Le chapitre 5 a introduit la théorie du consommateur par la maximisation de l'utilité et le lagrangien. Ce chapitre abandonne la béquille des formes fonctionnelles spécifiques et construit la théorie à partir de fondements axiomatiques. Nous posons les questions : quand les préférences peuvent-elles être représentées par une fonction d'utilité ? Quelles propriétés les fonctions de demande doivent-elles satisfaire ? Et sous quelles conditions un système de marchés concurrentiels alloue-t-il les ressources de manière efficiente ?
Le changement de méthode va du calcul à la démonstration. La partie II résolvait des problèmes d'optimisation. La partie III démontre des théorèmes, et établit ainsi quels résultats sont robustes et lesquels dépendent d'hypothèses particulières.
À la fin de ce chapitre, vous serez capable de :
Énoncer les axiomes de préférence et les conditions de représentation par l'utilité
Définir WARP et SARP et tester la cohérence de la préférence révélée
Dériver la fonction de dépense et la demande hicksienne par la dualité
Énoncer et vérifier les propriétés de la matrice de Slutsky
Définir l'équilibre walrasien et démontrer le premier théorème du bien-être
Énoncer le second théorème du bien-être et expliquer ses implications politiques
Prérequis : Chapitres 5–7. Prérequis mathématiques : bases d'analyse réelle (ensembles ouverts/fermés, continuité, théorèmes de point fixe), analyse convexe, algèbre matricielle. Voir Annexe A.
11.1 Théorie du choix : axiomes et représentation par l'utilité
Axiomes de préférence
Relation de préférence.Une relation binaire $\succsim$ sur un ensemble de consommation $X \subseteq \mathbb{R}^n_+$. On définit : $x \succ y$ (préférence stricte) si $x \succsim y$ et non $y \succsim x$ ; et $x \sim y$ (indifférence) si $x \succsim y$ et $y \succsim x$.
Les axiomes standards :
Axiome 1 (Complétude).Pour tout $x, y \in X$ : $x \succsim y$ ou $y \succsim x$ (ou les deux).
Axiome 2 (Transitivité).Pour tout $x, y, z \in X$ : si $x \succsim y$ et $y \succsim z$, alors $x \succsim z$.
Axiome 3 (Continuité).Pour tout $y \in X$, les ensembles $\{x : x \succsim y\}$ et $\{x : y \succsim x\}$ sont fermés. De manière équivalente, les ensembles de préférence stricte $\{x : x \succ y\}$ et $\{x : y \succ x\}$ sont ouverts.
Théorème (Debreu).Si $\succsim$ est complète, transitive et continue, alors il existe une fonction d’utilité continue $u: X \to \mathbb{R}$ telle que $x \succsim y \iff u(x) \geq u(y)$.
Esquisse de preuve. Fixons une demi-droite $\{te : t \geq 0\}$ où $e = (1,1,\ldots,1)$. Pour chaque $x$, par complétude et continuité, il existe un unique $t(x) \geq 0$ tel que $x \sim t(x)e$. Posons $u(x) = t(x)$. La transitivité assure la cohérence de la représentation ; la continuité assure que $u$ est continue.
Intuition
Ce que cela dit : Si vos préférences ne se contredisent jamais et ne font pas de sauts, elles peuvent se résumer par un seul nombre attaché à chaque panier : ce nombre est l'utilité. Le théorème de Debreu garantit que ce résumé existe : attribuez à chaque panier le point d'une demi-droite de référence fixe qui vous rendrait tout aussi satisfait, et vous obtenez une échelle cohérente.
Pourquoi c’est important : Les économistes n'ont donc pas à supposer une fonction d'utilité : ils la déduisent de trois conditions simples sur les choix. Tout ce qui suit (la demande, les théorèmes du bien-être, la conception de mécanismes) repose sur cette garantie. Sans représentation, pas d'objectif à maximiser.
Ce qui change : Supprimez la continuité et la garantie s'effondre : des préférences lexicographiques (toujours préférer davantage du bien 1, et départager par le bien 2) sont complètes et transitives mais présentent des sauts, de sorte qu'aucun nombre d'utilité continu ne peut les suivre. La continuité est la condition qui exclut ces sauts.
En mode complet, le théorème et l'esquisse de sa démonstration construisent explicitement le nombre d'utilité à partir d'une demi-droite de référence.
La fonction d'utilité est ordinale : toute transformation monotone $v = g(u)$ avec $g' > 0$ représente les mêmes préférences. Les propriétés cardinales (l'ampleur des différences d'utilité) sont dénuées de sens.
Propriétés supplémentaires
Monotonie (plus est mieux).Si $x \geq y$ (composante par composante) et $x \neq y$, alors $x \succ y$.
Convexité.Si $x \succsim y$, alors $\lambda x + (1-\lambda)y \succsim y$ pour tout $\lambda \in [0,1]$. La convexité signifie que les courbes d’indifférence sont convexes vers l’origine, c’est-à-dire que le consommateur préfère les mélanges.
Convexité stricte.Si $x \succsim y$, $x \neq y$, et $\lambda \in (0,1)$, alors $\lambda x + (1-\lambda)y \succ y$. La convexité stricte garantit l’unicité des paniers optimaux.
Exemple 11.1a — Vérification des axiomes de préférence
Considérons les préférences lexicographiques sur $\mathbb{R}^2_+$ : $x \succ y$ si $x_1 > y_1$, ou $x_1 = y_1$ et $x_2 > y_2$.
Complétude : Satisfaite, puisque pour tout $x, y$, on a soit $x_1 > y_1$, soit $y_1 > x_1$, soit $x_1 = y_1$, auquel cas on compare $x_2, y_2$.
