Chapitre 6Théorie du consommateur et du producteur
Introduction
La première partie a traité les courbes d'offre et de demande comme données. Nous les avons tracées, déplacées et mesuré le surplus qu'elles généraient. Mais d'où viennent ces courbes ? Ce chapitre répond à cette question en dérivant la demande du problème d'optimisation du consommateur et l'offre du problème d'optimisation de l'entreprise.
Le changement de méthode est significatif. La première partie utilisait l'algèbre et la géométrie. Ce chapitre introduit l'optimisation sous contrainte — maximiser une fonction objectif sous une contrainte — à l'aide du calcul différentiel et des méthodes lagrangiennes. Le bénéfice est que les courbes d'offre et de demande cessent d'être des hypothèses et deviennent des conséquences de fondamentaux plus profonds : préférences, technologie et prix.
Le chapitre est long car il couvre deux théories parallèles — la théorie du consommateur et la théorie du producteur — qui se reflètent mutuellement. Le consommateur maximise l'utilité sous une contrainte budgétaire ; l'entreprise minimise les coûts sous une contrainte de production (ou maximise le profit sous une contrainte technologique). Les deux aboutissent à des conditions de tangence, et les deux génèrent les courbes que nous avions prises comme données dans la première partie.
À la fin de ce chapitre, vous serez capable de :
- Formuler et résoudre le problème de maximisation de l'utilité du consommateur à l'aide du lagrangien
- Dériver les fonctions de demande marshallienne à partir de la maximisation de l'utilité
- Décomposer les variations de prix en effets de revenu et de substitution (équation de Slutsky)
- Formuler et résoudre les problèmes de minimisation des coûts et de maximisation du profit de l'entreprise
- Dériver les courbes de coûts de court et long terme à partir d'une fonction de production
- Classifier les rendements d'échelle
Prérequis : Chapitres 2 et 3. Prérequis mathématiques : calcul multivariable, optimisation sous contrainte (voir l'annexe A pour révision).
6.1 Préférences et utilité
Le consommateur choisit parmi des paniers de biens — des combinaisons comme « 3 pommes et 2 bananes » ou « 5 heures de loisir et 200 $ de consommation ». Pour modéliser ce choix, nous avons besoin d'une façon de représenter les préférences du consommateur — son classement des différents paniers.
Préférences. Une relation binaire $\succsim$ sur l'ensemble des paniers. On écrit $x \succsim y$ pour signifier « le consommateur préfère faiblement le panier $x$ au panier $y$ ». La préférence stricte ($x \succ y$) signifie que $x$ est strictement meilleur. L'indifférence ($x \sim y$) signifie que les deux sont également bons.
Pour que les préférences soient suffisamment bien comportées pour être modélisées mathématiquement, nous exigeons trois axiomes :
- Complétude : Pour deux paniers quelconques $x$ et $y$, soit $x \succsim y$, soit $y \succsim x$ (ou les deux). Le consommateur peut toujours comparer deux options quelconques.
- Transitivité : Si $x \succsim y$ et $y \succsim z$, alors $x \succsim z$. Les préférences sont logiquement cohérentes — pas de cycles.
- Continuité : De petits changements dans les paniers produisent de petits changements dans les préférences. Pas de « bords de falaise ».
Complétude. Un axiome des préférences rationnelles exigeant que pour deux paniers $x$ et $y$ quelconques, le consommateur puisse les classer : soit $x \succsim y$, soit $y \succsim x$, soit les deux (indifférence). Le consommateur n'est jamais « incapable de décider ».
Transitivité. Un axiome des préférences rationnelles exigeant que si $x \succsim y$ et $y \succsim z$, alors $x \succsim z$. Les préférences ne contiennent pas de cycles — la cohérence logique est maintenue.
Continuité. Un axiome exigeant que de petits changements dans les paniers produisent de petits changements dans le classement des préférences. Il n'y a pas de « sauts » — si le panier $x$ est préféré à $y$, les paniers suffisamment proches de $x$ sont aussi préférés à $y$.
Fonction d'utilité. Une fonction à valeurs réelles $U(x_1, x_2)$ qui attribue un nombre à chaque panier de biens tel que les nombres plus élevés correspondent aux paniers les plus préférés. Elle existe lorsque les préférences satisfont la complétude, la transitivité et la continuité.
