Le chapitre 11 posait la question : étant donné les préférences et les dotations, les marchés concurrentiels produisent-ils des résultats efficients ? La réponse est oui, sous les conditions des théorèmes du bien-être, et elle prend le mécanisme de marché comme donné. Ce chapitre inverse la question : étant donné un résultat souhaité, peut-on concevoir un mécanisme pour l'atteindre ?
La conception de mécanismes est souvent appelée « théorie des jeux inversée ». Au lieu de prédire l'issue d'un jeu, on conçoit le jeu pour produire un résultat souhaité. Le design de marché applique ces idées aux institutions réelles : enchères, marchés d'appariement, allocation de spectre, échange de reins.
Prérequis : Chapitres 6 (bases de la théorie des jeux, équilibre de Nash) et 11 (théorèmes du bien-être, équilibre général).
Le défi : les types des agents sont privés. Comment les amener à révéler leurs types véridiquement ?
Figure 12.1. Chronologie de la conception de mécanismes.
Le concepteur de mécanismes choisit les règles (espace des messages et fonction de résultat) pour atteindre une fonction de choix social souhaitée.
Un mécanisme direct demande à chaque agent de simplement déclarer son type (son information privée). Il est compatible avec les incitations (IC) si la déclaration véridique est une stratégie d'équilibre : aucun agent ne profite à mentir.
C'est la simplification la plus puissante en conception de mécanismes. En principe, l'espace des mécanismes possibles est infiniment grand. Une enchère pourrait avoir n'importe quel nombre de tours, n'importe quelles règles d'enchère, n'importe quelle formule de paiement. Un algorithme d'appariement pourrait fonctionner de n'importe quelle manière concevable. Chercher le meilleur mécanisme parmi tous les mécanismes possibles semble sans espoir.
Le principe de révélation dit : vous n'avez pas besoin de chercher. Quel que soit le résultat qu'un mécanisme quelconque peut atteindre, un mécanisme direct peut atteindre le même résultat. Le problème de conception de mécanismes se réduit donc à : trouver la meilleure règle d'allocation et la meilleure règle de paiement en fonction des types déclarés, sous la contrainte que la déclaration véridique est optimale. Cela transforme une recherche infiniment large en un problème d'optimisation bien défini.
Ce que cela dit : Si un jeu compliqué peut atteindre un résultat, un simple jeu où chacun se contente de « dire la vérité » peut atteindre le même résultat, et il n'y a donc jamais lieu d'étudier des mécanismes compliqués. On n'étudie jamais que des mécanismes directs véridiques, où chaque agent déclare simplement son type privé. « Compatible avec les incitations » ne veut alors dire qu'une chose : l'honnêteté est le meilleur coup de l'agent.
Pourquoi c’est important : Les deux degrés diffèrent par la robustesse de cette honnêteté. L'honnêteté en stratégie dominante (DSIC) tient quoi que fassent les autres, et l'on n'a jamais à deviner leurs types. L'honnêteté bayésienne (BIC) ne tient qu'en moyenne, en supposant que tous les autres disent aussi la vérité. Plus faible, elle permet en revanche au concepteur d'implémenter davantage de résultats.
En mode complet, l'Éq. 12.1 (DSIC) et l'Éq. 12.2 (BIC) énoncent formellement les deux conditions de compatibilité incitative.DSIC est plus forte mais plus difficile à atteindre. BIC est plus faible mais permet davantage de mécanismes.
La théorie des enchères et la conception de mécanismes ont été en partie un produit de la guerre froide, façonnées par la RAND, von Neumann et le programme de rationalité stratégique.
C'est l'analogue en conception de mécanismes du théorème d'impossibilité d'Arrow. Il dit que dans les cadres généraux de choix social, aucun mécanisme non dictatorial ne peut obtenir la révélation véridique des préférences en stratégies dominantes.
La porte de sortie : restreindre le domaine. Avec des préférences quasi linéaires ($U_i = v_i(a) + t_i$, où $t_i$ est un transfert monétaire), la barrière de Gibbard-Satterthwaite tombe. Le mécanisme VCG atteint l'efficience et DSIC avec des transferts.