Transitivité : Satisfaite, car si $x \succ y$ et $y \succ z$, alors $x \succ z$ (cela découle de la transitivité de $>$ sur $\mathbb{R}$).
Continuité :Non satisfaite. Considérons $y = (1, 1)$. L'ensemble $\{x : x \succ y\}$ contient $(1, 1.5)$ mais pas $(0.999, 100)$. L'ensemble des paniers au moins aussi bons n'est pas fermé, car il y a un saut en $x_1 = 1$.
Conséquence : Aucune fonction d'utilité continue ne représente les préférences lexicographiques. Cela montre que la continuité est essentielle pour le théorème de représentation par l'utilité de Debreu.
Au lieu de supposer des préférences, nous pouvons les inférer à partir des choix observés.
Axiome faible de la préférence révélée (WARP).Si le panier $x$ est choisi lorsque le panier $y$ est abordable (c’est-à-dire $p \cdot x \geq p \cdot y$, où $p$ est le vecteur des prix), alors $y$ n’est jamais choisi lorsque $x$ est abordable.
Formellement : si $x$ est révélé préféré à $y$ ($xRy$ : $x$ choisi aux prix où $y$ était abordable), alors $y$ n'est pas révélé préféré à $x$.
Axiome fort de la préférence révélée (SARP).La relation de préférence révélée n’a pas de cycles : il n’existe aucune séquence $x^1 R x^2 R \cdots R x^k R x^1$.
SARP est nécessaire et suffisant pour que les choix observés soient cohérents avec la maximisation de l'utilité (théorème d'Afriat). WARP est nécessaire mais pas suffisant en général (bien qu'il soit suffisant avec deux biens).
Exemple 11.1 — Vérification de WARP
Les choix d'un consommateur dans deux situations prix-revenu :
Situation
Prix $(p_1, p_2)$
Panier choisi $(x_1, x_2)$
Dépense
A
(1, 2)
(4, 2)
8
B
(2, 1)
(2, 4)
8
Vérification de WARP : Aux prix A, le consommateur pouvait-il s'offrir le panier B ? $1(2) + 2(4) = 10 > 8$. Non. Aux prix B, le consommateur pouvait-il s'offrir le panier A ? $1(4) + 1(2) = 10 > 8$. Non. WARP est satisfait, et les données sont donc cohérentes avec la maximisation de l'utilité.
Interactif : vérificateur de préférence révélée
Entrez des vecteurs de prix et des paniers choisis pour jusqu'à 6 observations. Le vérificateur testera WARP et SARP automatiquement.
Obs.
$p_1$
$p_2$
$x_1$
$x_2$
Dépense
1
8.0
2
8.0
3
6.0
4
—
5
—
6
—
Cliquez sur « Vérifier WARP & SARP » pour analyser les données.
Interactif 11.1. Entrez des observations prix-panier et testez la cohérence de la préférence révélée. WARP vérifie les inversions directes par paires ; SARP vérifie les cycles de toute longueur. Les violations sont mises en évidence avec des explications.
11.3 Dualité : fonction de dépense et demande hicksienne
Le chapitre 5 a résolu le problème primal : maximiser l'utilité sous contrainte budgétaire. Le problème dual minimise la dépense pour atteindre un niveau d'utilité cible.
Le problème de minimisation de la dépense
Fonction de dépense.$e(p, \bar{u}) = \min_{x \geq 0} p \cdot x$ sous la contrainte $u(x) \geq \bar{u}$. Elle donne le coût minimum pour atteindre le niveau d’utilité $\bar{u}$ aux prix $p$. La fonction de dépense est homogène de degré 1 en prix et concave en prix.
$$e(p, \bar{u}) = \min_{x \geq 0} \; p \cdot x \quad \text{sous la contrainte} \quad u(x) \geq \bar{u}$$(Éq. 11.1)
Demande hicksienne (compensée).La fonction de demande $h(p, \bar{u})$ qui résout le problème de minimisation des dépenses. Elle montre comment la consommation répond aux changements de prix à utilité constante. Contrairement à la demande marshallienne, la demande hicksienne isole l’effet de substitution pur.
La solution est la demande hicksienne (compensée) $h(p, \bar{u})$ :
Lemme de Shephard.La demande hicksienne se déduit directement de la fonction de dépense par dérivation : $h_i(p, \bar{u}) = \partial e(p, \bar{u}) / \partial p_i$. C’est l’analogue dual de l’identité de Roy.
Homogène de degré 1 en $p$ : $e(tp, \bar{u}) = te(p, \bar{u})$
Non décroissante en $p$ : Des prix plus élevés signifient plus de dépense pour atteindre $\bar{u}$
Concave en $p$ : $e(\lambda p + (1-\lambda)p', \bar{u}) \geq \lambda e(p, \bar{u}) + (1-\lambda)e(p', \bar{u})$
Non décroissante en $\bar{u}$ : Une utilité cible plus élevée signifie plus de dépense
Connexion entre primal et dual
La fonction d'utilité indirecte $V(p, m)$ donne l'utilité maximale atteignable aux prix $p$ avec le revenu $m$ :
$$V(p, m) = \max_{x} \; u(x) \quad \text{s.t.} \quad p \cdot x \leq m$$
Les principales relations de dualité :
$$e(p, V(p, m)) = m$$(Éq. 11.3)
$$V(p, e(p, \bar{u})) = \bar{u}$$(Éq. 11.4)
$$h(p, \bar{u}) = x(p, e(p, \bar{u}))$$(Éq. 11.5)
Identité de Roy.La demande marshallienne se déduit de la fonction d’utilité indirecte : $x_i(p, m) = -(\partial V / \partial p_i) / (\partial V / \partial m)$. Une hausse de prix réduit le bien-être proportionnellement à la quantité consommée, ajustée par l’utilité marginale du revenu.