Utilité ordinale. Une représentation d'utilité dans laquelle seul le classement des paniers compte, et non la magnitude des valeurs d'utilité. Toute transformation monotone $V = g(U)$ (où $g$ est strictement croissante) représente les mêmes préférences.
Sous ces conditions, un théorème fondamental garantit l'existence d'une fonction d'utilité $U(x_1, x_2)$ — une fonction à valeurs réelles qui attribue un nombre à chaque panier tel que :
$$x \succsim y \iff U(x) \geq U(y)$$
Une utilité plus élevée signifie plus préféré. Mais les nombres eux-mêmes n'ont pas de signification au-delà du classement. Toute transformation monotone $V = g(U)$ (où $g$ est strictement croissante) représente les mêmes préférences. C'est ce que nous entendons par utilité ordinale : seul l'ordre compte.
Courbes d'indifférence
Courbe d'indifférence. L'ensemble de tous les paniers donnant le même niveau d'utilité : $\{(x_1, x_2) : U(x_1, x_2) = \bar{u}\}$.
Propriétés des courbes d'indifférence (avec des préférences bien comportées) : (1) Pente décroissante : plus d'un bien nécessite d'en abandonner un autre. (2) Ne peuvent se croiser : cela violerait la transitivité. (3) Courbes plus hautes = utilité plus élevée. (4) Convexes par rapport à l'origine (si les préférences sont convexes) : les mélanges sont préférés aux extrêmes.
Taux marginal de substitution
Taux marginal de substitution (TMS). Le taux auquel le consommateur est disposé à échanger le bien 2 contre le bien 1 tout en maintenant le même niveau d'utilité — le (négatif de la) pente de la courbe d'indifférence.
Le long d'une courbe d'indifférence, $dU = 0$ :
$$MRS_{12} = -\frac{dx_2}{dx_1}\bigg|_{U = \bar{u}} = \frac{MU_1}{MU_2}$$
(Eq. 6.1)
Le TMS est le rapport des utilités marginales. TMS décroissant : pour des préférences convexes, le TMS diminue à mesure que le consommateur descend le long de la courbe d'indifférence (plus de $x_1$, moins de $x_2$). Intuitivement : plus vous avez déjà de limonade, moins vous êtes disposé à renoncer à des biscuits pour une tasse supplémentaire.
Fonctions d'utilité courantes
| Nom | $U(x_1, x_2)$ | TMS | Caractéristique clé |
|---|
| Cobb-Douglas | $x_1^a x_2^b$ | $(a/b)(x_2/x_1)$ | Parts budgétaires constantes |
| Substituts parfaits | $ax_1 + bx_2$ | $a/b$ (constant) | Peut n'acheter qu'un seul bien |
| Compléments parfaits | $\min(ax_1, bx_2)$ | Indéfini au point anguleux | Ratio de consommation fixe |
| Quasi-linéaire | $v(x_1) + x_2$ | $v'(x_1)$ | Pas d'effet de revenu sur $x_1$ |
| CES | $(x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$ | $(x_2/x_1)^{1-\rho}$ | Englobe toutes les formes ci-dessus |
6.2 Le problème du consommateur
Contrainte budgétaire. L'ensemble des paniers abordables : $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$, où $p_i$ sont les prix et $m$ le revenu. La droite de budget a une pente de $-p_1/p_2$ et des intercepts de $m/p_1$ sur l'axe $x_1$ et $m/p_2$ sur l'axe $x_2$.
La pente $-p_1/p_2$ est le taux d'échange du marché : pour acheter une unité supplémentaire du bien 1 (coûtant $p_1$), le consommateur doit renoncer à $p_1/p_2$ unités du bien 2.
Interactif : Explorateur de contrainte budgétaire
Déplacez les curseurs pour modifier les prix et le revenu. Observez la droite de budget pivoter et se déplacer en temps réel.
Budget line: $x_1$-intercept = 30 | $x_2$-intercept = 60 | Slope = −2.00
Le problème du consommateur
Maximisation de l'utilité. Le problème fondamental du consommateur : choisir le panier de biens qui maximise l'utilité sous la contrainte budgétaire. Formellement : $\max U(x_1, x_2)$ sous contrainte $p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq m$.
$$\max_{x_1, x_2} \; U(x_1, x_2) \quad \text{subject to} \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$
(Eq. 6.2)
La méthode du lagrangien
Lagrangien. Une technique mathématique pour résoudre les problèmes d'optimisation sous contrainte. Le lagrangien $\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$ convertit un problème contraint en un problème non contraint en introduisant un multiplicateur $\lambda$ qui valorise la contrainte.
$$\mathcal{L} = U(x_1, x_2) + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$$
(Eq. 6.3)
Le multiplicateur de Lagrange $\lambda$ est l'utilité marginale du revenu — l'augmentation de l'utilité maximale pour un dollar supplémentaire de budget.