Le mécanisme de Vickrey-Clarke-Groves (VCG) atteint l'allocation efficiente avec la déclaration véridique comme stratégie dominante, en utilisant des transferts monétaires.
La concurrence est-elle un état final que l'on peut concevoir, ou un processus de découverte qui résiste à toute conception ? Le programme de compatibilité incitative de Hurwicz se situe exactement sur cette ligne de faille.
L'allocation efficiente maximise la valeur totale : $a^*(\theta) = \arg\max_a \sum_i v_i(a, \theta_i)$.
L'agent $i$ paie l'externalité qu'il impose aux autres : la différence entre le bien-être des autres avec et sans $i$.
Pourquoi la déclaration véridique est-elle dominante ? Sous déclaration véridique, le gain de l'agent $i$ est :
$$v_i(a^*(\theta)) + t_i = v_i(a^*(\theta)) + \sum_{j \neq i} v_j(a^*(\theta_{-i})) - \sum_{j \neq i} v_j(a^*(\theta))$$
Cela se simplifie en $\sum_j v_j(a^*(\theta)) - \sum_{j \neq i} v_j(a^*(\theta_{-i}))$. Le second terme ne dépend pas de la déclaration de $i$. Donc $i$ maximise son gain en choisissant sa déclaration pour maximiser $\sum_j v_j(a^*(\theta))$, ce qui se produit lorsqu'il déclare véridiquement, puisque $a^*$ maximise déjà la valeur totale.
Ce que cela dit : Vous payez le dommage que votre présence impose à tous les autres, c'est-à-dire la différence entre ce que les autres auraient pu obtenir sans vous et ce qu'ils obtiennent avec vous dans la salle. Cette facture ne dépend que des valeurs des autres, jamais de votre propre déclaration, et vous ne pouvez donc pas la réduire en biaisant ce que vous déclarez.
Pourquoi c’est important : Comme votre paiement est fixé par les autres, votre seul levier restant est d'aider le mécanisme à retenir le résultat qui maximise la valeur totale, et ce résultat est le meilleur pour vous précisément lorsque vous déclarez votre vraie valeur. Mentir ne peut que détourner l'allocation de celle qui est efficiente, ce qui ne peut jamais vous avantager. C'est pourquoi la déclaration véridique est une stratégie dominante : elle fonctionne quoi que fassent les autres. Dans le cas d'un objet unique, cette règle est exactement l'enchère au second prix (Vickrey), où le gagnant paie la deuxième enchère la plus élevée.
En mode complet, l'algèbre montre que le second terme du gain ne dépend pas de la déclaration de l'agent $i$.Entrez les valeurs des agents pour un objet unique indivisible. Le calculateur calcule les paiements VCG (équivalent à une enchère au second prix pour un objet unique).
Figure 12.2. Valeurs des agents et paiements VCG. Chaque agent paie l'externalité qu'il impose aux autres. Le gagnant paie la deuxième valeur la plus élevée (dans une enchère à objet unique, le VCG se réduit à l'enchère de Vickrey).
Trois citoyens évaluent un pont à $v_1 = 30$, $v_2 = 25$, $v_3 = 15$. Le coût est $C = 60$.
Construire si $\sum v_i > C$ : $70 > 60$ → oui.
Paiements de la taxe de Clarke :
Total collecté : $20 + 15 + 5 = 40 < 60$. Il y a un déficit budgétaire de 20, car le VCG n'atteint généralement pas l'équilibre budgétaire. Chaque agent paie sa contribution « pivot ».
| Format | Règles | Le gagnant paie |
|---|---|---|
| Anglaise (ascendante) | Les enchérisseurs augmentent les enchères ; le dernier gagne | Deuxième valeur la plus élevée (approx.) |
| Hollandaise (descendante) | Le prix baisse jusqu'à ce que quelqu'un réclame | Son enchère |
| Enchère scellée au premier prix | L'enchère la plus élevée gagne | Son enchère |
| Enchère scellée au second prix (Vickrey) | L'enchère la plus élevée gagne | Deuxième enchère la plus élevée |
L'enchère de Vickrey (enchère scellée au second prix) est DSIC : la stratégie dominante de chaque enchérisseur est d'enchérir sa vraie valeur $v_i$. Enchérir au-dessus de $v_i$ risque de gagner à un prix supérieur à la valeur, enchérir en dessous risque de perdre quand la deuxième enchère la plus élevée est inférieure à $v_i$.