L'identité de Roy fournit un raccourci pour dériver la demande marshallienne à partir de la fonction d'utilité indirecte :
$$x_i(p, m) = -\frac{\partial V / \partial p_i}{\partial V / \partial m}$$(Éq. 11.6)
Intuition
Ce que cela dit : Deux raccourcis découlent d'une même question posée par ses deux bouts. Le lemme de Shephard : la dépense minimale pour atteindre un niveau de satisfaction fixé augmente, quand un prix monte, exactement en proportion de la quantité de ce bien que vous achetiez ; la courbe de demande n'est donc que la pente de la fonction « coût pour rester aussi satisfait ». L'identité de Roy : votre demande pour un bien est la vitesse à laquelle votre satisfaction maximale accessible chute quand son prix augmente d'un cran, divisée par ce qu'un dollar de plus vous aurait apporté.
Pourquoi c’est important : La demande peut être retrouvée en dérivant une seule fonction, sans résoudre à nouveau l'optimisation depuis le début. Minimiser la dépense et maximiser l'utilité sont deux points de vue sur un même choix : la réponse à l'un vous livre l'autre gratuitement. Cette dualité est ce qui rend possibles la mesure du bien-être et la décomposition de Slutsky qui suit.
Ce qui change : Augmentez un prix et les deux raccourcis bougent dans le même sens : Shephard dit que vous vous détournez du bien devenu cher en suivant le sentier d'utilité constante ; Roy dit que votre bien-être accessible baisse à peu près de la quantité que vous achetiez. Plus vous achetiez d'un bien, plus la hausse de son prix vous pèse.
En mode complet, les éq. 11.2 et 11.6 énoncent le lemme de Shephard et l'identité de Roy comme dérivées de la fonction de dépense et de la fonction d'utilité indirecte.
Intuition de l'identité de Roy : Une petite augmentation de $p_i$ a deux effets sur le bien-être (mesuré par $V$) : (1) elle réduit directement l'utilité en rendant le bien $i$ plus cher (le numérateur $\partial V/\partial p_i < 0$), et (2) l'ampleur de cet effet est proportionnelle à la quantité de bien $i$ achetée par le consommateur ($x_i$) fois l'utilité marginale du revenu ($\partial V/\partial m$). Diviser (1) par l'utilité marginale du revenu donne la quantité de bien $i$.
Quand $\rho \to 0$ (élasticité de substitution $\sigma = 1/(1-\rho) \to 1$), cela converge vers le cas Cobb-Douglas.
Interactif : explorateur de dualité
Utilité Cobb-Douglas $u = x_1^{0.5} x_2^{0.5}$ avec revenu $m = 10$. Faites glisser $p_1$ pour voir comment les trois représentations, tangence de la droite de budget, demande marshallienne et fonction de dépense, traduisent la même information.
Interactif 11.2. Trois vues du même consommateur. Gauche : courbe d'indifférence tangente à la droite de budget (primal). Centre : demande marshallienne du bien 1 en fonction de $p_1$. Droite : fonction de dépense $e(p_1, p_2, \bar{u})$ nécessaire pour atteindre le niveau d'utilité actuel. Les trois traduisent les mêmes préférences.
11.4 La matrice de Slutsky
Matrice de Slutsky.La matrice $n \times n$ $S$ avec éléments $S_{ij} = \partial h_i / \partial p_j$, mesurant les effets de substitution entre biens. Si la demande est générée par la maximisation de l’utilité, $S$ doit être symétrique et semi-définie négative. Ce sont des restrictions testables sur la demande observée.
L'équation de Slutsky du chapitre 5 (Éq. 5.7) se généralise en matrice. Définissons la matrice de Slutsky (substitution) avec les éléments :
Si la demande est générée par la maximisation de l'utilité, la matrice de Slutsky doit être :
Symétrique : $S_{ij} = S_{ji}$ (les effets de substitution croisés sont égaux)
Semi-définie négative : $v'Sv \leq 0$ pour tout vecteur $v$ (les effets de substitution propres sont non positifs : $S_{ii} \leq 0$)
$S \cdot p = 0$ : La demande compensée est homogène de degré zéro en prix
Intuition
Ce que cela dit : La matrice de Slutsky tient la comptabilité de deux faits sur la substitution. Premièrement, les effets croisés sont symétriques : la réaction de la demande compensée du bien A au prix du bien B reflète exactement celle de B au prix de A. Deuxièmement, les effets de substitution propres ne vont jamais dans le mauvais sens : augmentez le prix d'un bien à satisfaction fixée, et vous en achetez moins ou, à la limite, autant, jamais davantage. C'est tout ce que signifie « symétrique et semi-définie négative ».
Pourquoi c’est important : Ces deux faits sont testables. Un système de demande estimé sur des données réelles les respecte ou ne les respecte pas, et s'il ne les respecte pas, aucun consommateur rationnel maximisant son utilité n'a pu le produire. La matrice transforme l'affirmation abstraite « les gens maximisent leur utilité » en une régularité vérifiable dans les achats observés.
Ce qui change : Lisez-la dans l'autre sens (le théorème d'intégrabilité) : si un système de demande satisfait bien la symétrie, le caractère semi-défini négatif, l'homogénéité et la saturation de la contrainte budgétaire, alors une fonction d'utilité l'a nécessairement engendré. Ces restrictions ne sont pas seulement nécessaires : elles suffisent à reconstruire les préférences à partir des choix.
