"每一个亿万富翁都是政策失败"，一句爆红的口号，由Dan Riffle与AOC办公室推广
Dan Riffle，AOC此前的政策助理，把这句话变成了社交媒体上的口头禅：转发数以百万计，印上T恤，在集会上被高呼。主张十分尖锐：亿万富翁的存在不是因为他们创造了非凡的价值，而是因为体制坏了，税收漏洞、垄断势力、被操纵的规则。刚刚证明的第一福利定理给出了精确检验它的工具：极端的财富集中究竟是市场在正常运转，只是我们不喜欢那个禀赋分配，还是市场在失灵，效率并未实现？
高级第5章通过效用最大化和拉格朗日乘数法介绍了消费者理论。本章抛弃特定函数形式的拐杖，从公理化基础构建理论。我们要问：什么时候偏好可以用效用函数表示？需求函数必须满足什么性质？在什么条件下竞争性市场体系能有效配置资源？
方法上的转变是从计算到证明。第二部分求解最优化问题。第三部分证明定理，确定哪些结果是稳健的，哪些依赖于特殊假设。
先修知识：第6–7章。数学先修：实分析基础，包括开集与闭集、连续性和不动点定理，另加凸分析与矩阵代数。见附录A。
标准公理：
证明概要。固定一条射线 $\{te : t \geq 0\}$，其中 $e = (1,1,\ldots,1)$。对每个 $x$，由完备性和连续性，存在唯一的 $t(x) \geq 0$ 使得 $x \sim t(x)e$。令 $u(x) = t(x)$。传递性确保表示的一致性；连续性确保 $u$ 是连续的。
这说明了什么：若偏好从不自相矛盾，也不出现跳跃，就可以用附着在每个商品束上的一个数来概括，这个数就是效用。德布鲁定理保证这样的概括确实存在：给每个商品束指定固定参照线上与之无差异的那一点，由此得到一个前后一致的评分。
为什么这很重要：这意味着经济学家不必假设效用函数存在，而是从三条关于选择的朴素条件中把它推导出来。下游的一切，包括需求、福利定理与机制设计，都依赖这一保证。没有表示，就没有可供最大化的目标。
有什么变化：去掉连续性，这一保证就失效：字典序偏好永远偏好更多的商品1，只在商品1相同时才用商品2来打破平局，它完备且传递，却会跳跃，因此没有连续的效用数值能跟踪它。连续性正是排除这类跳跃的条件。
在完整模式下，定理与证明概要从一条参照射线出发，显式地构造出效用数值。效用函数是序数的，任何单调变换 $v = g(u)$（$g' > 0$）都表示相同的偏好。效用差异的大小这类基数性质是无意义的。
考虑 $\mathbb{R}^2_+$ 上的字典序偏好：$x \succ y$ 如果 $x_1 > y_1$，或 $x_1 = y_1$ 且 $x_2 > y_2$。
完备性：满足。对任意 $x, y$，要么 $x_1 > y_1$，要么 $y_1 > x_1$，或 $x_1 = y_1$ 然后比较 $x_2, y_2$。
传递性：满足。如果 $x \succ y$ 且 $y \succ z$，则 $x \succ z$（由 $\mathbb{R}$ 上 $>$ 的传递性得出）。
连续性：不满足。考虑 $y = (1, 1)$。集合 $\{x : x \succ y\}$ 包含 $(1, 1.5)$ 但不包含 $(0.999, 100)$。"至少一样好"的集合不是闭的，在 $x_1 = 1$ 处有跳跃。
结论：不存在连续效用函数能表示字典序偏好。这说明连续性对德布鲁效用表示定理至关重要。
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我们可以从观察到的选择推断偏好，而非假设偏好。
形式地：如果 $x$ 被显示偏好于 $y$（$xRy$：在 $y$ 可负担的价格下选择了 $x$），则 $y$ 不被显示偏好于 $x$。
SARP是观察到的选择与效用最大化一致的充要条件（阿弗里亚特定理）。WARP是必要的但一般不充分，只有在两种商品时才充分。
