Kapitel 6Marktstrukturen und Spieltheorie

Einleitung

Kapitel 5 leitete die Angebotskurve eines Wettbewerbsunternehmens her: Produziere dort, wo $P = MC$. Dieses Ergebnis setzt jedoch voraus, dass das Unternehmen ein Preisnehmer ist, also so klein im Verhältnis zum Markt, dass es den Preis nicht beeinflussen kann. Viele reale Märkte verletzen diese Annahme. Ein einzelner Verkäufer (Monopolist) setzt seinen eigenen Preis. Eine Handvoll großer Unternehmen (Oligopolisten) müssen die Reaktionen ihrer Rivalen berücksichtigen. Dieses Kapitel gibt einen Überblick über das Spektrum der Marktstrukturen und führt die Spieltheorie als Sprache für strategische Interaktion ein.

Am Ende dieses Kapitels werden Sie in der Lage sein:
  1. Das langfristige Wettbewerbsgleichgewicht charakterisieren und die Null-Gewinn-Bedingung erklären
  2. Das Preissetzungsproblem eines Monopolisten lösen und den Wohlfahrtsverlust berechnen
  3. Preisdiskriminierung analysieren (ersten, zweiten und dritten Grades)
  4. Cournot-, Bertrand- und Stackelberg-Oligopolmodelle lösen
  5. Nash-Gleichgewichte in Spielen in Normalform finden
  6. Das Gefangenendilemma auf ökonomische Situationen anwenden

Voraussetzungen: Kapitel 5 (Kostenkurven, Gewinnmaximierung, Lagrange-Multiplikatoren).

6.1 Vollkommener Wettbewerb: Langfristiges Gleichgewicht

In Kapitel 5 haben wir gezeigt, dass ein Wettbewerbsunternehmen den Gewinn bei $P = MC$ maximiert. Langfristig führen freier Marktzutritt und -austritt zu einem weiteren Ergebnis.

Langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht. Langfristig kommt es zu Markteintritten, wenn bestehende Unternehmen positive ökonomische Gewinne erzielen (was neue Unternehmen anzieht), und zu Marktaustritten, wenn Unternehmen negative Gewinne erzielen. Markteintritt verschiebt die Marktangebotskurve nach rechts und drückt den Preis; Marktaustritt verschiebt sie nach links und erhöht den Preis. Der Prozess setzt sich fort, bis:
$$P = MC = AC_{min} \quad \text{und} \quad \Pi = 0$$ (Gl. 6.1)
Ökonomischer Gewinn vs. Buchgewinn. Ökonomischer Gewinn zieht alle Kosten ab, einschließlich der Opportunitätskosten des Kapitals und der Zeit des Eigentümers. Buchgewinn zieht nur explizite (monetäre) Kosten ab. Im langfristigen Wettbewerbsgleichgewicht ist der ökonomische Gewinn null, aber der Buchgewinn ist positiv.

Null ökonomischer Gewinn bedeutet nicht, dass Unternehmen leiden. Es bedeutet, dass sie eine normale Rendite erzielen, die alle Kosten genau deckt, einschließlich der Opportunitätskosten des Kapitals. Der Buchgewinn ist weiterhin positiv.

Intuition

Was das besagt: Null ökonomischer Gewinn ist eine normale Rendite und kein Verlust. Der Eigentümer verdient genau das, was sein Geld und seine Mühe in der nächstbesten Verwendung eingebracht hätten, nämlich die Opportunitätskosten dafür, im Geschäft zu bleiben.

Warum das wichtig ist: „Null Gewinn“ klingt nach Pleite, bedeutet aber „nirgendwo gibt es ein besseres Angebot“. Freier Marktzutritt und -austritt sind der Motor: Solange ein Unternehmen mehr verdient, als sein Eigentümer anderswo verdienen könnte, ist dieser Abstand ein Signal, das Konkurrenten anzieht.

Was sich ändert: Wirft eine Bäckerei an der Ecke wirklich mehr ab, als ihr Eigentümer mit der nächstbesten Tätigkeit verdienen könnte, eröffnet jemand ein paar Häuser weiter einen Konkurrenzbetrieb. Es treten so lange weitere Anbieter ein, bis der zusätzliche Gewinn durch den Wettbewerb aufgezehrt ist, und genau das ist das langfristige Gleichgewicht $P = MC = AC_{min}$.