L'implication : dans ces conditions, les différences entre les formats d'enchères (ouvertes vs scellées, ascendantes vs descendantes, premier prix vs second prix) n'affectent pas le revenu espéré.
L'équivalence des revenus se brise dans plusieurs cas courants :
Définissez le nombre d'enchérisseurs et leur distribution de valeurs. Lancez des enchères uniques pour voir les résultats individuels, ou lancez 100 tours pour observer l'équivalence des revenus (les revenus moyens convergent entre les formats). Ajustez le curseur d'aversion au risque pour briser l'équivalence.
Figure 12.3. Résultats des enchères. En exécution unique, les revenus diffèrent selon les formats en raison du hasard. Sur 100 exécutions, les revenus moyens convergent, démontrant l'équivalence des revenus. Augmentez l'aversion au risque ($\rho > 0$) pour briser l'équivalence : le revenu du premier prix dépasse celui du second prix.
Quand le vendeur veut maximiser le revenu plutôt que l'efficience, Myerson a montré que le mécanisme optimal utilise la valeur virtuelle :
où $F$ est la CDF et $f$ est la PDF de la distribution des valeurs de l'enchérisseur.
L'enchère optimale alloue à l'enchérisseur ayant la valeur virtuelle la plus élevée, à condition qu'elle soit positive. Si toutes les valeurs virtuelles sont négatives, le vendeur conserve l'objet. Cela implique un prix de réserve : le vendeur fixe une enchère minimale égale à $\psi^{-1}(0)$.
Ce que cela dit : Un vendeur qui maximise son revenu ne prend pas une offre pour argent comptant. Chaque offre est mentalement minorée de la « rente informationnelle » que le vendeur doit concéder pour garder les enchérisseurs honnêtes, et le chiffre ainsi minoré est la valeur virtuelle de l'enchérisseur. Le vendeur attribue l'objet à la valeur virtuelle la plus élevée, et il ne vend que si cette valeur, déjà minorée, reste positive.
Pourquoi c’est important : Ce seuil où la valeur virtuelle s'annule est précisément le prix de réserve optimal. En dessous, garder l'objet vaut mieux que le vendre, car le revenu supplémentaire tiré des enchérisseurs à haute valeur par une réserve élevée l'emporte sur les ventes perdues auprès des enchérisseurs à faible valeur. C'est pourquoi même un vendeur qui n'accorde aucune valeur à l'objet doit parfois refuser de vendre : la réserve est un engagement stratégique et non un plancher de coût. La même logique réapparaît en fiscalité optimale du revenu, où le planificateur applique à chaque contribuable une décote égale au coût incitatif de son imposition et ne redistribue que là où le gain, une fois décoté, reste positif.
En mode complet, les Éq. 12.4–12.6 définissent la valeur virtuelle $\psi(\theta)$ et la condition de réserve $\psi(r^*) = 0$.Valeurs uniformément distribuées sur $[0, 1]$ : $F(\theta) = \theta$, $f(\theta) = 1$.
$\psi(\theta) = \theta - (1-\theta)/1 = 2\theta - 1$
$\psi(\theta) = 0 \implies \theta = 1/2$. Prix de réserve optimal = $1/2$.
Une enchère au second prix avec réserve $1/2$ est optimale : l'objet n'est vendu que si au moins un enchérisseur le valorise au-dessus de $1/2$.