Conditions du premier ordre :
$$MU_1 = \lambda p_1, \quad MU_2 = \lambda p_2, \quad p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$$
(Eq. 6.4)
Le consommateur répartit ses dépenses de sorte que l'utilité marginale par dollar soit la même pour les deux biens : $UM_1/p_1 = UM_2/p_2 = \lambda$. En divisant les deux premières conditions :
$$MRS = \frac{MU_1}{MU_2} = \frac{p_1}{p_2}$$
(Eq. 6.5)
Condition de tangence. À l'optimum du consommateur, la courbe d'indifférence est tangente à la droite de budget : $MRS = p_1/p_2$. Le taux auquel le consommateur est disposé à échanger des biens égale le taux auquel le marché lui permet de le faire.
Demande marshallienne
Demande marshallienne (ordinaire). Les quantités optimales en fonction des prix et du revenu : $x_i^*(p_1, p_2, m)$. Ce sont les fonctions de demande qui sous-tendent les courbes de demande du chapitre 2.
Exemple 6.1 — Demande Cobb-Douglas
$U = x_1^{1/2} x_2^{1/2}$. Tangence : $x_2/x_1 = p_1/p_2$, donc $x_2 = (p_1/p_2)x_1$.
En substituant dans la contrainte budgétaire : \$1p_1 x_1 = m$.
Demande marshallienne : $x_1^* = m/(2p_1)$, $x_2^* = m/(2p_2)$.
Le consommateur dépense exactement la moitié de son revenu pour chaque bien — la propriété de part budgétaire constante des préférences Cobb-Douglas.
Interactif : Maximisation de l'utilité et dérivation de la demande
Cette visualisation montre le lien profond : lorsque $p_1$ varie, le panier optimal trace la courbe de demande du bien 1. La courbe de demande EST l'ensemble des points optimaux à différents prix.
Optimal bundle: x₁* = 15.0, x₂* = 30.0 | Utility = 20.1 | MRS = p₁/p₂ = 2.00
Exemple 6.2 — Utilité quasi-linéaire
$U = \ln(x_1) + x_2$. Tangence : \$1/x_1 = p_1/p_2$, donc $x_1^* = p_2/p_1$.
Budget : $x_2^* = m/p_2 - 1$.
La demande pour $x_1$ dépend uniquement du rapport des prix, pas du revenu — la caractéristique de l'utilité quasi-linéaire. Il n'y a pas d'effet de revenu sur le bien 1.
6.3 Effets de revenu et de substitution
Lorsque le prix d'un bien change, deux choses se produisent simultanément :
Effet de substitution. La variation de la quantité demandée due uniquement au changement des prix relatifs, l'utilité étant maintenue constante. L'effet de substitution est toujours négatif : une hausse de prix réduit toujours la quantité demandée compensée.
Effet de revenu. La variation de la quantité demandée due au changement du pouvoir d'achat réel causé par la variation de prix. Pour les biens normaux, une hausse de prix réduit le revenu réel et réduit encore la demande. Pour les biens inférieurs, l'effet de revenu va dans le sens opposé.
- Effet de substitution : Le bien devient relativement moins cher (ou plus cher). Le consommateur se tourne vers le bien moins cher. Cet effet est toujours négatif.
- Effet de revenu : Le changement de prix modifie le pouvoir d'achat réel. Une baisse de prix équivaut à une hausse de revenu. Pour les biens normaux, cela renforce l'effet de substitution. Pour les biens inférieurs, il agit en sens inverse.