一个消费者在两种价格-收入情况下的选择：
| 情况 | 价格 $(p_1, p_2)$ | 选择的组合 $(x_1, x_2)$ | 支出 |
|---|---|---|---|
| A | (1, 2) | (4, 2) | 8 |
| B | (2, 1) | (2, 4) | 8 |
检验WARP：在价格A下，消费者能否负担得起组合B？$1(2) + 2(4) = 10 > 8$。不能。在价格B下，消费者能否负担得起组合A？$1(4) + 1(2) = 10 > 8$。不能。WARP满足，数据与效用最大化一致。
输入最多6组观测的价格向量和选择的商品束。检查器将自动测试WARP和SARP。
| 观测 | $p_1$ | $p_2$ | $x_1$ | $x_2$ | 支出 |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 8.0 | ||||
| 2 | 8.0 | ||||
| 3 | 6.0 | ||||
| 4 | — | ||||
| 5 | — | ||||
| 6 | — |
互动 11.1。输入价格-组合观测值并检验显示性偏好的一致性。WARP检查直接的成对反转；SARP检查任意长度的循环。违反情况会被高亮并附解释。
第5章解决了原始问题：在预算约束下最大化效用。对偶问题是最小化支出以达到目标效用水平。
解是希克斯（补偿）需求 $h(p, \bar{u})$：
间接效用函数 $V(p, m)$ 给出在价格 $p$ 和收入 $m$ 下可达到的最大效用：
$$V(p, m) = \max_{x} \; u(x) \quad \text{s.t.} \quad p \cdot x \leq m$$关键的对偶关系：
罗伊恒等式提供了从间接效用函数推导马歇尔需求的捷径：
这说明了什么：从相反的两侧问同一个问题，会掉出两条捷径。谢帕德引理：某种商品涨价时，维持既定满足水平所需的最低支出会上升，上升的幅度正好等于原先购买的该商品数量，于是需求曲线不过是"维持满足水平的成本"这个函数的斜率。罗伊恒等式：对某种商品的需求，就是它涨价时可负担的最高满足水平下降的速度，再除以多一元钱本来能带来的好处。
为什么这很重要：求需求只需对一个函数求导，不必从头重解一次最优化问题。成本最小化与效用最大化是同一个选择的两种看法，解出其中一个就等于白得另一个。这种对偶性是福利测度以及随后的斯勒茨基分解的动力来源。
有什么变化：提高一个价格，两条捷径给出同一方向的结论：谢帕德说，沿着效用不变的路径，会从变贵的那种商品上替代开去；罗伊说，可达到的福利下降幅度大致等于原先购买的数量。某种商品买得越多，它涨价时你就越吃亏。
在完整模式下，公式11.2和11.6把谢帕德引理与罗伊恒等式表述为支出函数和间接效用函数的导数。罗伊恒等式的直觉：$p_i$ 的微小增加对福利（以 $V$ 衡量）有两个效应：（1）使商品 $i$ 更贵从而直接降低效用（分子 $\partial V/\partial p_i < 0$），（2）这一效应的大小与消费者购买商品 $i$ 的数量（$x_i$）乘以收入的边际效用（$\partial V/\partial m$）成正比。将（1）除以收入的边际效用得到商品 $i$ 的数量。
CES效用：$u(x_1, x_2) = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$，$\rho < 1$，$\rho \neq 0$。
支出函数为：$e(p, \bar{u}) = \bar{u} \cdot (p_1^r + p_2^r)^{1/r}$，其中 $r = \rho/(\rho - 1)$。