Pour des valeurs tirées de Uniform$[0, V_{\max}]$, la valeur virtuelle est $\psi(\theta) = 2\theta - V_{\max}$. Faites glisser le curseur du prix de réserve. La courbe de revenu montre le revenu espéré en fonction de la réserve. La réserve optimale (maximisant le revenu espéré) est mise en évidence.
Figure 12.4a. Fonction de valeur virtuelle $\psi(\theta) = 2\theta - 1$ (pour $U[0,1]$). Le prix de réserve est fixé là où $\psi(r) = 0$. Les enchérisseurs avec $\theta < r$ sont exclus (zone rouge).
Figure 12.4b. Revenu espéré en fonction du prix de réserve. Le point vert marque la réserve optimale maximisant le revenu espéré. Votre réserve choisie est indiquée par un point bleu.
Un gouvernement attribue une licence à l'une de deux entreprises. L'entreprise $i$ a une valeur privée $\theta_i \in \{L, H\} = \{10, 50\}$, chacune également probable.
Attribuer à l'entreprise déclarant la valeur la plus élevée ; en cas d'égalité, attribuer à l'entreprise 1. Le gagnant paie 30.
Vérification IC pour une entreprise à haute valeur ($\theta = 50$) :
La déclaration véridique est meilleure. IC est satisfaite pour le type $H$.
Vérification IC pour une entreprise à faible valeur ($\theta = 10$) :
La déclaration véridique est meilleure. IC est satisfaite pour le type $L$. Le mécanisme est compatible avec les incitations.
Deux enchérisseurs avec des valeurs tirées indépendamment de $U[0, 100]$.
Enchère au second prix : Revenu espéré = $E[\text{2e valeur la plus élevée}] = 100/3 \approx 33.33$.
Enchère au premier prix : Enchère optimale avec 2 enchérisseurs : $b(\theta) = \theta/2$. Revenu espéré = $E[\max(b_1, b_2)] = E[\max(\theta_1/2, \theta_2/2)] = E[\max(\theta_1, \theta_2)]/2 = (200/3)/2 = 100/3 \approx 33.33$.
Les deux formats produisent un revenu espéré de $100/3$, confirmant l'équivalence des revenus. L'enchère au premier prix génère un revenu moins variable (chaque gagnant paie exactement la moitié de sa valeur) tandis que l'enchère au second prix a une variance plus élevée (le paiement dépend de la deuxième valeur la plus élevée, qui peut varier considérablement).
Le vendeur veut surdéclarer son coût pour obtenir un prix plus élevé. L'acheteur veut sous-déclarer sa valeur pour payer moins. La compatibilité incitative exige de laisser des « rentes informationnelles » aux deux parties. Ces rentes sont coûteuses, et avec l'équilibre budgétaire, il n'y a pas assez de surplus pour payer les deux rentes et garantir que tous les échanges efficients aient lieu.
La négociation réelle sous information privée implique toujours une certaine inefficience : négociations salariales, achats de voitures d'occasion, fusions-acquisitions. Les institutions comme les prix affichés, les systèmes de réputation et les contrats standardisés atténuent le problème mais ne peuvent l'éliminer complètement.
Certains biens ne peuvent être alloués par les prix : on ne vend pas (ou ne devrait pas vendre) les admissions scolaires, les transplantations d'organes ou les postes de résidence. Les marchés d'appariement utilisent des algorithmes à la place.
Ce que cela dit : Regardez tourner l'algorithme d'acceptation différée : les proposants ne font que descendre leur liste de préférences (chaque rejet les envoie vers un choix moins bien classé), tandis que les répondants ne font que remonter (ils n'échangent jamais un partenaire provisoire que contre un meilleur). Un proposant ne revient jamais vers un répondant qui l'a rejeté, si bien que le processus ne peut pas boucler indéfiniment, et il s'arrête vite (en au plus $n^2$ tours).