L'équation de Slutsky
Équation de Slutsky. La décomposition fondamentale de l'effet total d'un changement de prix en effets de substitution et de revenu : $\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \cdot \partial x_1/\partial m$. Elle montre que la réponse de la demande à un changement de prix dépend de la facilité de substitution et de l'importance du bien dans le budget.
$$\frac{\partial x_1}{\partial p_1} = \underbrace{\frac{\partial x_1^h}{\partial p_1}}_{\text{substitution (−)}} - \underbrace{x_1 \cdot \frac{\partial x_1}{\partial m}}_{\text{revenu (signe variable)}}$$
(Eq. 6.7)
Bien normal (théorie du consommateur). Un bien dont la demande augmente lorsque le revenu augmente ($\partial x/\partial m > 0$). Pour les biens normaux, l'effet de revenu renforce l'effet de substitution, de sorte que la loi de la demande est toujours respectée.
Bien inférieur. Un bien dont la demande diminue lorsque le revenu augmente ($\partial x/\partial m < 0$). Pour les biens inférieurs, l'effet de revenu s'oppose à l'effet de substitution, mais l'effet de substitution domine généralement.
Bien de Giffen. Un bien inférieur extrême pour lequel l'effet de revenu est si important qu'il domine l'effet de substitution, provoquant une augmentation de la demande lorsque le prix augmente. Les biens de Giffen violent la loi de la demande et sont extrêmement rares en pratique.
| Type de bien | Effet de substitution | Effet de revenu | Effet total d'une hausse de prix |
|---|
| Bien normal | − (achète moins) | − (plus pauvre → achète moins) | Sans ambiguïté − |
| Bien inférieur | − (achète moins) | + (plus pauvre → achète plus) | Généralement − |
| Bien de Giffen | − (achète moins) | + (l'effet de revenu domine) | + (la demande augmente) |
Interactif : Effets de revenu et de substitution (décomposition de Hicks)
Faites glisser $p_1$ vers le bas pour voir la baisse de prix décomposée en un effet de substitution (mouvement le long de la courbe d'indifférence initiale) et un effet de revenu (mouvement vers une courbe d'indifférence supérieure).
No price change yet. Slide p₁ below \$1.00 to see the decomposition.
Courbes d'Engel
Courbe d'Engel. La relation entre le revenu et la quantité demandée d'un bien, les prix étant maintenus constants. Pour les biens normaux, la courbe d'Engel est ascendante. Pour les biens inférieurs, elle finit par descendre.
Pour Cobb-Douglas, la courbe d'Engel est une droite passant par l'origine : $x_1 = am/p_1$, linéaire en $m$. La part budgétaire est toujours $a$, quel que soit le revenu.
6.4 Fonctions de production
Fonction de production. Une relation mathématique décrivant la production maximale pouvant être obtenue à partir d'intrants donnés : $Y = f(K, L)$, où $K$ est le capital et $L$ le travail.
Production Cobb-Douglas
$$Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$$
(Eq. 6.8)
où $A > 0$ est la productivité totale des facteurs et $\alpha \in (0,1)$ est l'élasticité de la production par rapport au capital.
Produits marginaux : $PM_K = \alpha Y/K$, $PM_L = (1-\alpha)Y/L$. Les deux sont positifs et décroissants.
Isoquantes et TMST
Isoquante. L'ensemble des combinaisons d'intrants produisant le même niveau de production : $\{(K, L) : f(K,L) = \bar{Y}\}$. Les isoquantes sont l'analogue en production des courbes d'indifférence.
Taux marginal de substitution technique (TMST). Le taux auquel une entreprise peut substituer un intrant à un autre tout en maintenant la production constante — la (négative de la) pente de l'isoquante. $MRTS_{LK} = MP_L/MP_K$.
$$MRTS_{LK} = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{(1-\alpha)K}{\alpha L}$$
(Eq. 6.9)
Rendements d'échelle
Rendements d'échelle. Comment la production change lorsque tous les intrants sont multipliés par le même facteur. Rendements d'échelle constants (CRS) : la production varie proportionnellement. Rendements d'échelle croissants (IRS) : la production augmente plus que proportionnellement (économies d'échelle). Rendements d'échelle décroissants (DRS) : la production augmente moins que proportionnellement (déséconomies d'échelle).
| Type | Condition | Signification |
|---|
| CRS | $f(tK,tL) = tY$ | Doubler les intrants double la production |
| IRS | $f(tK,tL) > tY$ | Doubler les intrants plus que double la production |
| DRS | $f(tK,tL) < tY$ | Doubler les intrants moins que double la production |
Exemple 6.3 — Rendements d'échelle
$Y = K^{0.3}L^{0.8}$ : $f(tK,tL) = t^{1.1}Y$. Puisque \$1.1 > 1$ : rendements d'échelle croissants.
