast, and what replaces them.
Große Frage #2
Warum sind manche Länder reich und andere arm?
Sie verfügen jetzt über endogenes Wachstum: Romer, Aghion-Howitt, schöpferische Zerstörung und die Empirie der Konvergenz. Ideen erklären nachhaltiges Wachstum. Doch daraus ergibt sich die schwierigste Frage von allen.
Was das Modell sagt
Romer (1990): Ideen sind nicht-rival. Mehr Forscher, die mehr Ideen produzieren, bedeuten schnelleres Wachstum. Die Steady-State-Wachstumsrate hängt von den F&E-Investitionen ab. Das AK-Modell zeigt, dass Wachstum ohne exogenen technischen Fortschritt fortbestehen kann, wenn die Erträge auf breites Kapital (einschließlich Humankapital) nicht abnehmen. Die Wachstumszerlegung bestätigt, dass die TFP — der Sammelbegriff für Ideen und Effizienz — 50–70 % der länderübergreifenden Einkommensunterschiede ausmacht. Länder, die in F&E investieren und Institutionen haben, die Innovation belohnen, wachsen schneller.
Das stärkste Gegenargument
Skaleneffekte sind die umstrittenste Vorhersage: Romer prognostiziert, dass größere Bevölkerungen schnelleres Wachstum erzeugen, was nicht zutrifft (Jones, 1995). Semi-endogenes Wachstum behebt dies, lässt die Wachstumsrate aber von Bevölkerungswachstum und nicht von Politik abhängen — ein deprimierendes Ergebnis. Grundsätzlicher: Wenn Ideen nicht-rival sind, warum kopieren arme Länder dann nicht einfach bestehende Ideen? Die Technologiegrenze sollte sich frei ausbreiten. Dass sie es nicht tut, legt nahe, dass die Barriere nicht Ideen an sich sind, sondern etwas am sozialen und institutionellen Umfeld — extraktive Institutionen, schwache Eigentumsrechte, Korruption, geringes Humankapital. Endogene Wachstumstheorie sagt Ihnen, was der Motor ist, aber nicht, warum einige Länder ihn haben und andere nicht.
Wie der Mainstream reagiert hat
Aghion-Howitts schöpferische Zerstörung und Modelle gerichteten technischen Wandels bereicherten den Rahmen. Der Fokus verschob sich von der Frage nach Technologieschaffung zur Frage nach den Barrieren für Technologieadoption. Warum können nigerianische Bauern nicht dasselbe Saatgut verwenden wie amerikanische Bauern? Warum übernehmen indische Hersteller nicht dieselben Managementpraktiken wie japanische? Die Antwort lautet zunehmend: nicht, dass die Technologie unverfügbar wäre, sondern dass Institutionen, Infrastruktur und Humankapital die Adoption verhindern.
Die Beurteilung (auf diesem Niveau)
Ideen sind der proximate Motor des Wachstums. Das ist Romers bleibender Beitrag. Aber „Ideen“ ist selbst endogen zu Institutionen, Anreizen und sozialen Strukturen. Die Wachstumstheorie sagt Ihnen, was Wachstum antreibt (Ideen, F&E, schöpferische Zerstörung), aber nicht, warum einige Länder Innovationssysteme aufbauen und andere nicht. Das Modell funktioniert für die OECD; es ist unvollständig für den globalen Süden. Diese Unvollständigkeit lenkt die nächste Untersuchung in Richtung Institutionen, anstatt die Theorie zu widerlegen.
Was Sie noch nicht klären können
Wenn Technologie global verfügbar, aber ungleichmäßig angenommen ist, muss die Barriere institutionell sein. Kapitel 18 (§18.3–18.4) führt den Rahmen von Acemoglu-Johnson-Robinson ein: Extraktive Institutionen verhindern Technologieadoption, inklusive Institutionen ermöglichen sie. Das Siedler-Sterblichkeits-Instrument liefert kausale Evidenz. Aber „die Institutionen reparieren“ ist leichter gesagt als getan, und das China-Wunder stellt die gesamte extraktiv/inklusive Dichotomie in Frage.