Im vollständigen Modus formuliert Gl. 6.1 die Nullgewinnbedingung formal.

Die Kostenkurven hinter $AC_{min}$ und der Grund, warum freier Marktzutritt den Preis bis auf das Minimum der Durchschnittskostenkurve drückt, werden in Kapitel 5, §5.6 (Kostenkurven) entwickelt.

Das Bild vom Wettbewerb als einem Zustand der Ruhe ist selbst umstritten. Die Gegenposition, wonach Wettbewerb ein Entdeckungsverfahren ist und kein Endzustand, findet sich in der österreichischen Tradition (Ideengeschichte, Kapitel 6) und in Hayeks „The Meaning of Competition“.

6.2 Monopol

Monopol. Ein Markt mit einem einzigen Verkäufer. Der Monopolist steht der gesamten Marktnachfragekurve gegenüber und wählt die Menge (oder äquivalent den Preis), um seinen Gewinn zu maximieren.
$$\max_Q \; \Pi = P(Q) \cdot Q - TC(Q)$$ (Gl. 6.2)

wobei $P(Q)$ die inverse Nachfragefunktion ist, die den Preis angibt, den der Monopolist setzen muss, um $Q$ Einheiten zu verkaufen. Im Gegensatz zum Wettbewerbsunternehmen (das den Preis als gegeben hinnimmt) erkennt der Monopolist, dass mehr Verkäufe eine Preissenkung erfordern.

Intuition

Was das besagt: Der Monopolist entscheidet, wie viel er produziert, indem er zwei Kräfte abwägt: Mehr zu produzieren bedeutet mehr Erlös aus zusätzlichen Verkäufen, aber auch niedrigere Preise für alle Einheiten. Der Gewinn ist der Gesamterlös minus die Gesamtkosten, und der Monopolist wählt die Menge, bei der der Abstand am größten ist.

Warum das wichtig ist: Im Gegensatz zu einem Wettbewerbsunternehmen, das einfach den Marktpreis nimmt und entscheidet, wie viel es produziert, bestimmt der Monopolist den Preis durch seine Produktionsentscheidung. Dieser einzige Unterschied – dass das Unternehmen der gesamten Nachfragekurve gegenübersteht statt einer flachen Preislinie – erzeugt die gesamte Monopoltheorie: eingeschränkte Produktion, höhere Preise und Wohlfahrtsverluste.

Was sich ändert: Steigen die Kosten, produziert der Monopolist weniger und verlangt mehr. Verschiebt sich die Nachfrage nach außen (mehr Konsumenten, höhere Zahlungsbereitschaft), produziert der Monopolist mehr, verlangt aber auch mehr und streicht einen Großteil des Anstiegs als Gewinn ein, anstatt ihn als niedrigere Preise weiterzugeben.

Im vollständigen Modus formuliert Gl. 6.2 das formale Optimierungsproblem.

Grenzerlös

Grenzerlös. Der zusätzliche Erlös aus dem Verkauf einer weiteren Einheit. Für ein preisnehmendes Unternehmen gilt $MR = P$. Für ein Unternehmen mit Marktmacht gilt $MR < P$, weil eine Produktionserhöhung eine Preissenkung für alle verkauften Einheiten erfordert.
$$MR = \frac{dTR}{dQ} = P + Q\frac{dP}{dQ}$$ (Gl. 6.3)

Dies hat zwei Terme:

Mengeneffekt und Preiseffekt. Der Mengeneffekt ist der Gewinn aus dem Verkauf einer zusätzlichen Einheit zum aktuellen Preis. Der Preiseffekt ist der Verlust durch die Preissenkung für alle inframarginalen Einheiten. Der Grenzerlös ist der Saldo dieser beiden Effekte: $MR = \underbrace{P}_{\text{Mengeneffekt}} + \underbrace{Q \cdot dP/dQ}_{\text{Preiseffekt}}$.

Für eine fallende Nachfragekurve gilt $dP/dQ < 0$, also $MR < P$. Für lineare Nachfrage $P = a - bQ$: $TR = aQ - bQ^2$, also $MR = a - 2bQ$. Die MR-Kurve hat den gleichen Achsenabschnitt wie die Nachfragekurve, aber die doppelte Steigung.

Die Beziehung zwischen Grenzerlös und Elastizität

$$MR = P\left(1 - \frac{1}{|\varepsilon_d|}\right)$$

Ein Monopolist produziert nie dort, wo $MR < 0$ (er könnte den Erlös durch geringere Produktion steigern), daher produziert er immer im elastischen Bereich der Nachfragekurve.

