L'économétrie du chapitre 10 reposait sur une hypothèse discrète : les observations sont des tirages indépendants dans une population fixe. Randomisez un traitement, trouvez un instrument, exploitez une discontinuité, et l'échantillonnage i.i.d. qui justifie les résultats asymptotiques se charge du reste. La plupart des données sur lesquelles travaille réellement un macroéconomiste ou un chercheur en finance n'arrivent pas ainsi. Elles arrivent en ordre. PIB trimestriel, inflation mensuelle, taux directeur au jour le jour, rendements boursiers quotidiens : chaque observation est voisine de celles qui l'entourent dans le temps, et ce qui s'est passé au trimestre dernier fait partie de ce qui détermine celui-ci.
Cet ordre change tout ce qui suit. La dépendance sérielle fait que des observations consécutives portent une information qui se recoupe : l'échantillon effectif est plus petit que ne le laisse croire le nombre de points, et les formules d'erreur-type des MCO en coupe transversale sous-estiment l'incertitude. Pire, beaucoup de séries économiques suivent une tendance et montent au fil des décennies sans moyenne fixe où revenir. Faites une régression ordinaire sur deux séries de ce genre et vous obtiendrez un $R^2$ élevé et une statistique $t$ sans appel reliant des grandeurs qui n'ont rien à voir l'une avec l'autre. Sur des données ordonnées, la boîte à outils transversale perd en efficacité ; sur des données à tendance, elle fabrique des relations qui n'existent pas.
Il faut un autre outillage, organisé autour d'une question (quel type de processus a engendré cette série ?) et d'une seconde question, multivariée, dès que plusieurs séries entrent en jeu : quels chocs ont fait bouger le système, et peut-on seulement le dire ? La réponse à la première va de la stationnarité aux modèles ARMA puis aux tests de racine unitaire. La réponse à la seconde va du vecteur autorégressif à son interprétation structurelle, là où les données décrivent comment les variables bougent ensemble sans jamais dire laquelle a bougé la première.
Pourquoi c’est important : Les données ordonnées dans le temps se souviennent de leur passé, et les méthodes qui ignoraient cet ordre vous égareront. Une régression qui traite le PIB de cette année comme un tirage indépendant relit sans cesse le même lent glissement et le prend pour une preuve. Prendre l'ordre au sérieux, c'est déterminer si une série revient se poser autour d'un centre ou s'en éloigne pour toujours, et déterminer, quand plusieurs séries bougent ensemble, laquelle pousse les autres.
Prérequis : le cadre d'identification, les MCO et la note sur l'autocorrélation du chapitre 10 (Fondements de l'économétrie) ; l'algèbre linéaire (le VAR est matriciel) ; les bases de probabilités. L'intuition des processus stochastiques est construite ici.
Les méthodes qui suivent n'ont pas toujours fait partie de la science économique. Tout au long des années 1970, la discipline a appris à prendre la dimension temporelle au sérieux, largement grâce aux travaux de Clive Granger et Robert Engle sur les relations de long terme et la volatilité et de Christopher Sims sur la dynamique multivariée. Leur programme a remodelé la façon dont les macroéconomistes traitent les données. Cette filiation intellectuelle, à savoir qui est parvenu à ces idées et contre quoi, relève du livre Histoire de la pensée économique, où elle est retracée dans son chapitre consacré à l'ère de l'économie de l'information et de la théorie des jeux.
Avant d'ajuster le moindre modèle, la série doit être le genre d'objet qu'un modèle peut décrire. L'idée organisatrice est la stationnarité. Un processus stationnaire est un processus dont le caractère probabiliste est stable dans le temps : le même mécanisme engendre les données au début de l'échantillon et à la fin. Si c'est le cas, le passé renseigne sur l'avenir d'une manière qui ne change pas elle-même ; sinon, les paramètres estimés visent une cible mouvante.
L'opérateur retard transforme la dynamique en algèbre. Un polynôme $\phi(L)=1-\phi_1 L-\cdots-\phi_p L^p$ appliqué à $y_t$ encode toute une autorégression en un seul symbole, et le processus est stationnaire exactement lorsque les racines de $\phi(z)=0$ sont à l'extérieur du cercle unité. Quand une racine se trouve sur le cercle unité, la stationnarité est perdue : c'est la racine unitaire du §23.3.