6.5 Minimisation des coûts
Minimisation des coûts. Le problème de l'entreprise consistant à choisir la combinaison d'intrants qui produit un niveau de production donné au coût total le plus bas : $\min wL + rK$ sous contrainte $f(K,L) = \bar{Y}$.
$$\min_{K, L} \; wL + rK \quad \text{sous contrainte} \quad f(K,L) = \bar{Y}$$
(Eq. 6.10)
Droite d'isocoût. Toutes les combinaisons de $K$ et $L$ qui coûtent le même montant : $C = wL + rK$. Pente : $-w/r$.
La condition de minimisation des coûts (à partir des CPO du lagrangien) :
$$MRTS = \frac{MP_L}{MP_K} = \frac{w}{r}$$
(Eq. 6.11)
Cela correspond parfaitement au $TMS = p_1/p_2$ du consommateur.
Interactif : Minimisation des coûts isoquante/isocoût
L'entreprise choisit les intrants pour minimiser les coûts. Ajustez les prix des facteurs et observez la droite d'isocoût pivoter et le rapport $K/L$ optimal changer.
Cost minimum: L* = 141.4, K* = 70.7 | K/L = 0.50 | TC = \$1,828
Exemple 6.4 — Minimisation des coûts
$Y = K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 10$, $r = 20$. Produire $\bar{Y} = 100$.
$TMST = K/L = w/r = 0.5$, donc $K = 0.5L$.
$(0.5L)^{0.5} \cdot L^{0.5} = 100 \Rightarrow L^* = 141.4$, $K^* = 70.7$.
$CT = 10(141.4) + 20(70.7) = \\$1{,}828$. Le travail étant moins cher, l'entreprise utilise plus de travail que de capital.
6.6 Courbes de coûts
Court terme vs. long terme
À court terme, au moins un intrant est fixe (typiquement le capital : $K = \bar{K}$). À long terme, tous les intrants sont variables.
Fonctions de coûts de court terme
Coût fixe (CF). Le coût des intrants qui ne peuvent pas être ajustés à court terme (par ex. loyer, crédit-bail d'équipement). Les coûts fixes ne varient pas avec le niveau de production.
Coût variable (CV). Le coût des intrants qui varient avec le niveau de production (par ex. travail, matières premières). Le coût variable augmente à mesure que l'entreprise produit davantage.
Coût marginal (Cm). Le coût supplémentaire de production d'une unité de plus : $MC = dTC/dQ$. Le coût marginal diminue généralement d'abord (rendements croissants de l'intrant variable), puis augmente (rendements décroissants).
Coût moyen (CM). Le coût total par unité de production : $AC = TC/Q = AFC + AVC$. La courbe AC est en forme de U, atteignant son minimum là où $MC = AC$.
Coût variable moyen (CVM). Le coût variable par unité de production : $AVC = VC/Q$. La courbe AVC est également en forme de U. Son minimum est le seuil de fermeture — le prix le plus bas auquel l'entreprise est prête à produire à court terme.
Seuil de fermeture. Le niveau de production (et le prix correspondant) auquel le prix égale le minimum du coût variable moyen ($P = AVC_{min}$). En dessous de ce prix, l'entreprise perd plus en produisant qu'en fermant complètement, car les recettes ne couvrent même pas les coûts variables.
Échelle minimale d'efficience. Le plus petit niveau de production auquel le coût moyen de long terme atteint son minimum. Les entreprises opérant en dessous de cette échelle ont des coûts unitaires plus élevés et sont désavantagées sur le plan concurrentiel.
| Concept de coût | Symbole | Définition |
|---|
| Coût fixe | $CF$ | Coût des intrants fixes ($r\bar{K}$) |
| Coût variable | $CV$ | Coût des intrants variables ($wL(Q)$) |
| Coût total | $CT$ | $CF + CV$ |
| Coût marginal | $Cm$ | $dCT/dQ$ |
| Coût total moyen | $CM$ | $CT/Q$ |
| Coût variable moyen | $CVM$ | $CV/Q$ |
| Coût fixe moyen | $CFM$ | $CF/Q$ (toujours décroissant) |
Relations clés :
- $CM = CVM + CFM$. Puisque $CFM$ décline toujours, $CM$ et $CVM$ convergent à production élevée.