En mode complet, l'éq. 11.7 définit la matrice, et les propriétés énumérées énoncent formellement la symétrie, le caractère semi-défini négatif et l'homogénéité.
Ce sont des restrictions testables : si la demande observée les viole, elle ne peut pas avoir été générée par un consommateur rationnel maximisant une fonction d'utilité régulière.
Intégrabilité.Réciproquement, si un système de demande satisfait : (a) la loi de Walras ($p \cdot x(p,m) = m$), (b) l’homogénéité de degré zéro, (c) la symétrie et le caractère semi-défini négatif de la matrice de Slutsky, alors il existe une fonction d’utilité qui la génère. C’est le théorème d’intégrabilité.
Exemple 11.3 — Symétrie de Slutsky pour Cobb-Douglas
Ajustez le prix du bien 1 pour voir comment la demande marshallienne, la demande hicksienne (compensée) et l'effet de revenu réagissent. Utilise l'utilité Cobb-Douglas $u(x_1,x_2)=x_1^a x_2^{1-a}$ avec $a=0,6$, $p_2=3$, $m=120$.
1 (moins cher)4 (plus cher)
Figure 11.2. Gauche : décomposition de Slutsky dans l'espace des biens. Le panier initial (bleu), le panier compensé (orange, sur la courbe d'indifférence initiale aux nouveaux prix), et le nouveau panier (vert). L'effet de substitution va du bleu à l'orange ; l'effet de revenu va de l'orange au vert. Droite : éléments de la matrice de Slutsky $S_{11}$ et $S_{12}$ en fonction de $p_1$, confirmant la semi-définitude négative ($S_{11} \leq 0$) et la symétrie.
Économie d'échange.Une économie avec $I$ consommateurs et $L$ biens mais sans production. Chaque consommateur a une dotation initiale $\omega_i$ et des préférences $\succsim_i$. L’échange se fait aux prix du marché. La question est de savoir s’il existe un ensemble de prix qui équilibre tous les marchés simultanément.
Considérons une économie avec $I$ consommateurs et $L$ biens. Le consommateur $i$ a une dotation $\omega_i \in \mathbb{R}^L_+$ et des préférences $\succsim_i$.
Aux prix $p$, la richesse du consommateur $i$ est $m_i = p \cdot \omega_i$. Il demande $x_i(p, m_i)$.
Équilibre walrasien (concurrentiel).Un vecteur de prix $p^*$ et une allocation $(x_1^*, \ldots, x_I^*)$ tels que : (1) Chaque consommateur maximise son utilité : $x_i^*$ résout $\max u_i(x_i)$ s.c. $p^* \cdot x_i \leq p^* \cdot \omega_i$ ; (2) Les marchés s’équilibrent : $\sum_i x_i^* = \sum_i \omega_i$.
Loi de Walras.Pour tout vecteur de prix $p$ : $p \cdot z(p) = 0$. La valeur totale de la demande excédentaire est toujours nulle. Cela découle de la saturation de la contrainte budgétaire : $p \cdot x_i = p \cdot \omega_i$ pour chaque consommateur.
Implications : (1) Si $L - 1$ marchés s'équilibrent, le $L$-ième s'équilibre automatiquement. (2) Seuls les prix relatifs importent, de sorte qu'on peut normaliser un prix à 1 (le numéraire).
Existence
Théorème (Arrow-Debreu, 1954).Sous des conditions standard (préférences continues, strictement convexes, localement non satiées ; dotation globale positive de chaque bien), un équilibre walrasien existe.
Stratégie de preuve (esquisse). Normalisons les prix sur le simplexe unitaire $\Delta$. Définissons une application d'ajustement des prix $f: \Delta \to \Delta$ qui augmente le prix des biens dont la demande est excédentaire. Par le théorème du point fixe de Brouwer, $f$ a un point fixe $p^*$. Au point fixe, $z(p^*) = 0$, c'est-à-dire que tous les marchés s'équilibrent.
L'équilibre général est l'aboutissement formel du programme marginaliste : la valeur, pleinement formalisée, devient le vecteur de prix d'équilibre. La filiation intellectuelle, de la vision de Walras en 1874 jusqu'à la preuve d'existence d'Arrow-Debreu, est retracée dans Histoire de la pensée économique, ch. 5 (La révolution marginaliste et la formalisation).
Histoire de la pensée économique — filiation de la valeur
La boîte d'Edgeworth
Boîte d'Edgeworth.Un diagramme pour une économie d’échange à 2 consommateurs et 2 biens. Les dimensions de la boîte égalent les dotations totales. L’origine du consommateur 1 est en bas à gauche, celle du consommateur 2 en haut à droite. Chaque point de la boîte est une allocation réalisable. La courbe des contrats relie tous les points Pareto-efficients (tangences des courbes d’indifférence).
Pour une économie à 2 consommateurs et 2 biens, la boîte d'Edgeworth fournit une visualisation complète. Les dimensions de la boîte sont égales aux dotations totales. L'origine du consommateur 1 est en bas à gauche, celle du consommateur 2 en haut à droite. Chaque point de la boîte est une allocation réalisable.
Interactif : boîte d'Edgeworth
Deux consommateurs avec des préférences Cobb-Douglas. Déplacez le point de dotation pour explorer comment l'équilibre walrasien, la courbe des contrats et le cœur changent.
Figure 11.1 (Interactif). La boîte d'Edgeworth. Le point orange est la dotation. Le point vert est l'équilibre walrasien. La courbe rouge est la courbe des contrats (toutes les allocations Pareto-efficientes). La zone ombrée du cœur montre les allocations que les deux consommateurs préfèrent à la dotation. La droite de budget passe par la dotation avec une pente $-p_x/p_y$.