Ici $\{\varepsilon_t\}$ est un bruit blanc, les $\psi_j$ sont des poids de carré sommable avec $\psi_0=1$, et $\kappa_t$ est la part de $y_t$ parfaitement prévisible à partir de son propre passé (une tendance déterministe ou une saisonnalité). C'est la sommabilité des carrés des poids qui maintient la variance finie, et c'est le contenu formel de « l'influence d'un choc ancien s'estompe ».
Pourquoi c’est important : Un processus stationnaire est un processus dont le caractère statistique ne bouge pas. Faites glisser une fenêtre le long de la série et l'image à l'intérieur reste la même. La moyenne que vous estimeriez sur la première décennie coïncide avec celle de la dernière ; l'amplitude typique des oscillations est partout la même ; la force du lien entre aujourd'hui et le mois dernier ne dépend pas du mois choisi. Le bruit blanc en est le cas le plus pur : de la surprise à l'état pur, sans mémoire. Et le résultat de Wold dit que toute autre série régulière n'est qu'un flux de ces surprises, les anciennes s'estompant à mesure que les nouvelles arrivent. La figure ci-dessous vous permet de voir une série rester amarrée à sa moyenne, puis de la pousser jusqu'au point où l'amarre cède.
Figure 23.1. Explorateur de processus stationnaires et non stationnaires. Une trajectoire AR(1) simulée $y_t = \delta + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$ avec sa moyenne empirique. À $\phi$ faible, la série colle à sa moyenne (stationnaire). À mesure que $\phi \to 1$, elle s'écarte davantage et revient plus lentement. À $\phi = 1$, elle devient une marche aléatoire, sans retour à la moyenne et à chocs permanents (le cas limite du §23.3). Faites passer le curseur de part et d'autre de $\phi = 1$ ; activez la dérive ; régénérez les chocs pour vérifier que le comportement est générique.
Une fois une série reconnue stationnaire, la question suivante est de savoir comment la modéliser. Deux façons élémentaires dont une série peut se souvenir de son passé se combinent en une seule famille.
Une série stationnaire se souvient, et il y a deux façons nettes d'écrire ce dont elle se souvient. Elle peut reporter ses propres valeurs passées, de sorte qu'une production élevée au trimestre dernier relève la production attendue ce trimestre-ci. Ou elle peut reporter les échos des surprises passées, un choc qui met quelques périodes à se propager dans le système. La première façon est l'autorégression, la seconde la moyenne mobile. Combinez-les et vous obtenez le modèle de référence des séries temporelles univariées.
L'ACF et la PACF sont les instruments de diagnostic de la démarche de modélisation de Box-Jenkins, et la règle qui les rend utiles tient à un contraste dans leur façon de décroître. Un processus AR pur a une PACF qui s'annule brutalement après le retard $p$ (une fois contrôlés les $p$ premiers retards, rien de plus n'ajoute de contenu prédictif), tandis que son ACF décroît graduellement. Un processus MA pur est l'image inverse : son ACF s'annule après le retard $q$ tandis que sa PACF décroît. Le contraste entre annulation et décroissance est la façon dont un praticien lit l'ordre d'un modèle sur les données.
La prévision à partir d'un modèle ARMA découle de l'algèbre de l'opérateur retard. La prévision à un pas fixe les innovations futures à leur espérance nulle et déroule les coefficients estimés. La prévision à plusieurs pas itère cette récurrence, et comme le processus est stationnaire, la prévision converge vers la moyenne inconditionnelle $\mu$ à mesure que l'horizon s'allonge, la variance de l'erreur de prévision montant jusqu'à la variance inconditionnelle.
Pourquoi c’est important : Une série AR reporte son propre passé : le niveau d'aujourd'hui est une copie affaiblie de celui d'hier. Une série MA reporte les échos des surprises passées, un choc qui résonne quelques périodes puis disparaît. Elles laissent des empreintes différentes, et les deux graphiques de diagnostic lisent ces empreintes : pour un processus AR, le graphique d'autocorrélation partielle tombe à zéro d'un coup tandis que l'autocorrélation simple s'éteint lentement ; pour un processus MA, c'est l'inverse. La prévision ne demande ensuite aucune idée nouvelle. Sans surprise fraîche à attendre, la meilleure estimation pour un avenir lointain est la moyenne de long terme, et le modèle vous dit à quelle vitesse on l'atteint. Réglez les curseurs ci-dessous sur un AR pur et regardez un graphique tomber d'un coup à zéro ; passez à un MA pur et regardez l'autre faire de même.