Pourquoi c’est important : Quand il s'arrête, l'appariement est stable : il n'existe aucune paire dont les deux membres se préfèrent mutuellement à leurs partenaires assignés, de sorte que personne n'a intérêt à quitter son partenaire pour un autre. La stabilité est exactement ce qui rend un appariement auto-exécutoire, capable de tenir sans aucun prix ni paiement. C'est pourquoi le même algorithme régit l'appariement des résidents médicaux, le choix scolaire et l'échange de reins : il produit un résultat stable sur des marchés où l'argent ne peut pas faire l'allocation.
En mode complet, l'Éq. 12.8 énonce la borne de terminaison et la garantie d'appariement stable.Théorème (Gale & Shapley, 1962). L'algorithme termine en au plus $n^2$ tours et produit un appariement stable : aucune paire non appariée ne préfère mutuellement l'autre à son partenaire actuel.
L'algorithme d'acceptation différée possède quatre propriétés à noter :
Entrez les listes de préférences des étudiants et des écoles. L'algorithme anime chaque tour : propositions, acceptations provisoires et rejets. Entrez les préférences sous forme de noms séparés par des virgules (par ex. « W,X,Y,Z »).
Quatre étudiants (A, B, C, D) et quatre écoles (W, X, Y, Z). Les étudiants proposent.
| Étudiant | Préférences | École | Préférences |
|---|---|---|---|
| A | W > X > Y > Z | W | B > A > D > C |
| B | X > W > Y > Z | X | A > B > C > D |
| C | W > Y > X > Z | Y | C > D > A > B |
| D | Y > W > X > Z | Z | D > C > B > A |
L'appariement final est A-W, B-X, C-Y, D-Z, qui est stable : aucune paire ne veut dévier. Utilisez l'interactif ci-dessus pour vérifier étape par étape.
Exécutez Gale-Shapley avec les étudiants proposant vs les écoles proposant. Comparez les deux appariements stables. Le côté proposant obtient toujours son meilleur appariement stable, le côté répondant son plus mauvais.
Alvin Roth (Nobel 2012, partagé avec Lloyd Shapley) décrit cela comme l'approche de « l'économiste ingénieur » : utiliser la théorie économique non seulement pour expliquer le monde mais pour concevoir des institutions réelles qui améliorent la vie des gens.
Les marchés ne sont pas des objets naturels qui surgissent spontanément. Ce sont des institutions conçues : des règles, algorithmes et mécanismes d'application qui déterminent qui obtient quoi, à quel prix et par quel processus. Les choix de conception déterminent les résultats.
La ville décide de mettre aux enchères le droit exclusif d'exploiter un stand de limonade au coin le plus prisé du centre-ville. Trois vendeurs potentiels : Maya ($v_M = 50$/jour), Nate ($v_N = 35$/jour), Olivia ($v_O = 20$/jour). Valeurs tirées de $U[0, 60]$.
Enchère au second prix (Vickrey) : La stratégie dominante est d'enchérir véridiquement. Maya enchérit 50, Nate enchérit 35, Olivia enchérit 20. Maya gagne, paie 35.
Enchère optimale (Myerson) : Valeurs virtuelles avec $F(\theta) = \theta/60$, $f(\theta) = 1/60$ :
$\psi(\theta) = \theta - (60 - \theta) = 2\theta - 60$
Prix de réserve : $\psi(\theta) = 0 \implies \theta = 30$.
Valeur virtuelle de Maya : $2(50) - 60 = 40$. Nate : $10$. Olivia : $-20$ (exclue par l'enchère optimale).
Dans une enchère au second prix avec réserve 30 : Maya gagne, paie $\max(35, 30) = 35$.
Roth, « l'économiste ingénieur ». Alvin Roth (prix Nobel 2012) a transformé la conception de mécanismes d'une théorie pure en une discipline pratique qui refond les marchés réels. Son travail démontre que les marchés sont des institutions conçues, non des phénomènes naturels.
Le National Residency Matching Program (NRMP) : Roth a diagnostiqué pourquoi l'ancien système d'appariement des résidents médicaux échouait (instabilité, manipulation stratégique) et l'a refondu en utilisant l'acceptation différée. Le nouveau système apparie environ 40 000 résidents médicaux par an.