- Le Cm intersecte le CM au minimum du CM. Quand $Cm < CM$, produire une unité de plus tire la moyenne vers le bas. Quand $Cm > CM$, cela tire la moyenne vers le haut.
- Le seuil de fermeture est où $P = CVM_{min}$. En dessous, l'entreprise ferme.
Interactif : Courbes de coûts et profit
L'entreprise a $CT = 50 + 2Q + 0.05Q^2$. Ajustez le prix du marché pour voir la production maximisant le profit et si l'entreprise réalise un profit ou une perte.
At P = \$1.00: Q* = 60 | TR = \$180 | TC = \$150 | Profit = \$130
Coût moyen de long terme
À long terme, l'entreprise peut choisir n'importe quel niveau de capital. La courbe de coût moyen de long terme (CMLT) est l'enveloppe de toutes les courbes de CM de court terme — chacune correspondant à un niveau de capital fixe différent.
Pourquoi la CMLT est typiquement en forme de U :
- À faible production : économies d'échelle (CMLT décroissant) — répartition des coûts fixes, spécialisation, achats en gros.
- À production moyenne : rendements constants — le fond plat du U.
- À production élevée : déséconomies d'échelle (CMLT croissant) — coûts de coordination, problèmes de contrôle, rigidité.
Le niveau de production au bas de la CMLT est l'échelle minimale d'efficience (EME) — la plus petite production pour laquelle la CMLT est minimisée.
Interactif : Coût moyen de court terme vs. long terme
Chaque courbe de CM de court terme correspond à un niveau de capital différent. Faites glisser le curseur pour mettre en évidence une courbe CMCT spécifique et voir comment elle se rapporte à l'enveloppe CMLT.
Capital K\u0304 = 3: SRAC minimum at Q = 47, AC = \$1.32 | MES at Q ≈ 60
6.7 Maximisation du profit
Maximisation du profit. L'objectif de l'entreprise : choisir la production pour maximiser le profit $\Pi = P \cdot Q - TC(Q)$. Pour une entreprise concurrentielle (preneuse de prix), la condition du premier ordre donne $P = MC$ — produire là où le prix égale le coût marginal.
$$\max_Q \; \Pi = P \cdot Q - TC(Q)$$
(Eq. 6.12)
Condition du premier ordre :
$$P = MC(Q)$$
(Eq. 6.13)
La règle de maximisation du profit : produire là où le prix égale le coût marginal. L'entreprise doit continuer à produire tant que la recette d'une unité supplémentaire ($P$) dépasse le coût ($Cm$). La courbe d'offre de l'entreprise est la portion de sa courbe de Cm au-dessus de $CVM_{min}$.
Pourquoi $P = Cm$ est la courbe d'offre — le lien profond. Au chapitre 2, nous avons tracé la courbe d'offre comme croissante. Maintenant nous voyons d'où elle vient : c'est la courbe de coût marginal de l'entreprise. La courbe d'offre est croissante parce que le coût marginal est croissant — non pas parce que nous l'avons supposé, mais parce que cela découle des rendements marginaux décroissants.
Exemple 6.5 — Maximisation du profit
$CT = 50 + 2Q + 0.5Q^2$. À $P = 12$ : $P = Cm$ donne \$12 = 2 + Q$, donc $Q^* = 10$.
$\Pi = 12(10) - [50 + 20 + 50] = 0$. Profit économique nul — l'équilibre concurrentiel de long terme.
Exemple 6.6 — Maximisation du profit à partir de la fonction de production
Une entreprise concurrentielle a une fonction de production $Y = 10L^{0.5}$, fait face à un salaire $w = 20$ et un prix de production $P = 8$.
Étape 1 — Trouver la fonction de profit. Recette : $R = PY = 8 \times 10L^{0.5} = 80L^{0.5}$. Coût : $C = wL = 20L$. Profit : $\Pi = 80L^{0.5} - 20L$.
Étape 2 — CPO. $d\Pi/dL = 40L^{-0.5} - 20 = 0 \implies L^{-0.5} = 0.5 \implies L^* = 4$.
Étape 3 — Calculer la production et le profit. $Y^* = 10(4)^{0.5} = 20$. Recette = \$1 \times 20 = 160$. Coût = \$10 \times 4 = 80$. Profit = \$10.