Figure 23.2. Simulateur ARMA(1,1) avec ACF et PACF empiriques. Réglez un AR(1) pur ($\theta_1=0$) : la PACF présente un pic au retard 1 puis s'annule, tandis que l'ACF décroît géométriquement. Réglez un MA(1) pur ($\phi_1=0$) : l'ACF présente un pic au retard 1 puis s'annule, tandis que la PACF décroît. Le contraste entre annulation et décroissance est la règle d'identification de Box-Jenkins. Déplacez les curseurs.
Tout cela supposait la série stationnaire. Les graphiques de diagnostic, les prévisions, le sens des coefficients : chacun repose sur une moyenne où revenir et sur une variance finie. Que se passe-t-il quand la série n'a ni l'une ni l'autre ?
Poussez le coefficient AR(1) jusqu'à un et la machinerie du §23.2 se grippe. La série n'a plus de moyenne où revenir. La figure 23.1, tirée de part et d'autre de $\phi = 1$, le montrait directement. En dessous de un, la série est amarrée et un choc s'amortit ; à exactement un, l'amarre cède et un choc devient permanent. Ce cas limite est la marche aléatoire, qui domine la macroéconomie parce que tant de séries se comportent ainsi.
La raison pour laquelle on ne peut pas ignorer une racine unitaire, c'est le piège qu'elle tend à la régression ordinaire. Prenez deux marches aléatoires engendrées de façon complètement indépendante l'une de l'autre. Régressez l'une sur l'autre et, bien plus souvent que le hasard ne le permettrait, vous trouverez un $R^2$ élevé et une statistique $t$ qui franchit confortablement n'importe quel seuil usuel. La régression annonce une relation forte entre des séries qui n'ont rien en commun. C'est le résultat de régression fallacieuse contre lequel Granger et Newbold ont mis en garde en 1974, et il renverse l'intuition selon laquelle un $R^2$ élevé assorti d'un $t$ significatif veut dire quelque chose de réel.
Sous $H_0:\gamma=0$, le niveau $y_{t-1}$ disparaît et $\Delta y_t$ n'est plus mû que par ses propres différences retardées et par le bruit : une racine unitaire. Rejeter $H_0$ au profit de $\gamma<0$ signifie qu'un écart au niveau est en partie ramené, autrement dit que la série est stationnaire. Les différences retardées sont l'« augmentation » qui absorbe l'autocorrélation de $\varepsilon_t$ pour que le test reste valide. Le nombre de retards $k$ est choisi par un critère d'information.
Pourquoi c’est important : Une marche aléatoire n'a pas de pesanteur. Une série stationnaire est retenue par une amarre : écartez-la de son centre et elle revient. Une marche aléatoire n'a rien qui la ramène chez elle, si bien qu'un choc d'aujourd'hui ne s'efface jamais et que la série vagabonde là où les chocs accumulés la mènent. Une racine unitaire, c'est la permanence au lieu de l'amortissement. Deux vagabondes lâchées indépendamment finiront toutes deux par s'éloigner quelque part sur un long échantillon, et deux choses qui s'éloignent paraîtront corrélées, parce qu'une droite passant dans le nuage penche forcément d'un côté ou de l'autre. Votre régression signalera une relation forte entre deux séries qui ne se sont jamais rencontrées. Le remède est de poser d'abord la bonne question, celle de savoir si cette série est amarrée ou vagabonde, à l'aide d'un test formel de racine unitaire, puis d'étudier les vagabondes dans leurs variations (leurs différences) plutôt que dans leurs niveaux. Dans la figure ci-dessous, régénérez les deux marches indépendantes et regardez une relation « significative » réapparaître encore et encore à partir de rien.
Figure 23.3. Démonstrateur de régression fallacieuse. Deux marches aléatoires engendrées avec des chocs indépendants, tracées ensemble. L'affichage donne la régression MCO de l'une sur l'autre avec son $R^2$ et sa statistique $t$. Régénérez et regardez un $R^2$ élevé et un $t$ « significatif » revenir tirage après tirage : le piège est systématique. Basculez la régression sur les différences premières et la relation apparente s'effondre. Régénérez ; basculez entre niveaux et différences.