希克斯需求（谢帕德引理）：$h_i = \bar{u} \cdot p_i^{r-1} / (p_1^r + p_2^r)^{(r-1)/r}$。
当 $\rho \to 0$（替代弹性 $\sigma = 1/(1-\rho) \to 1$）时，收敛到柯布-道格拉斯的情形。
柯布-道格拉斯效用 $u = x_1^{0.5} x_2^{0.5}$，收入 $m = 10$。滑动 $p_1$ 观察预算线切点、马歇尔需求和支出函数三种表述如何编码相同的信息。
互动 11.2。同一消费者的三个视角。左：原始问题下无差异曲线与预算线相切。中：商品1的马歇尔需求关于 $p_1$ 的函数。右：达到当前效用水平所需的支出函数 $e(p_1, p_2, \bar{u})$。三者编码相同的偏好。
第5章的斯勒茨基方程（公式6.7）推广为矩阵。定义斯勒茨基（替代）矩阵，其元素为：
如果需求由效用最大化产生，斯勒茨基矩阵必须是：
这说明了什么：斯勒茨基矩阵记下了关于替代的两件事。第一，交叉效应是对称的：商品A的补偿需求对商品B价格的反应，正好等于B的补偿需求对A价格的反应。第二，自身替代效应从不走反方向，提高一种商品的价格并保持满足水平不变，购买量只会弱减少，绝不会增加。"对称且负半定"说的全部就是这个。
为什么这很重要：这两个事实是可检验的。分析者从真实数据估计出的需求系统，要么满足它们，要么不满足。若不满足，就没有任何理性的、追求效用最大化的消费者能产生这样的数据。这个矩阵把"人们最大化效用"这个抽象主张，变成观察到的购买行为中一种可核对的模式。
有什么变化：反过来看就是可积性定理：如果一个需求系统确实满足对称性、负半定性、零次齐次性和预算耗尽，那么必定存在某个效用函数产生了它。这些限制不只是必要的，它们足以从选择中重建偏好。
在完整模式下，公式11.7给出矩阵的定义，所列性质则形式化地陈述对称性、负半定性与齐次性。这些是可检验的限制。观察到的需求一旦违反它们，就不可能出自理性消费者对性质良好效用函数的最大化。
柯布-道格拉斯需求：$x_1 = am/p_1$，$x_2 = (1-a)m/p_2$。
$S_{12} = \partial x_1/\partial p_2 + x_2 \cdot \partial x_1/\partial m = 0 + [(1-a)m/p_2] \cdot [a/p_1] = a(1-a)m/(p_1 p_2)$
$S_{21} = \partial x_2/\partial p_1 + x_1 \cdot \partial x_2/\partial m = 0 + [am/p_1] \cdot [(1-a)/p_2] = a(1-a)m/(p_1 p_2)$
$S_{12} = S_{21}$ ✓
调整商品1的价格，观察马歇尔需求、希克斯（补偿）需求和收入效应如何响应。使用柯布-道格拉斯效用 $u(x_1,x_2)=x_1^a x_2^{1-a}$，$a=0.6$，$p_2=3$，$m=120$。
图 11.2.左：商品空间中的斯勒茨基分解。原始组合（蓝色）、补偿组合（橙色，在新价格下位于原无差异曲线上）和新组合（绿色）。替代效应从蓝色移至橙色；收入效应从橙色移至绿色。右：$S_{11}$ 和 $S_{12}$ 随 $p_1$ 变化的斯勒茨基矩阵项，确认半负定性（$S_{11} \leq 0$）和对称性。
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考虑一个有 $I$ 个消费者和 $L$ 种商品的经济。消费者 $i$ 拥有禀赋 $\omega_i \in \mathbb{R}^L_+$ 和偏好 $\succsim_i$。