Échange de reins : Roth, Sönmez et Ünver ont conçu des protocoles d'échange permettant aux paires donneur-patient incompatibles d'échanger des donneurs à travers des chaînes de transplantations, sauvant des milliers de vies. C'était du pur design de marché : créer un marché là où aucun n'existait, sans utiliser de prix.
Choix scolaire : Roth et ses collègues ont remplacé le mécanisme manipulable d'affectation scolaire de Boston par un système non manipulable. Sous l'ancien système, les parents qui déclaraient leurs vraies préférences étaient pénalisés, alors que sous le nouveau l'honnêteté est toujours optimale.
Enchères de spectre : Milgrom et Wilson (prix Nobel 2020) ont conçu des enchères combinatoires pour la FCC, levant des milliards de dollars tout en allouant efficacement les licences de spectre. L'enchère incitative de 2017 a levé à elle seule \$19,8 milliards.
Le fil conducteur : la théorie économique fournit le plan, mais la mise en œuvre nécessite de comprendre le contexte institutionnel spécifique, les « détails » que la théorie pure abstrait.
Voir où se situe la conception de mécanismes dans la généalogie plus large des idées économiques, ainsi que la filiation qui va de la théorie des jeux de von Neumann à la conception de marchés réels, dans le graphe de généalogie intellectuelle (chronologie de l'Histoire de la pensée économique).
La filiation intellectuelle derrière cet appareil théorique, le programme de compatibilité incitative de Hurwicz, Maskin et Myerson sur l'implémentation et les enchères optimales, Roth sur l'appariement, Milgrom et Wilson sur la conception d'enchères (prix Nobel 2007 et 2020), fait l'objet de Histoire de la pensée économique, chapitre 11 (L'économie de l'information et la révolution de la théorie des jeux).
Hurwicz a présenté la conception de mécanismes comme une réponse à un problème posé d'abord par les Autrichiens : comment amener des agents décentralisés, détenteurs chacun d'une information privée, à agir sur un savoir qu'aucun planificateur central ne possède ? Sur ce débat plus ancien, le « problème de la connaissance » de Hayek et l'idée que la concurrence est un processus de découverte plutôt qu'un état final que l'on pourrait concevoir, voir la tradition autrichienne (Histoire de la pensée économique, chapitre 6).
Le tournant vers l'ingénierie a mis cent vingt ans à s'accomplir. En 1874, un ingénieur français, Léon Walras, a tenté d'écrire d'un seul coup tous les prix de l'économie comme un unique système d'équations simultanées, et la référence concurrentielle qui en est sortie décrivait des marchés que personne n'avait construits. Avec la conception d'enchères, l'acceptation différée et les chaînes de transplantations rénales évoquées plus haut, la description devient un plan de construction. Structure de marché : comment l'économie est passée de la description des marchés à leur construction retrace ce cheminement et demande si l'ingénierie a tenu ses promesses.
| Libellé | Équation | Description |
|---|---|---|
| Éq. 12.1 | $U_i(\theta_i, \theta_i) \geq U_i(\hat{\theta}_i, \theta_i)$ pour tout $\hat{\theta}_i, \theta_{-i}$ | DSIC |
| Éq. 12.2 | $E[U_i(\theta_i, \theta_i)] \geq E[U_i(\hat{\theta}_i, \theta_i)]$ | BIC |
| Éq. 12.3 | $t_i = \sum_{j \neq i} v_j(a^*(\theta_{-i})) - \sum_{j \neq i} v_j(a^*(\theta))$ | Paiement VCG |
| Éq. 12.4 | $\psi(\theta) = \theta - (1-F(\theta))/f(\theta)$ | Valeur virtuelle de Myerson |
Littérature citée : Myerson (1981) ; Vickrey (1961) ; Clarke (1971) ; Groves (1973) ; Gale & Shapley (1962) ; Roth (2002) ; Milgrom (2004).
Dans la Partie V : la macroéconomie de niveau master. Les modèles deviennent sérieux, et les débats politiques aussi.