Vérification : $P \times PM_L = w$ à l'optimum : \$1 \times 10 \times 0.5 \times 4^{-0.5} = 8 \times 2.5 = 20 = w$. ✓
6.8 La courbe d'offre de l'entreprise
- Offre de court terme : courbe de Cm pour $P \geq CVM_{min}$. En dessous, $Q = 0$ (fermeture).
- Offre de long terme : courbe de Cm de long terme pour $P \geq CMLT_{min}$. En dessous, sortie du marché.
- Offre du marché : somme horizontale des courbes d'offre de toutes les entreprises. La libre entrée/sortie conduit $P \to CMLT_{min}$.
Fil conducteur : L'entreprise de Maya
Le stand de limonade de Maya — L'analyse complète des coûts
Structure des coûts : $CF = \\$10$/jour (location du stand). Matériaux : $\\$1.50$/tasse. Travail de Maya : 10 tasses/heure au coût d'opportunité de $\\$15$/h, soit $\\$1.50$/tasse.
$CT = 20 + 3Q$, $Cm = 3$, $CVM = 3$, $CM = 20/Q + 3$.
Du chapitre 2 : $P^* = \\$1.75$. Mais $Cm = \\$1.00 > P^*$. Maya ne devrait pas exploiter son stand. Chaque tasse perd $\\$1.25$.
Cependant, si l'on exclut son coût d'opportunité (profit comptable uniquement), $CVM_{matériaux} = \\$1.50$, et $P = 2.75 > 1.50$. Elle gagne $\\$16.25$/jour en profit comptable mais $-\\$13.75$/jour en profit économique. L'économiste dit : Maya, votre temps vaut $\\$120$/jour à la librairie.
Résumé
- Théorie du consommateur : Le consommateur maximise $U(x_1, x_2)$ sous la contrainte $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$. La condition de tangence $MRS = p_1/p_2$ signifie que la disposition à échanger du consommateur égale le taux du marché.
- La demande marshallienne donne les quantités optimales en fonction des prix et du revenu. Pour Cobb-Douglas, les parts budgétaires sont constantes. Pour la quasi-linéaire, il n'y a pas d'effet revenu sur le bien 1.
- L'équation de Slutsky décompose les effets-prix en un effet de substitution (toujours négatif) et un effet de revenu (signe selon bien normal ou inférieur). Les biens de Giffen nécessitent un effet de revenu dominant.
- Les fonctions de production associent les intrants à la production. Rendements d'échelle : constants, croissants ou décroissants.
- La minimisation des coûts requiert $TMST = w/r$, parallèlement au $TMS = p_1/p_2$ du consommateur.
- Courbes de coût à court terme : le Cm croise le CM et le CVM à leurs minima. Seuil de fermeture : $P = CVM_{min}$.
- Maximisation du profit : $P = Cm$. La courbe d'offre de la firme est la courbe de Cm au-dessus du seuil de fermeture.
- Le profit économique (incluant le coût d'opportunité) vs. le profit comptable (l'excluant) détermine si une firme devrait opérer.
Équations clés
| Libellé | Équation | Description |
|---|
| Éq. 6.1 | $MRS = MU_1/MU_2$ | Taux marginal de substitution |
| Éq. 6.2 | $\max U(x_1,x_2)$ s.c. $p_1 x_1 + p_2 x_2 = m$ | Problème du consommateur |
| Éq. 6.3 | $\mathcal{L} = U + \lambda(m - p_1 x_1 - p_2 x_2)$ | Lagrangien |
| Éq. 6.4 | FOCs: $MU_i = \lambda p_i$; budget binds | Conditions du premier ordre |
| Éq. 6.5 | $MRS = p_1/p_2$ | Condition de tangence |
| Éq. 6.6 | $x_i^* = a_i m / p_i$ | Demande marshallienne Cobb-Douglas |
| Éq. 6.7 | $\partial x_1/\partial p_1 = \partial x_1^h/\partial p_1 - x_1 \partial x_1/\partial m$ | Équation de Slutsky |
| Éq. 6.8 | $Y = AK^\alpha L^{1-\alpha}$ | Fonction de production Cobb-Douglas |
| Éq. 6.9 | $MRTS = MP_L/MP_K$ | Taux marginal de substitution technique |
| Éq. 6.10 | $\min wL + rK$ s.c. $f(K,L) = \bar{Y}$ | Problème de minimisation des coûts |
| Éq. 6.11 | $MRTS = w/r$ | Rapport d'intrants minimisant les coûts |
| Éq. 6.12 | $\max \Pi = PQ - TC(Q)$ | Maximisation du profit |
| Éq. 6.13 | $P = MC$ | Règle de production maximisant le profit |
Exercices
Pratique
- Un consommateur a une utilité $U = x_1^{1/3} x_2^{2/3}$, prix $p_1 = 4$, $p_2 = 2$, revenu $m = 120$. (a) Écrivez le lagrangien. (b) Dérivez la condition de tangence. (c) Résolvez pour la demande marshallienne des deux biens. (d) Calculez le panier optimal et vérifiez qu'il satisfait la contrainte budgétaire.