Premier théorème du bien-être.Si les préférences sont localement non satiées, alors toute allocation d’équilibre walrasien est Pareto optimale.
Pareto-optimal (efficace).Une allocation $x^*$ est Pareto optimale s'il n'existe pas d'autre allocation réalisable $x'$ telle que $u_i(x'_i) \geq u_i(x_i^*)$ pour tout $i$ et $u_j(x'_j) > u_j(x_j^*)$ pour un certain $j$.
Preuve. Nous raisonnons par l'absurde. Supposons que l'allocation d'équilibre walrasien $x^*$ aux prix $p^*$ n'est pas Pareto optimale. Alors il existe une allocation réalisable $x'$ dans laquelle personne n'est moins bien loti et quelqu'un est strictement mieux loti.
Étape 1. Pour le consommateur $j$ qui est strictement mieux loti : puisque $x_j^*$ maximisait l'utilité et $x_j'$ est strictement préféré, $x_j'$ devait être inabordable : $p^* \cdot x_j' > p^* \cdot \omega_j$.
Étape 2. Pour tout consommateur $i$ : par non-satiété locale, $p^* \cdot x_i' \geq p^* \cdot \omega_i$.
Ce que cela dit : Supposez que l'on puisse réarranger l'issue du marché pour améliorer le sort de quelqu'un sans que personne d'autre n'y perde. Cette personne détiendrait alors un panier qu'elle préfère à celui qu'elle a acheté à l'équilibre ; mais si elle le préférait et pouvait se l'offrir, elle l'aurait déjà acheté. Elle ne l'a pas fait, donc il était hors de portée. Additionnez les dépenses de tous : l'allocation « améliorée » coûte plus que ce que l'économie possède réellement. Impossible. Aucune amélioration de ce genre n'existe donc : l'équilibre est déjà efficient.
Pourquoi c’est important : C'est la main invisible d'Adam Smith énoncée avec précision. Des agents intéressés qui échangent entre eux, chacun ne se souciant que de son propre budget, aboutissent à une allocation qu'aucun planificateur central ne pourrait améliorer sans léser quelqu'un ; et la démonstration n'exige ni bienveillance ni coordination, seulement des prix qui sont les mêmes pour tous.
Ce qui change : L'argument ne repose que sur deux choses : les gens veulent toujours un peu mieux (non-satiété locale) et ils dépensent tout leur budget. Levez l'hypothèse de prix communs (pouvoir de marché, externalités, marchés manquants, information privée) et l'étape « ils auraient pu l'acheter » s'effondre. C'est précisément là que les marchés réels cessent d'être efficients.
En mode complet, la démonstration en quatre étapes tire la contradiction de la saturation de la contrainte budgétaire et de la faisabilité.
La preuve n'utilise que la non-satiété locale et la saturation de la contrainte budgétaire. Elle ne nécessite ni convexité, ni différentiabilité, ni forme fonctionnelle spécifique. C'est cette généralité qui fait la force du théorème.
Interprétation. Le premier théorème du bien-être est l'énoncé formel de la « main invisible » d'Adam Smith. Les marchés concurrentiels produisent une allocation qu'aucune réallocation ne peut améliorer sans détériorer la situation de quelqu'un. Mais les hypothèses (marchés complets, comportement de preneur de prix, pas d'externalités, pas de biens publics, information complète) définissent exactement quand la main invisible échoue.
Histoire de la pensée économique — filiation de la valeur
Exemple 11.6 — Premier théorème du bien-être dans une économie à 2 consommateurs
D'après l'exemple 11.4, l'équilibre est $x_1^* = y_1^* = x_2^* = y_2^* = 2$ à $p_x = p_y$.
Vérification de l'optimalité de Pareto : À l'équilibre, $MRS_1 = y_1/x_1 = 1$ et $MRS_2 = y_2/x_2 = 1$. Puisque $MRS_1 = MRS_2 = p_x/p_y$, les courbes d'indifférence sont tangentes, et l'allocation est donc sur la courbe des contrats.
Vérification de l'absence d'amélioration parétienne : Toute réallocation donnant au consommateur 1 plus du bien $x$ (disons $x_1 = 3$) nécessite $x_2 = 1$. Alors $u_1 = \sqrt{3 \cdot y_1}$ et $u_2 = \sqrt{1 \cdot y_2}$ avec $y_1 + y_2 = 4$. Pour que le consommateur 1 gagne ($u_1 > \sqrt{4} = 2$), il faut $y_1 > 4$, donc $y_1 > 4/3$, laissant $y_2 < 8/3$, donnant $u_2 = \sqrt{8/3} < 2 = u_2^*$. Le consommateur 2 est moins bien loti. Aucune amélioration parétienne n'existe.
Interactif : visualisation du premier théorème du bien-être
L'équilibre walrasien se situe sur la courbe des contrats (Pareto-efficient). Activez « Afficher la région d'amélioration parétienne » pour vérifier : à l'équilibre, la région en forme de lentille où les deux consommateurs peuvent gagner est vide. À la dotation, elle ne l'est pas.
À l'équilibre walrasien : Aucune amélioration de Pareto n'existe : le premier théorème du bien-être s'applique. L'allocation d'équilibre est Pareto optimale.
Interactif 11.3. Basculez entre la vue de l'équilibre (où aucune amélioration parétienne n'existe) et la dotation (où la lentille ombrée montre les échanges mutuellement bénéfiques). La position de l'équilibre sur la courbe des contrats prouve visuellement l'efficience.