Die gewinnmaximierende Bedingung:

$$MR = MC$$ (Gl. 6.4)
Intuition

Was das besagt: Der Grenzerlös ist der zusätzliche Erlös aus dem Verkauf einer weiteren Einheit. Für einen Monopolisten, der einer fallenden Nachfragekurve gegenübersteht, ist der Grenzerlös immer kleiner als der Preis, weil eine Preissenkung zur Absatzsteigerung den Erlös bei allen bestehenden Einheiten verringert.

Warum das wichtig ist: Der Abstand zwischen Preis und Grenzerlös erklärt, warum Monopolisten die Produktion einschränken: Sie hören vor der Wettbewerbsmenge auf zu produzieren, weil jede zusätzliche Einheit den Erlös aus früheren Verkäufen schmälert. Das Unternehmen maximiert den Gewinn, indem es bis zu dem Punkt produziert, an dem Grenzerlös genau den Grenzkosten entspricht.

Was sich ändert: Wird die Nachfrage elastischer (Konsumenten preissensibler), nähert sich der Grenzerlös dem Preis an und der Monopolist verhält sich stärker wie ein Wettbewerbsunternehmen. Bei unelastischer Nachfrage ist der Grenzerlös sogar negativ, weshalb der Monopolist nie im unelastischen Bereich der Nachfrage produzieren würde.

Im vollständigen Modus leiten Gl. 6.3–6.4 den Grenzerlös aus der Erlösfunktion her und zeigen die Gewinnmaximierungsbedingung.

Der Lerner-Index

Lerner-Index. Ein Maß für Marktmacht:
$$\frac{P - MC}{P} = \frac{1}{|\varepsilon_d|}$$ (Gl. 6.5)
Intuition

Was das besagt: Ein Monopolist steht vor einem Dilemma, das Wettbewerbsunternehmen nicht kennen: Um eine weitere Einheit zu verkaufen, muss er den Preis für alle Einheiten senken, nicht nur die letzte. Daher ist der zusätzliche Erlös aus dem Verkauf einer weiteren Einheit (Grenzerlös) immer kleiner als der Preis. Der Monopolist produziert, wo GE = GK, und verlangt einen Aufschlag. Der Lerner-Index misst diesen Aufschlag: Er entspricht dem Kehrwert der Nachfrageelastizität. Haben Kunden wenige Alternativen (unelastische Nachfrage), verlangt der Monopolist einen höheren Aufschlag.

Warum das wichtig ist: Deshalb schränken Monopole die Produktion ein und erhöhen die Preise, nicht aus Bosheit, sondern weil die Mathematik einer fallenden Nachfragekurve es profitabel macht, weniger zu einem höheren Preis zu verkaufen. Der Wohlfahrtsverlust entsteht durch Einheiten, die Konsumenten mehr wertschätzen als sie kosten, die der Monopolist aber zurückhält, weil ihr Verkauf eine Preissenkung für alle anderen Einheiten erfordern würde.

Was sich ändert: Wird die Nachfrage elastischer (Konsumenten haben mehr Substitute), sinkt der Lerner-Index, der Aufschlag des Monopolisten schrumpft und der Preis nähert sich den Grenzkosten. Bei sehr unelastischer Nachfrage (wenige Alternativen) kann der Monopolist einen viel größeren Aufschlag verlangen. Deshalb verlangen Pharmaunternehmen mit patentierten Medikamenten weit mehr über den Kosten als beispielsweise ein lokales Kabelunternehmen im Wettbewerb mit Satellitenangeboten.

Im vollständigen Modus leitet Gl. 6.5 den Lerner-Index aus der Bedingung GE = GK her.

Der Aufschlag über die Grenzkosten entspricht dem Kehrwert der (absoluten) Preiselastizität der Nachfrage. Elastischere Nachfrage bedeutet weniger Marktmacht.

Der Lerner-Index ist das wichtigste Instrument, mit dem die Ökonomie Macht misst: Er macht aus „dieses Unternehmen hat Gewicht“ eine Zahl. Wie sich das zu den Machtbegriffen anderer Disziplinen verhält, ist Gegenstand einer eigenen Großen Frage, Wie verstehen verschiedene Disziplinen Macht?