Un exemple récurrent. Le PIB réel des États-Unis est-il une marche aléatoire ? Ajustez un AR(1) sur son logarithme et le coefficient estimé ressort très proche de un ; faites un test ADF et il ne rejette généralement pas l'hypothèse nulle de racine unitaire. En pratique, cela veut dire que la production se modélise mieux en taux de croissance (en différences premières) qu'en niveaux.
Jusqu'ici, une série à la fois. Les questions macroéconomiques portent d'ordinaire sur plusieurs séries en même temps, la production et l'inflation, ou le taux d'intérêt et le taux de change, qui bougent ensemble. Les outils à une équation se généralisent en un système.
La plupart des questions macroéconomiques intéressantes mettent en jeu plus d'une variable. L'inflation et le taux directeur se répondent l'un à l'autre ; la production, les prix et la monnaie bougent comme un système. Le vecteur autorégressif est la généralisation naturelle du modèle AR à ce cadre. Empilez les variables dans un vecteur et laissez chaque variable dépendre du passé récent de toutes.
Comme toutes les équations ont les mêmes régresseurs, à savoir les retards de toutes les variables, les MCO appliqués équation par équation sont efficaces et aucun estimateur de système n'est requis pour la forme réduite. Les matrices $A_i$ estimées et la covariance des résidus $\Sigma$ résument la dynamique.
Un VAR sous forme réduite fournit deux choses presque gratuitement. Il prévoit conjointement le système entier, souvent mieux qu'un modèle structurel parce qu'il impose peu de restrictions, et il teste la causalité au sens de Granger, en indiquant quelles séries portent un contenu prédictif sur quelles autres. La réponse impulsionnelle et la décomposition de la variance semblent promettre une troisième chose, une explication de ce qui se passe après un choc. Mais les innovations $\mathbf{u}_t$ sont corrélées d'une équation à l'autre. Un mouvement du résidu d'inflation va généralement de pair avec un mouvement du résidu de taux. Alors, quand le système « répond à un choc », de quel choc s'agissait-il ? La forme réduite ne peut pas le dire.
Pourquoi c’est important : Un VAR laisse chaque variable dépendre du passé récent de toutes les autres. Cela apporte immédiatement deux choses : une prévision conjointe du système entier, et un test disant quelle série aide à en prévoir quelle autre, ce qu'on appelle la « causalité au sens de Granger ». Aider à prévoir n'est pas causer. Savoir que les ventes de glaces aident à prévoir les noyades ne veut pas dire que la glace provoque les noyades : c'est l'été qui produit les deux. Un VAR peut vous dire que le taux directeur aide à prévoir l'inflation, ce qui est utile, mais il s'arrête avant de dire que le taux a fait bouger l'inflation. S'il s'arrête là, c'est que les surprises des différentes équations arrivent ensemble, emmêlées les unes aux autres, si bien que « la réponse du système à un choc » reste ambiguë tant qu'on n'a pas démêlé de quel choc on parle. Ce démêlage est le problème d'identification.
Figure 23.4. Explorateur de réponses impulsionnelles VAR / SVAR. Un système à deux variables, l'inflation et le taux directeur, le VAR monétaire de l'exemple récurrent. Choisissez la variable choquée et le panneau montre les réponses dynamiques des deux variables. Les affichages de causalité au sens de Granger et de décomposition de la variance se mettent à jour. Au §23.5, inversez l'ordre de Cholesky et regardez les réponses impulsionnelles changer : mêmes données, autre hypothèse d'identification, autre lecture économique. Choisissez le choc ; réglez l'horizon ; inversez l'ordre.
Les réponses impulsionnelles que vous venez d'engendrer supposaient un ordre, un choix sur la variable qui peut faire bouger l'autre à l'intérieur de la période. Ce choix a été fait sans bruit. Le mettre au grand jour est l'étape structurelle, et c'est là que les données cessent de pouvoir trancher le débat.
Les résidus de la forme réduite sont corrélés, et cette corrélation est le problème. Un choc économique, disons un durcissement surprise de la politique monétaire, devrait être une perturbation unique dotée d'une interprétation claire. Mais l'innovation de forme réduite de l'équation de taux est contaminée par tout ce qui a fait bouger l'inflation au même instant, et réciproquement. Les résidus sont des mélanges. Pour retrouver les chocs structurels sous-jacents, il faut préciser comment les mélanges se sont formés, et les données ne contiennent pas cette information.