Prise de position
« Chaque milliardaire est un échec politique », slogan viral popularisé par Dan Riffle / le bureau d'AOC
Dan Riffle, ancien conseiller politique d'AOC, a fait de cette formule un mantra des réseaux sociaux, partagé des millions de fois, imprimé sur des T-shirts, scandé dans les meetings. L'affirmation est brutale : si les milliardaires existent, ce n'est pas parce qu'ils ont créé une valeur extraordinaire. C'est parce que le système est faussé : niches fiscales, pouvoir de monopole, règles truquées. Le premier théorème du bien-être que vous venez de démontrer vous donne les outils pour mettre cette affirmation à l'épreuve avec précision : une concentration extrême de la richesse représente-t-elle un marché qui fonctionne correctement (et c'est seulement la dotation initiale qui nous déplaît), ou un marché qui échoue (et l'efficience n'est pas atteinte) ?
Avancé
La version populaire
« Chaque milliardaire est un échec politique » réduit une question réellement complexe à un slogan de tract. Le slogan traite toute richesse de milliardaire comme extraction de rente, comme si Jeff Bezos, un oligarque russe qui a acheté des actifs pétroliers d'État sous la menace des armes, et un PDG pharmaceutique exploitant des monopoles de brevet s'étaient tous enrichis par le même mécanisme.
Il confond richesse et revenu et ignore que l'essentiel de la richesse des milliardaires est constitué de titres de participation : des droits sur des profits futurs, non de l'argent prélevé sur les salaires des travailleurs. Il traite l'économie comme un jeu à somme nulle quand les théorèmes du bien-être portent précisément sur la façon dont l'échange crée du surplus.
L'affirmation inverse est tout aussi mauvaise : « Les milliardaires sont les héros de l'économie : ils ont gagné chaque centime. » Cela ignore que beaucoup de fortunes dépendent du pouvoir de marché, des effets de réseau, des rentes de PI et de l'influence politique, autant de mécanismes qui n'ont rien à voir avec le marché concurrentiel que décrit le premier théorème du bien-être. Aucun des deux camps ne se confronte à ce que le théorème dit réellement ni à ce que ses conditions exigent réellement.
L'argument le plus fort pour
Voici la version de « chaque milliardaire est un échec politique » qui survivrait à un séminaire d'économie. Le premier théorème du bien-être exige des marchés concurrentiels : comportement de preneur de prix, pas d'externalités, pas de pouvoir de marché, pas de barrières à l'entrée. Beaucoup de fortunes de milliardaires violent ces conditions systématiquement.
Les monopoles de plateforme (Google, Meta, Amazon) bénéficient d'effets de réseau qui créent des dynamiques où le gagnant rafle tout : ce sont des monopoles naturels avec d'énormes barrières à l'entrée, non les marchés concurrentiels que décrit le théorème. Les fortunes pharmaceutiques dépendent des rentes de brevet, c'est-à-dire de monopoles accordés par l'État. Les fortunes de la finance bénéficient de la garantie implicite des banques « trop grosses pour faire faillite », d'asymétries d'information et de capture réglementaire. Même les fortunes tech « légitimes » dépendent de biens non rivaux (logiciels, algorithmes) où le coût marginal est nul, de sorte qu'une tarification concurrentielle standard ($P = MC$) ne générerait aucun revenu, et les profits exigent donc un pouvoir de marché.
L'argument structurel plus profond : le résultat $r > g$ de Piketty montre que quand le rendement du capital excède le taux de croissance, la richesse se concentre mécaniquement au fil du temps indépendamment du mérite individuel. Le second théorème du bien-être dit que toute allocation efficiente peut être atteinte par des transferts forfaitaires, mais ces transferts n'existent pas. Donc l'instinct de Riffle trouve un appui formel : les politiques qui empêcheraient une concentration extrême (redistribution forfaitaire, politique de la concurrence, taxation des rentes) sont soit politiquement impossibles soit délibérément affaiblies.
L'argument le plus fort contre
Bezos n'a pas prélevé sa richesse sur un gâteau de taille fixe ; il a créé Amazon, qui a agrandi le gâteau. Le surplus du consommateur créé par Amazon (prix plus bas, livraison plus rapide, sélection plus large) est estimé à des centaines de milliards par an. Le fait que Bezos ait capté une partie de ce surplus comme profit n'est pas un échec politique. C'est le mécanisme de récompense du marché qui fonctionne.
L'argument formel : le premier théorème du bien-être dit que l'équilibre concurrentiel est Pareto-efficient : aucune réallocation ne rend quelqu'un mieux loti sans rendre quelqu'un d'autre moins bien loti. Confisquer la richesse de Bezos et la redistribuer rendrait beaucoup de gens mieux lotis (utilité marginale décroissante), mais cela rendrait aussi Bezos moins bien loti. C'est une comparaison de Pareto, non un échec. Le théorème ne promet pas l'égalité ; il promet l'efficience. Si vous voulez l'égalité, utilisez le second théorème du bien-être : redistribuez les dotations, puis laissez les marchés s'équilibrer. C'est une intervention d'équité, non une correction de défaillance.
De plus, tous les milliardaires ne se valent pas. Bezos a bâti un empire logistique qui apporte une valeur réelle aux consommateurs. Les oligarques russes ont acquis des actifs d'État dans des enchères de privatisation truquées. Le slogan de Riffle, « chaque milliardaire », amalgame créateurs de valeur et extracteurs de rente, innovateurs et oligarques. C'est de la rhétorique.
Le jugement
Riffle avait-il raison que chaque milliardaire est un échec politique ? Non. C'est sur le mot « chaque » que l'affirmation achoppe.