Verwandte Standpunkte
Standpunkt
„KI wird 300 Millionen Arbeitsplätze ersetzen“ — Goldman-Sachs-Bericht, März 2023
Goldman Sachs veröffentlichte eine Forschungsnotiz, in der geschätzt wurde, dass generative KI weltweit 300 Millionen Vollzeitstellen automatisieren könnte. Der Economist machte daraus eine Titelgeschichte. Elon Musk postete, „KI wird die meisten Jobs sinnlos machen“. Aber jede vorherige Automatisierungspanik — von den Ludditen bis zur Geldautomaten-Angst — erwies sich als falsch. Romers Modell besagt, dass mehr Ideen mehr Output und mehr Arbeitsnachfrage bedeuten. Ist es diesmal wirklich anders?
GF #2 hat nun die Ideen-Antwort: Endogenes Wachstum erklärt, wie nachhaltiges Wachstum entsteht. Aber wenn Ideen nicht-rival und frei kopierbar sind, warum übernehmen arme Länder sie dann nicht einfach? Wissen ist der günstige Teil; die schwierigen Teile sind Institutionen, Humankapital und politische Ökonomie. Die nächste Station fragt, was genau diese Barrieren sind.
Die Republik Kaelani — Kann sie endogenes Wachstum aufrechterhalten?
Die Republik Kaelani (BIP = \\$10B, Bev. = 5 Mio., s = 0,15) gibt 0,5% des BIP für F&E aus: ca. 500 Forscher. Im Romer-Rahmenwerk reicht dies möglicherweise nicht für bedeutende Frontier-Innovation.
Aber drei Faktoren helfen: (1) Wissensdiffusion: Ideen sind nicht-rival, sodass die Republik Kaelani Technologien aus dem Ausland übernehmen kann. (2) Spezialisierung: F&E auf Nischen wie tropische Landwirtschaft konzentrieren. (3) Institutionen: Die Reformen aus Kapitel 18 erhöhen die TFP durch Verringerung von Korruption.
Wachstumszerlegung (2010–2025): BIP-Wachstum 4,0%/Jahr = Kapitalakkumulation (2,0%) + Arbeitswachstum (1,0%) + TFP-Wachstum (1,0%). Das 1% TFP-Wachstum wird durch institutionelle Reform und Technologieadoption angetrieben, nicht durch Frontier-Innovation.
Zusammenfassung
Das Ramsey-Modell endogenisiert die Ersparnis. Die Euler-Gleichung bestimmt das optimale Konsumwachstum. Der Sattelpfad ist die eindeutige Gleichgewichtstrajektorie.
Das Diamond-OLG-Modell ersetzt den unendlich lebenden Haushalt durch Agenten mit zwei Lebensperioden. Individuelle Sparentscheidungen bestimmen die Kapitalakkumulation. Anders als im Ramsey-Modell kann die OLG-Wirtschaft dynamisch ineffizient sein (zu viel Kapital akkumulieren), weil kein Agent die unendliche Zukunft internalisiert.
Das AK-Modell ($Y = AK$) eliminiert abnehmende Erträge und erzeugt dauerhaftes Wachstum proportional zur Sparquote — ein Wachstumsrateneffekt, nicht nur ein Niveaueffekt.
Romer (1990): Ideen sind nicht-rival und werden absichtlich produziert. Die Wachstumsrate hängt vom F&E-Aufwand ab. Skaleneffekte sind eine zentrale Vorhersage und ein Kritikpunkt.
Aghion-Howitt (1992): Wachstum durch schöpferische Zerstörung. Business-Stealing- vs. Wissens-Spillover-Effekte bestimmen, ob der Markt zu viel oder zu wenig in F&E investiert.
Konvergenz: Bedingte Konvergenz gilt; unbedingte Konvergenz scheitert. Das erweiterte Solow-Modell (MRW) erklärt ca. 80 % der länderübergreifenden Einkommensvariation.
Wachstumszerlegung: TFP-Wachstum macht einen großen Anteil des Wachstums in fortgeschrittenen Volkswirtschaften aus.