在价格 $p$ 下，消费者 $i$ 的财富为 $m_i = p \cdot \omega_i$。她的需求为 $x_i(p, m_i)$。
总超额需求：
均衡要求 $z(p^*) = 0$。
含义：（1）如果 $L - 1$ 个市场出清，第 $L$ 个自动出清。（2）只有相对价格重要，因此可以把其中一种商品的价格标准化为1，称为计价物。
证明策略（概要）。将价格标准化到单位单纯形 $\Delta$。定义价格调整映射 $f: \Delta \to \Delta$，提高超额需求商品的价格。由布劳威尔不动点定理，$f$ 有不动点 $p^*$。在不动点处，$z(p^*) = 0$，所有市场同时出清。
一般均衡是边际主义纲领在形式上的完成：价值一经彻底形式化，就成了均衡价格向量。这条思想谱系，从瓦尔拉斯1874年的构想一直到阿罗—德布鲁的存在性证明，见经济思想史第5章（边际革命与新古典经济学的诞生）。
对于2消费者、2商品经济，埃奇沃思盒提供完整的可视化。盒的尺寸等于总禀赋。消费者1的原点在左下角，消费者2的在右上角。盒中每一点都是一个可行配置。
两个具有柯布-道格拉斯偏好的消费者。拖动禀赋点，探索瓦尔拉斯均衡、契约曲线和核心如何变化。
图 11.1（互动）。埃奇沃思盒。橙色点是禀赋。绿色点是瓦尔拉斯均衡。红色曲线是契约曲线，即所有帕累托有效配置。阴影核区域显示两个消费者都优于禀赋的配置。预算线通过禀赋点，斜率为 $-p_x/p_y$。
消费者1：$u_1 = x_1^{1/2}y_1^{1/2}$，禀赋 $(4, 0)$。消费者2：$u_2 = x_2^{1/2}y_2^{1/2}$，禀赋 $(0, 4)$。
市场出清给出 $p_x = p_y$，均衡配置为 $x_1^* = y_1^* = 2$，$x_2^* = y_2^* = 2$。
每个消费者用一半禀赋交换另一种商品，最终拥有等量的两种商品。
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证明。我们用反证法。假设在价格 $p^*$ 下的瓦尔拉斯均衡配置 $x^*$ 不是帕累托最优的。则存在一个可行配置 $x'$，使所有人至少一样好而某人严格更好。
第1步。对于严格更好的消费者 $j$：由于 $x_j^*$ 是效用最大化的且 $x_j'$ 严格优于它，$x_j'$ 必定是不可负担的：$p^* \cdot x_j' > p^* \cdot \omega_j$。
第2步。对每个消费者 $i$：由局部非饱和性，$p^* \cdot x_i' \geq p^* \cdot \omega_i$。
第3步。求和：$\sum_i p^* \cdot x_i' > \sum_i p^* \cdot \omega_i$。
第4步。但可行性要求 $\sum_i x_i' = \sum_i \omega_i$，给出 $\sum_i p^* \cdot x_i' = \sum_i p^* \cdot \omega_i$。矛盾。$\square$
这说明了什么：假设市场结果可以重新安排，使某个人变好而无人变差。这个走运的人现在持有的商品束，比他在均衡时买到的那一束更受他偏好，可是若他更偏好它又买得起，他早就买了。他没有买，所以那一束当时必定买不起。把所有人的支出加总起来，这个"改进后"的配置比经济实际拥有的还要贵。不可能。所以这样的改进并不存在：均衡已经是有效率的。
为什么这很重要：这是亚当·斯密看不见的手的精确表述。自利的交易者各自只管自己的预算，最终却落在一个配置上，任何中央计划者都无法在不让某人变差的前提下改进它。证明既不需要仁慈，也不需要协调，只需要所有人共同面对的价格。
有什么变化：整个论证只靠两件事：人们不会放着到手的好处不拿（局部非饱和性），并且花光全部预算。一旦共同价格这个假设被打破，比如出现市场势力、外部性、市场缺失、私人信息，"他本来买得起"这一步就不成立了。真实市场恰恰在这里不再有效率。