Certaines fortunes de milliardaires sont de véritables défaillances de marché : des fortunes construites sur effets de réseau, rentes de brevet, capture réglementaire ou connexions politiques impliquent un pouvoir de marché qui viole les conditions du premier théorème du bien-être. Ce sont des écarts par rapport à l'équilibre concurrentiel, et la concentration de richesse résultante n'est pas Pareto-optimale. D'autres fortunes sont plus proches de l'idéal du théorème du bien-être : elles reflètent la création de surplus sur des marchés raisonnablement concurrentiels, et les appeler « échecs politiques » exige une définition d'échec qui inclut tout résultat qui vous déplaît.
Mais même les milliardaires « légitimes » exposent une limite que les théorèmes du bien-être eux-mêmes reconnaissent : l'optimalité de Pareto ne dit rien sur l'équité. Un monde où un seul homme détiendrait mille milliards et où sept milliards de personnes vivraient dans la pauvreté est Pareto-optimal si la redistribution rend ce seul homme moins bien loti. Le slogan de Riffle contient une vérité réelle : les choix politiques (antitrust faible, régime de faveur des plus-values, accès au lobbying) amplifient la concentration de richesse au-delà de ce que les marchés concurrentiels seuls produiraient.
Mais « chaque milliardaire » remplace l'analyse par des impressions. La question empirique de la part de la richesse des milliardaires qui relève de la création de valeur plutôt que de l'extraction de rente reste réellement disputée, la proportion varie d'un individu à l'autre, et les affirmations générales dans l'une ou l'autre direction sont fausses.
11.7 Le second théorème du bien-être
Second théorème du bien-être.Sous des hypothèses de convexité (préférences convexes, ensembles de production convexes), toute allocation Pareto optimale peut être atteinte comme équilibre walrasien, après une redistribution appropriée des dotations (transferts forfaitaires de richesse).
Intuition
Ce que cela dit : Choisissez n'importe quelle issue efficiente qui vous convienne : un partage juste, égalitaire ou souhaitable à tout autre titre, qui ne gaspille rien. Le second théorème du bien-être dit qu'un marché peut l'atteindre. Vous ne touchez pas aux prix ; vous distribuez d'abord les bonnes dotations initiales, puis vous laissez l'échange concurrentiel faire son œuvre. L'équilibre se charge du reste.
Pourquoi c’est important : Il semble séparer deux débats que l'on mêle d'ordinaire : la taille du gâteau (l'efficience) et la façon de le partager (l'équité). En principe, on peut avoir les deux : choisir la répartition voulue, puis conserver toute l'efficience des marchés. La gauche et la droite politiques peuvent, sur le papier, obtenir chacune ce qu'elles veulent du même mécanisme.
Ce qui change : Le piège que cache l'hypothèse de convexité tient dans le mot « forfaitaire ». Atteindre le partage choisi exige des transferts qui ne distordent les choix de personne, ce qui suppose que l'État connaisse déjà le type de chacun sans observer son comportement. Les impôts réels (sur le revenu, la fortune, les plus-values) réagissent au comportement, donc ils distordent. La séparation nette est vraie dans le modèle et hors d'atteinte en pratique.
En mode complet, l'énoncé du théorème nomme précisément les conditions de convexité et l'exigence de transferts forfaitaires.
Interprétation. Le second théorème du bien-être dit que l'efficience et l'équité sont des problèmes séparables. La société peut choisir n'importe quelle distribution Pareto-efficiente en deux étapes :
Redistribuer les dotations par des transferts forfaitaires
Laisser les marchés opérer à partir des nouvelles dotations
Les marchés produiront alors un équilibre concurrentiel qui est à la fois efficient (par le premier théorème du bien-être) et atteint la distribution souhaitée.
Pourquoi c'est important pour la politique. Ne distordez pas les marchés pour atteindre l'équité (cela sacrifie l'efficience). Utilisez plutôt des transferts forfaitaires pour redistribuer, puis laissez les marchés fonctionner. La leçon pour la droite : laissez les marchés agir librement. La leçon pour la gauche : redistribuez autant que vous le souhaitez. Les deux peuvent être atteints simultanément, en théorie du moins.
Pourquoi cela échoue en pratique. Les transferts forfaitaires nécessitent des informations sur les types des individus que l'État ne possède pas. La redistribution réelle utilise des impôts distorsifs (sur le revenu, les plus-values, le patrimoine) qui modifient les incitations et créent des pertes sèches. Ce problème d'information est le sujet de la conception de mécanismes (chapitre 12) et de la fiscalité optimale (chapitre 16).
Équivalence du cœur
Dans les grandes économies, l'ensemble des allocations du cœur (allocations qu'aucune coalition ne peut améliorer) se réduit à l'ensemble des allocations d'équilibre walrasien. C'est le théorème d'équivalence du cœur : l'équilibre concurrentiel est le seul résultat qui survit à la concurrence entre toutes les coalitions possibles.
L'entreprise de Maya
Nous modélisons le marché de limonade de Maya comme une économie d'échange à 2 consommateurs et 2 biens dans une boîte d'Edgeworth.
Configuration : Maya et Alex. Deux biens : limonade ($L$) et cookies ($C$). Maya commence avec 45 limonades et 0 cookies. Alex commence avec 0 limonades et 40 cookies.
Par le premier théorème du bien-être, cette allocation est Pareto optimale.
Éclairage historique
Arrow-Debreu (1954) : la preuve d'existence. Kenneth Arrow et Gérard Debreu ont prouvé qu'un équilibre concurrentiel existe sous des hypothèses faibles (préférences convexes, pas d'externalités). En utilisant le théorème du point fixe de Kakutani, ils ont montré qu'il existe un système de prix qui équilibre tous les marchés simultanément, formalisant ainsi la « main invisible » d'Adam Smith deux siècles après La Richesse des Nations.