- Un consommateur a une utilité quasi-linéaire $U = 2\sqrt{x_1} + x_2$, $p_1 = 1$, $p_2 = 1$, $m = 10$. (a) Résolvez pour la consommation optimale. (b) Quelle est l'élasticité-revenu de la demande pour $x_1$ ? (c) Que se passe-t-il pour $x_1^*$ si le revenu double ?
- Une entreprise a une fonction de production $Y = 4K^{0.5}L^{0.5}$, $w = 8$, $r = 2$. (a) Trouvez la combinaison d'intrants minimisant les coûts pour produire $Y = 40$. (b) Quel est le coût total ? (c) Si $w$ doublait, comment le rapport optimal $K/L$ changerait-il ?
- Une entreprise concurrentielle a $CT = 100 + 5Q + Q^2$. (a) Dérivez Cm, CM et CVM. (b) Trouvez le seuil de fermeture. (c) À $P = 25$, trouvez la production maximisant le profit et le profit. (d) À $P = 5$, l'entreprise devrait-elle produire ou fermer ?
- Classifiez les rendements d'échelle : (a) $Y = 3K + 2L$, (b) $Y = K^{0.4}L^{0.4}$, (c) $Y = (KL)^{0.6}$, (d) $Y = \min(2K, 3L)$.
Application
- Pour une utilité Cobb-Douglas $U = x_1^a x_2^{1-a}$, dérivez les demandes marshalliennes et montrez que le consommateur dépense toujours la fraction $a$ pour le bien 1. Puis utilisez $V = \ln U$ et montrez que les mêmes demandes émergent. Que confirme cela sur l'ordinalité ?
- Une baisse de prix du bien 1 conduit un consommateur à acheter moins du bien 1. (a) Est-ce irrationnel ? (b) De quel type de bien s'agit-il nécessairement ? (c) Quelles conditions sont nécessaires ? (d) Pourquoi les biens de Giffen sont-ils si rares ?
- Une entreprise peut produire avec la technologie A ($CT_A = 100 + 2Q$) ou la technologie B ($CT_B = 10 + 5Q$). (a) Pour quels niveaux de production chacune est-elle moins chère ? (b) Qu'est-ce que cela implique pour la taille de l'entreprise et le choix technologique ?
- Dérivez la courbe d'offre de court terme pour une entreprise avec $CT = 50 + Q^2/2$. Tracez-la, indiquez le prix de fermeture et hachurez le profit à $P = 10$.
- En utilisant $Y = K^{0.3}L^{0.7}$ avec $w = 14$, $r = 6$ : (a) Trouvez le rapport $K/L$ minimisant les coûts. (b) Dérivez $CT(Y)$. (c) Quels sont les rendements d'échelle ?
Défi
- Prouvez que pour une utilité Cobb-Douglas $U = x_1^a x_2^{1-a}$, la fonction d'utilité indirecte est $V(p_1, p_2, m) = m \cdot (a/p_1)^a \cdot ((1-a)/p_2)^{1-a}$. Puis vérifiez l'identité de Roy : $x_1^* = -(\partial V/\partial p_1)/(\partial V/\partial m)$.
- Montrez qu'une entreprise maximisant son profit avec une production Cobb-Douglas à rendements constants réalise un profit économique nul à l'équilibre de long terme. (Indice : théorème d'Euler.) Pourquoi les rendements croissants posent-ils un problème pour les marchés concurrentiels ?
- La demande d'un consommateur pour le bien 1 est $x_1 = m/p_1 - p_2$. (a) Est-elle homogène de degré zéro ? (b) Satisfait-elle la symétrie de Slutsky ? (c) Peut-elle être générée par la maximisation de l'utilité ?