Pour un système à deux variables, $\Sigma=BB'$ fournit trois équations (deux variances et une covariance) pour les quatre éléments de $B$. Il manque une restriction. L'imposer, c'est identifier, et les réponses impulsionnelles à l'horizon $h$, données par $\Theta_h = A^h B$, héritent de ce qui a été imposé.
Trois familles de restrictions sont d'usage courant, et la figure 23.4 vous fait sentir la conséquence de la plus répandue. Basculez l'ordre de Cholesky entre « taux d'abord » et « inflation d'abord » et les réponses impulsionnelles changent visiblement de forme. Rien n'a changé dans les données : mêmes résidus, même dynamique estimée. Ce qui a changé, c'est l'hypothèse sur la variable qui peut faire bouger l'autre à l'intérieur de la période, et cette hypothèse a réécrit la lecture économique. Les restrictions de nullité de court terme comme celles de Cholesky sont une option ; les restrictions de long terme, qui supposent qu'un choc n'a pas d'effet permanent sur telle variable (la décomposition des chocs de demande et d'offre de Blanchard et Quah en est l'exemple type), en sont une autre ; les restrictions de signe sont l'alternative moderne, qui rapporte l'ensemble identifié plutôt qu'une courbe unique.
Ici, la discipline se divise. Christopher Sims, qui a introduit le VAR en macroéconomie, soutenait que les restrictions d'identification élaborées des anciens modèles structurels étaient « non crédibles », des hypothèses imposées par commodité de calcul, et qu'une macroéconomie empirique honnête devait laisser parler les données avec le moins de restrictions possible. La position adverse tient que sans un minimum de structure économique les réponses impulsionnelles sont ininterprétables, et que la bonne démarche consiste donc à imposer des restrictions défendables en les explicitant. Les deux positions sont sérieuses, et la bascule que vous venez d'utiliser porte exactement sur leur désaccord : quelle part d'identification les données peuvent honnêtement soutenir, et que faire de l'écart.
Le verdict sur la question de savoir si ce sont les VAR athéoriques ou l'identification structurelle qui l'ont emporté est débattu en détail dans la Grande Question consacrée à la crédibilité de la méthodologie économétrique.
Pourquoi c’est important : Les données vous livrent des chocs corrélés. Les surprises de l'inflation et celles du taux d'intérêt arrivent emmêlées. Pour en tirer une explication économique, il faut dire dans quel sens pointe la flèche à l'intérieur d'une même période : le taux a-t-il bougé d'abord, l'inflation suivant, ou l'inverse ? C'est à la science économique de fournir cette flèche, car les données ne le peuvent pas. Elles montrent seulement que les deux bougent ensemble. Cette seule hypothèse ajoutée, celle que les données ne peuvent pas vérifier, décide de toute la réponse. Dans la figure, inverser l'ordre laisse identique chaque nombre du jeu de données et retourne pourtant l'interprétation. Ce que craignait Sims, c'est que les économistes introduisent subrepticement des flèches qu'ils ne pouvaient pas justifier et présentent le résultat comme une découverte. L'autre camp répond qu'on ne peut pas éviter de choisir une flèche : autant en choisir une que l'on peut défendre, et le dire tout haut.
Les systèmes vus jusqu'ici étaient bâtis sur des séries stationnaires ou différenciées. Mais différencier peut jeter quelque chose de réel. Quand deux séries vagabondent ensemble, prendre leurs variations efface la relation qui les lie. La cointégration la récupère.
Rappelez-vous l'avertissement sur la régression fallacieuse. Deux vagabondes indépendantes paraissent liées, et le remède est de les étudier en différences. Mais il arrive que deux vagabondes soient véritablement attachées, non pas chacune à une moyenne fixe, mais l'une à l'autre. Les taux d'intérêt de court et de long terme s'éloignent au fil des décennies, et pourtant l'écart entre eux reste dans une bande. La consommation et le revenu montent tous deux, et pourtant leur rapport est stable. Différencier une telle paire supprimerait précisément la relation de long terme qui compte. La cointégration est l'outillage à employer quand la relation est réelle.