在完整模式下，四步证明从预算耗尽与可行性推出矛盾。该证明只使用了局部非饱和性和预算耗尽。它不需要凸性、可微性或任何特定函数形式。这种一般性是该定理强大的原因。
解释。第一福利定理是亚当·斯密"看不见的手"的正式表述。竞争市场产生的配置，任何重新安排都无法在不使某人变差的情况下改善。但完全市场、价格接受、无外部性、无公共物品、完全信息这些假设条件，恰好界定了看不见的手失效的情形。
消费者1：$u_1 = x_1^{1/2}y_1^{1/2}$，禀赋 $(4, 0)$。消费者2：$u_2 = x_2^{1/2}y_2^{1/2}$，禀赋 $(0, 4)$。
由例11.4，均衡为 $x_1^* = y_1^* = x_2^* = y_2^* = 2$，$p_x = p_y$。
检验帕累托最优性：在均衡处，$MRS_1 = y_1/x_1 = 1$ 且 $MRS_2 = y_2/x_2 = 1$。由于 $MRS_1 = MRS_2 = p_x/p_y$，无差异曲线相切，配置在契约曲线上。
验证不存在帕累托改进：任何给消费者1更多商品 $x$ 的重新配置（比如 $x_1 = 3$）要求 $x_2 = 1$。则 $u_1 = \sqrt{3 \cdot y_1}$ 且 $u_2 = \sqrt{1 \cdot y_2}$，其中 $y_1 + y_2 = 4$。要使消费者1获益（$u_1 > \sqrt{4} = 2$），需要 $1y_1 > 4$，即 $y_1 > 4/3$，则 $y_2 < 8/3$，给出 $u_2 = \sqrt{8/3} < 2 = u_2^*$。消费者2境况变差。不存在帕累托改进。
瓦尔拉斯均衡位于契约曲线上，是帕累托有效的。切换"帕累托改进？"以验证：在均衡处，两个消费者都能获益的透镜形区域为空。在禀赋点处则不是。
互动 11.3。在均衡视图和禀赋视图之间切换：前者不存在帕累托改进，后者用阴影透镜显示互利交易。均衡在契约曲线上的位置直观地证明了效率。
Dan Riffle，AOC此前的政策助理，把这句话变成了社交媒体上的口头禅：转发数以百万计，印上T恤，在集会上被高呼。主张十分尖锐：亿万富翁的存在不是因为他们创造了非凡的价值，而是因为体制坏了，税收漏洞、垄断势力、被操纵的规则。刚刚证明的第一福利定理给出了精确检验它的工具：极端的财富集中究竟是市场在正常运转，只是我们不喜欢那个禀赋分配，还是市场在失灵，效率并未实现？
高级这说明了什么：挑出任何一个想要的有效结果，公平的、平等的，或者别的什么合意而又不浪费任何东西的分割。第二福利定理说，市场可以到达那里。办法不是去干预价格，而是先把起始禀赋分配对，再让竞争性交易自行运转，均衡会完成剩下的事。
为什么这很重要：它似乎把人们通常纠缠在一起的两个问题分开了：蛋糕做多大（效率）和蛋糕怎么切（公平）。原则上两者可以兼得，先选定想要的分配，再保留市场的全部效率。政治上的左派和右派，在纸面上都能从同一套机制里得到自己想要的东西。
有什么变化：凸性假设背后藏着的那个坎，是"一次性"这三个字。要达到选定的分割，转移必须不扭曲任何人的选择，这意味着政府必须在不观察行为的情况下就已经知道每个人的类型。真实世界的税收，无论所得税、财富税还是资本利得税，都对行为作出反应，因而都有扭曲。干净的分离在模型里成立，在实践中够不着。
在完整模式下，定理陈述精确地写明凸性条件和一次性转移这一要求。解释。第二福利定理说效率与公平是可分离的问题。社会可以通过两个步骤选择任何帕累托有效分配：
然后市场将产生一个既有效、又达到期望分配的竞争性均衡，效率由第一福利定理保证。