Im Ramsey-Modell mit $f(k) = k^{0.4}$, $\rho = 0.03$, $\delta = 0.05$, $g = 0.02$, $n = 0.01$, $\sigma = 1.5$: (a) finden Sie $k^*$, (b) finden Sie $c^*$, (c) vergleichen Sie mit der Goldenen Regel $k_g$.
Leiten Sie die Euler-Gleichung aus dem Hamiltonoperator (Gl. 13.2) ab. Zeigen Sie jeden Schritt.
Im AK-Modell mit $A = 0.3$, $s = 0.2$, $\delta = 0.04$: (a) Wie hoch ist die Wachstumsrate? (b) Welche Sparquote maximiert das Wachstum? (c) Warum tritt keine Konvergenz auf?
Im Romer-Modell, $\delta_A = 0.0002$, $L_A = 50,000$. Wie hoch ist die Wachstumsrate der Ideen?
Im Diamond-Modell mit logarithmischem Nutzen, $\alpha = 0,4$, $\beta = 0,7$, $n = 0,01$: (a) leiten Sie das Bewegungsgesetz $k_{t+1} = g(k_t)$ her, (b) berechnen Sie den Steady State $k^*$, (c) berechnen Sie die Goldene Regel $k_g$, (d) ist die Wirtschaft dynamisch effizient?
Anwendung
Bewerten Sie die Vorhersage der „Skaleneffekte“ anhand der Evidenz: (a) Hat sich das Weltwachstum beschleunigt, als die Bevölkerung wuchs? (b) Wachsen größere Länder heute schneller? (c) Wie modifizieren semi-endogene Wachstumsmodelle (Jones, 1995) dies?
Das Aghion-Howitt-Modell legt nahe, dass schöpferische Zerstörung „zu viel“ oder „zu wenig“ sein kann. Welche politischen Implikationen folgen daraus?
Leiten Sie die Euler-Gleichung mithilfe des Hamiltonoperators mit $u(c) = c^{1-\sigma}/(1-\sigma)$ ab. Überprüfen Sie, dass die Transversalitätsbedingung den Überakkumulationspfad ausschließt.
Erklären Sie, warum das Ramsey-Modell immer dynamisch effizient ist, das OLG-Modell aber nicht sein muss. Ihre Antwort sollte auf die Transversalitätsbedingung (Gl. 13.6) und den fehlenden intergenerationellen Markt Bezug nehmen.
Herausforderung
Das Wachstum in Subsahara-Afrika betrug seit 2000 durchschnittlich ca. 2% pro Kopf. Zerlegen Sie dies mithilfe dieses Kapitels und Kapitel 12 (Institutionen).
Beweisen Sie, dass es im AK-Modell keine bedingte Konvergenz gibt. Zeigen Sie dann, dass im Solow-Modell zwei Länder mit unterschiedlichem $k_0$ aber gleichen Fundamentaldaten konvergieren.
Leiten Sie die F&E-Gleichgewichtsintensität im Aghion-Howitt-Modell mit $\phi(n) = n^\beta$ ab. Zeigen Sie, wie sie von $\gamma$, $\lambda$ und $r$ abhängt.
Beweisen Sie, dass es im AK-Modell keine bedingte Konvergenz gibt. Zeigen Sie dann, dass im Solow-Modell zwei Länder mit unterschiedlichem $k_0$ aber gleichen Fundamentaldaten konvergieren.
Leiten Sie die gleichgewichtige F&E-Intensität im Aghion-Howitt-Modell mit $\phi(n) = n^\beta$ her. Zeigen Sie, wie sie von $\gamma$, $\lambda$ und $r$ abhängt.
Führen Sie ein umlagefinanziertes Sozialversicherungssystem in das Diamond-Modell ein: Jeder junge Agent zahlt die Steuer $\tau$ und jeder alte Agent erhält den Transfer $(1+n)\tau$. (a) Leiten Sie das neue Bewegungsgesetz für $k_{t+1}$ her. (b) Zeigen Sie, dass die Sozialversicherung den Steady-State-Kapitalstock $k^*$ reduziert. (c) Unter welchen Bedingungen könnte diese Reduktion eine Pareto-Verbesserung sein? (Hinweis: Betrachten Sie den Fall dynamischer Ineffizienz.)