Si le coefficient de correction d'erreur vaut $\lambda = -0.2$, alors un cinquième de tout écart à la relation de long terme est effacé chaque période ; si $\lambda = 0$, il n'y a aucun rappel et les séries ne sont pas cointégrées du tout, si bien que la « relation » est du type fallacieux du §23.3. Le théorème de représentation de Granger est ce qui rend tout cela respectable. Il garantit que chaque fois qu'il y a véritablement cointégration, un modèle à correction d'erreur est la bonne façon d'écrire la dynamique, de sorte qu'estimer le MCE est la forme qui en découle. La procédure de Johansen étend l'idée aux systèmes comptant éventuellement plusieurs relations d'équilibre, et son test de rang répond à la question de leur nombre.
Pourquoi c’est important : Deux séries peuvent vagabonder chacune sans fin sans jamais s'éloigner l'une de l'autre, comme deux chiens détachés mais reliés par une corde courte. Chacun va où il veut ; la corde empêche la distance entre eux de grandir. Cette distance partagée est l'équilibre de long terme, et la vitesse à laquelle la corde les ramène quand ils s'écartent est le terme de correction d'erreur. C'est exactement l'inverse du piège de la régression fallacieuse : là, deux vagabondes paraissaient seulement liées ; ici, elles le sont vraiment, et la corde existe. Le conseil était plus haut de différencier les vagabondes avant de les étudier, mais si vous différenciez une paire reliée par la corde, vous coupez la corde et perdez précisément ce que vous vouliez voir. La figure ci-dessous met la tension de la corde sur un curseur. À zéro, les deux séries s'éloignent librement l'une de l'autre, et à mesure que vous la tendez, l'écart entre elles se range dans une bande stationnaire alors même que chaque série continue de vagabonder.
Figure 23.5. Explorateur de cointégration et de correction d'erreur. Deux séries I(1) partagent une tendance stochastique commune ; le second panneau montre leur écart $z_t = y_t - x_t$. À $|\lambda|=0$, l'écart lui-même vagabonde (pas de cointégration). À mesure que $|\lambda|$ augmente, les écarts à la relation de long terme sont ramenés plus vite et l'écart devient visiblement stationnaire. Déplacez la vitesse de correction d'erreur ; régénérez les chocs.
Tout ce qui précède modélisait la moyenne conditionnelle, c'est-à-dire l'endroit où l'on attend la série. La variance conditionnelle, c'est-à-dire le degré d'incertitude de cette attente, a son propre rythme prévisible.
Regardez une longue série de rendements boursiers quotidiens et un trait saute aux yeux avant tout ajustement de modèle. La turbulence vient par paquets. De longues plages calmes faites de petits mouvements sont interrompues par des plages agitées faites de grands mouvements, et les tempêtes durent des jours ou des semaines avant le retour du calme. Les rendements eux-mêmes sont quasi imprévisibles, comme l'efficience des marchés le laisse attendre, mais leur taille ne l'est pas. Les grands mouvements se groupent avec les grands mouvements. C'est le fait stylisé dont les modèles de variance conditionnelle ont été conçus pour rendre compte.
Dans le GARCH(1,1), la somme $\alpha_1+\beta_1$ mesure la persistance et gouverne la lenteur avec laquelle un choc de volatilité s'amortit, et la variance inconditionnelle $\omega/(1-\alpha_1-\beta_1)$ n'est finie que si $\alpha_1+\beta_1<1$. La persistance estimée sur données boursières quotidiennes dépasse couramment $0.95$, ce qui veut dire qu'un pic de volatilité met longtemps à retomber : c'est le contenu empirique de « la turbulence s'installe ».
Pourquoi c’est important : Vous ne pouvez pas prévoir si le rendement de demain sera positif ou négatif ; si vous le pouviez, la transaction serait déjà faite et la prévision effacée. Mais vous pouvez prévoir si demain sera calme ou agité, car calme et agitation se regroupent. Un marché en tempête aujourd'hui vous dit que les prochains jours seront probablement en tempête eux aussi, même s'il ne vous dit rien du sens dans lequel iront les mouvements. Ce partage, où le sens d'une surprise est imprévisible mais où sa taille est prévisible, est l'idée derrière ces modèles. Un grand mouvement aujourd'hui nourrit une amplitude attendue plus grande demain. Quand ce retour est fort, les tempêtes durent longtemps une fois déclenchées. La figure ci-dessous met la persistance sur un cadran. Réglez-le bas et la série ressemble à un bruit sans relief ; poussez-le vers un et regardez les plages calmes et turbulentes s'organiser en longues houles, sans qu'une seule équation soit nécessaire pour le voir.