为什么对政策重要。不要为了实现公平而扭曲市场，那会牺牲效率。相反，使用一次性转移进行再分配，然后让市场运作。右派含义：让市场自由运行。左派含义：想怎么再分配就怎么再分配。两者可以同时实现，至少在理论上。
为什么在实践中失败。一次性转移需要政府不掌握的关于个人类型的信息。现实世界的再分配使用所得税、资本利得税、财富税这类扭曲性税收，它们改变激励并产生无谓损失。这一信息问题是机制设计（第12章）和最优税收（第16章）的主题。
在大型经济中，核配置集，也就是没有任何联盟能改善的那些配置，会收缩到瓦尔拉斯均衡配置集。这就是核等价定理，竞争性均衡是经受住所有可能联盟竞争的唯一结果。
我们将玛雅的柠檬水市场建模为2消费者、2商品的埃奇沃思盒交换经济。
设定：玛雅和亚历克斯。两种商品：柠檬水（$L$）和饼干（$C$）。玛雅初始拥有45杯柠檬水和0块饼干。亚历克斯初始拥有0杯柠檬水和40块饼干。
偏好：$u_M = L_M^{0.5}C_M^{0.5}$，$u_A = L_A^{0.3}C_A^{0.7}$。
市场出清给出 $p_L/p_C = 8/15 \approx 0.533$。
均衡：玛雅：$(L_M, C_M) = (22.5, 12)$。亚历克斯：$(L_A, C_A) = (22.5, 28)$。
根据第一福利定理，该配置是帕累托最优的。
Arrow-Debreu（1954）：存在性证明。肯尼斯·阿罗和杰拉德·德布鲁证明了在凸偏好、无外部性这类弱假设下竞争性均衡存在。利用角谷静夫不动点定理，他们证明了存在一组使所有市场同时出清的价格，在《国富论》问世两个世纪之后正式化了亚当·斯密的"看不见的手"。
这一数学成就非常了不起：将问题归结为证明超额需求关于价格的对应满足不动点条件。结果只需要局部非饱和性和凸性，不需要可微性或特定函数形式。
德布鲁的《价值理论》（1959）将这一框架提炼为严格的公理系统，使他获得了1983年诺贝尔经济学奖。阿罗已于1972年因其对一般均衡和社会选择的广泛贡献获得诺贝尔经济学奖。他们的存在性证明仍然是福利经济学以及本章证明的两个福利定理的数学基础。
这一证明在思想史上处于什么位置？从瓦尔拉斯起步、到阿罗—德布鲁达到形式顶点的边际主义纲领，正是经济思想史第5章（边际革命与新古典经济学的诞生）的主题。
| 标签 | 方程 | 描述 |
|---|---|---|
| 公式 11.1 | $e(p, \bar{u}) = \min p \cdot x$ s.t. $u(x) \geq \bar{u}$ | 支出最小化 |
| 公式 11.2 | $h_i = \partial e / \partial p_i$ | 谢帕德引理 |
| 公式 11.3–11.4 | $e(p, V(p,m)) = m$; $V(p, e(p,\bar{u})) = \bar{u}$ | 对偶恒等式 |
| 公式 11.5 | $h(p, \bar{u}) = x(p, e(p, \bar{u}))$ | 希克斯需求 = 补偿收入下的马歇尔需求 |
| 公式 11.6 | $x_i = -(\partial V/\partial p_i)/(\partial V/\partial m)$ | 罗伊恒等式 |
| 公式 11.7 | $S_{ij} = \partial h_i/\partial p_j = \partial x_i/\partial p_j + x_j \partial x_i/\partial m$ | 斯勒茨基矩阵元素 |
| 公式 11.8 | $z(p) = \sum_i x_i(p) - \sum_i \omega_i$ | 总超额需求 |
参考文献：Mas-Colell, Whinston & Green（MWG）；Debreu《价值理论》；Arrow & Debreu（1954）；Varian《微观经济分析》。