La prouesse mathématique était remarquable : réduire le problème à montrer qu'une certaine correspondance (l'excès de demande en fonction des prix) satisfait les conditions d'un point fixe. Le résultat ne nécessitait que la non-satiété locale et la convexité, sans exiger la différentiabilité ni des formes fonctionnelles particulières.
La Théorie de la Valeur de Debreu (1959) a condensé ce cadre en un système axiomatique rigoureux, lui valant le prix Nobel en 1983. Arrow avait déjà reçu le Nobel en 1972 pour ses contributions plus larges à l'équilibre général et au choix social. Leur preuve d'existence reste le fondement mathématique de l'économie du bien-être et des deux théorèmes du bien-être démontrés dans ce chapitre.
Les axiomes de préférence (complétude, transitivité, continuité) garantissent l'existence d'une fonction d'utilité continue (théorème de Debreu). Des propriétés supplémentaires (monotonie, convexité) assurent une demande régulière.
La préférence révélée (WARP, SARP) permet de tester la rationalité à partir des choix observés sans supposer l'utilité. SARP est nécessaire et suffisant pour la cohérence avec la maximisation de l'utilité.
La dualité relie le problème primal (maximisation de l'utilité) et le problème dual (minimisation de la dépense). La fonction de dépense $e(p, \bar{u})$ et la demande hicksienne $h(p, \bar{u})$ sont liées par le lemme de Shephard. L'identité de Roy retrouve la demande marshallienne à partir de la fonction d'utilité indirecte.
La matrice de Slutsky doit être symétrique et semi-définie négative si la demande est générée par l'utilité. Ce sont des restrictions testables, et le théorème d'intégrabilité dit qu'elles sont aussi suffisantes.
L'équilibre walrasien exige que tous les marchés s'équilibrent simultanément. La loi de Walras ($p \cdot z(p) = 0$) signifie qu'un marché s'équilibre automatiquement. L'existence découle d'arguments de point fixe (Arrow-Debreu).
Le premier théorème du bien-être : tout équilibre concurrentiel est Pareto optimal. Le second théorème du bien-être : tout optimum de Pareto peut être atteint comme équilibre concurrentiel après redistribution forfaitaire.
Les préférences sont définies par $x \succsim y \iff x_1 + x_2 \geq y_1 + y_2$. Vérifiez la complétude, la transitivité et la continuité. Écrivez une fonction d'utilité qui représente ces préférences.
Un consommateur fait les choix suivants : aux prix (2, 1), il achète (3, 4) ; aux prix (1, 3), il achète (5, 1). Vérifiez WARP.
Pour l'utilité Cobb-Douglas $u = x_1^{1/3}x_2^{2/3}$ : (a) dérivez la fonction de dépense, (b) vérifiez le lemme de Shephard, (c) vérifiez l'identité de Roy.
Dans une économie d'échange à 2 consommateurs et 2 biens : $u_1 = x_1 y_1$, $\omega_1 = (6, 2)$ ; $u_2 = x_2 y_2$, $\omega_2 = (2, 6)$. Trouvez les prix et l'allocation d'équilibre walrasien.
Application
La fonction de demande observée d'un consommateur est $x_1 = m/(p_1 + p_2)$ et $x_2 = m/(p_1 + p_2)$. (a) Vérifiez la loi de Walras. (b) Vérifiez l'homogénéité de degré zéro. (c) Calculez la matrice de Slutsky et vérifiez la symétrie et la semi-définitude négative. (d) Cette demande peut-elle être générée par la maximisation de l'utilité ?
Expliquez pourquoi le premier théorème du bien-être ne s'applique pas à une économie avec des externalités (lien avec le chapitre 4). Identifiez l'hypothèse précise qui n'est pas vérifiée.
Le second théorème du bien-être dit que toute allocation efficiente peut être atteinte via des marchés concurrentiels avec des transferts forfaitaires. Expliquez pourquoi, en pratique, l'État recourt à des impôts distorsifs. Quel problème d'information rend les transferts forfaitaires irréalisables ?
En utilisant la boîte d'Edgeworth, illustrez : (a) une allocation dans le cœur mais pas un équilibre concurrentiel, (b) une amélioration parétienne à partir du point de dotation, (c) pourquoi le point de dotation lui-même n'est généralement pas Pareto efficient.
Défi
Prouvez que si la fonction de dépense $e(p, \bar{u})$ est concave en $p$, alors la matrice de Slutsky est semi-définie négative. (Indication : la hessienne d'une fonction concave est semi-définie négative, et $\partial^2 e/\partial p_i \partial p_j = \partial h_i/\partial p_j = S_{ij}$.)
Prouvez le premier théorème du bien-être pour le cas à 2 consommateurs et 2 biens avec des préférences localement non satiées. Puis identifiez où la preuve achoppe si un consommateur a des préférences satiées (un point de satiété).
Dans une économie en boîte d'Edgeworth avec des préférences de Leontief ($u = \min(x, 2y)$) pour les deux consommateurs, un équilibre walrasien existe-t-il ? Si oui, trouvez-le. Sinon, expliquez quelle condition d'existence n'est pas satisfaite.
Énoncez précisément le théorème d'Afriat. En utilisant un jeu de données de 4 observations (vecteurs de prix et paniers choisis), construisez un exemple où WARP est satisfait mais SARP est violé.
Sources
Littérature citée : Mas-Colell, Whinston & Green (MWG) ; Debreu Théorie de la Valeur ; Arrow & Debreu (1954) ; Varian Analyse microéconomique.