Figure 23.6. Explorateur du regroupement des volatilités GARCH(1,1). Le panneau du haut montre une série de rendements simulée ; celui du bas montre la volatilité conditionnelle $\sigma_t$ qui l'a engendrée. À persistance faible ($\alpha_1+\beta_1$ petit), les rendements ressemblent à un bruit homoscédastique. À mesure que la persistance approche de 1, les périodes calmes et turbulentes se regroupent nettement et la courbe de volatilité montre de longues houles. Le curseur garantit $\alpha_1+\beta_1<1$. Déplacez les cadrans de persistance ; régénérez les chocs.
Le GARCH(1,1) de base a engendré toute une famille de raffinements, chacun corrigeant une limite. L'EGARCH modélise le logarithme de la variance, ce qui lui permet d'admettre l'« effet de levier », où une mauvaise nouvelle relève la volatilité plus qu'une bonne nouvelle de même ampleur, et le dispense de contraintes de non-négativité. Le GARCH en moyenne (GARCH-M) laisse la variance conditionnelle entrer directement dans l'équation de rendement, ce qui formalise l'idée que les investisseurs exigent des rendements espérés plus élevés quand le risque est élevé. Ces extensions sont le vocabulaire de travail de la finance empirique. Au-delà s'ouvre un front de recherche : l'estimation bayésienne de VAR de grande dimension et les approches par apprentissage automatique de la volatilité et de la prédiction.
| Libellé | Équation | Description |
|---|---|---|
| Éq. 23.1 | $E[y_t]=\mu,\ \mathrm{Var}(y_t)=\sigma^2,\ \mathrm{Cov}(y_t,y_{t-k})=\gamma_k$ | Conditions de stationnarité au second ordre |
| Éq. 23.2 | $y_t = \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\varepsilon_{t-j} + \kappa_t$ | Décomposition de Wold |
| Éq. 23.3 | $y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t$ | AR(p) |
| Éq. 23.4 | $y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q\varepsilon_{t-q}$ | MA(q) |
| Éq. 23.5 | $\phi(L)y_t = \theta(L)\varepsilon_t$ | ARMA sous forme d'opérateur retard |
| Éq. 23.6 | $y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t$ (avec dérive $+\,\delta$) | Marche aléatoire |
| Éq. 23.7 | $\Delta y_t = \alpha + \gamma y_{t-1} + \sum\delta_i\Delta y_{t-i} + \varepsilon_t;\ H_0:\gamma=0$ | Régression de Dickey-Fuller augmentée |
| Éq. 23.8 | $\mathbf{y}_t = \mathbf{c} + A_1\mathbf{y}_{t-1} + \cdots + A_p\mathbf{y}_{t-p} + \mathbf{u}_t$ | VAR(p) sous forme réduite |
| Éq. 23.9 | $\mathbf{u}_t = B\boldsymbol{\varepsilon}_t,\ E[\boldsymbol{\varepsilon}_t\boldsymbol{\varepsilon}_t']=I$ | Correspondance SVAR (des résidus aux chocs structurels) |
| Éq. 23.10 | $\Theta_h = A^h B$ | Réponse impulsionnelle structurelle à l'horizon $h$ |
| Éq. 23.11 | $z_t = y_t - \beta x_t \sim I(0)$ lorsque $y_t, x_t \sim I(1)$ | Relation de cointégration |
| Éq. 23.12 | $\Delta y_t = \lambda(y_{t-1}-\beta x_{t-1}) + \cdots + \varepsilon_t$ | Modèle à correction d'erreur |
| Éq. 23.13 | $\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2$ | Variance conditionnelle ARCH(q) |
| Éq. 23.14 | $\sigma_t^2 = \omega + \sum\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 + \sum\beta_j\sigma_{t-j}^2$ | Variance conditionnelle GARCH(p,q) |
Littérature citée : Wold (1938) ; Box & Jenkins (1970) ; Granger & Newbold (1974) ; Dickey & Fuller (1979) ; Engle (1982) ; Sims (1980) ; Bollerslev (1986) ; Engle & Granger (1987) ; Blanchard & Quah (1989) ; Johansen (1991) ; Hamilton (1994) ; Stock & Watson (2001) ; Enders (2014).