Beispiel 6.1 — Monopolpreisbildung

Nachfrage: $P = 100 - 2Q$. Kosten: $TC = 20Q$ (konstante $MC = 20$).

$TR = 100Q - 2Q^2$, $MR = 100 - 4Q$.

$MR = MC$: $100 - 4Q = 20 \implies Q_M = 20$, $P_M = 60$.

$\Pi = (60 - 20)(20) = 800$.

Wettbewerbsergebnis: $P = MC = 20$, $Q_C = 40$.

$DWL = \frac{1}{2}(60 - 20)(40 - 20) = 400$.

Lerner-Index: $(60 - 20)/60 = 2/3$. Kontrolle: $\varepsilon_d = (dQ/dP)(P/Q) = (-1/2)(60/20) = -1.5$, also $1/|\varepsilon_d| = 2/3$. ✓

Interaktiv: Monopolpreisbildung

Passen Sie die Grenzkosten an, um zu sehen, wie sich der optimale Preis, die Menge, der Gewinn und der Wohlfahrtsverlust des Monopolisten ändern. Blenden Sie das Wettbewerbsergebnis ein, um zu vergleichen.

\$1 \$15 \$10
Monopol: QM = 20  |  PM = \$10.00  |  Gewinn = \$100.00  |  WSV = \$100.00  |  Lerner = 0.667

Abbildung 6.2. Der Monopolist beschränkt die Produktion dort, wo MR = MC, und setzt einen Preis über den Grenzkosten. Das blaue Rechteck ist der Monopolgewinn; das gelbe Dreieck ist der Wohlfahrtsverlust. Blenden Sie das Wettbewerbsergebnis ein, um das effiziente Ergebnis zu sehen.

Standpunkt
Video: Lina Khan questions Jeff Bezos

„Amazon ist ein Monopol, obwohl die Preise niedrig sind“, Lina Khan, Yale Law Journal, 2017

Lina Khan war eine 28-jährige Jurastudentin, als sie „Amazon's Antitrust Paradox“ veröffentlichte. Der Aufsatz war so einflussreich, dass sie zur Vorsitzenden der FTC ernannt wurde. Ihre These: Der Verbraucherwohlfahrt-Standard, der das Kartellrecht seit den 1980er Jahren bestimmt, ist blind für Amazons Macht, weil er nur auf die Preise schaut. Amazon hält die Preise niedrig, also sagt der Standard, es gebe kein Problem. Khan sagt, dieser Standard tauge nicht. Nach dem Lerner-Index, den Sie gerade kennengelernt haben, stellt sie eine radikale Behauptung auf: Marktmacht kann auch dann bestehen, wenn $(P - MC)/P$ nahe null liegt.

Mittelstufe

Den Monopolgewinn kann man auch anders lesen: nicht nur als Wohlfahrtsverlust, sondern als die Prämie, die Innovation finanziert. Diese schumpetersche Lesart, das zeitweilige Monopol als Motor der „schöpferischen Zerstörung“, wird in Kapitel 13, §13.4 (Endogenes Wachstum) formalisiert, und ihre Denklinie führt auf Schumpeter selbst zurück (Ideengeschichte, Kapitel 7 (Schumpeter und die schöpferische Zerstörung)).

6.3 Preisdiskriminierung

Preisdiskriminierung. Verschiedene Preise für verschiedene Konsumenten (oder für verschiedene Einheiten) basierend auf der Zahlungsbereitschaft, nicht auf Kostenunterschieden.

Preisdiskriminierung ersten Grades (perfekt)

Das Unternehmen verlangt von jedem Konsumenten einen Preis in Höhe seiner maximalen Zahlungsbereitschaft. Damit schöpft es die gesamte Konsumentenrente ab. Die Produktion ist effizient ($Q = Q_C$), es entsteht kein Wohlfahrtsverlust, aber die gesamte Rente fällt dem Unternehmen zu.

Preisdiskriminierung zweiten Grades

Das Unternehmen bietet verschiedene Preisschemata an (Mengenrabatte, Bündelung, Produktvarianten) und lässt die Konsumenten selbst wählen. Beispiele: Flugtickets (Business vs. Economy), Software (Basis- vs. Pro-Edition), Mengenpreise.

Preisdiskriminierung dritten Grades

Das Unternehmen identifiziert Gruppen mit unterschiedlichen Elastizitäten und berechnet jeder Gruppe einen anderen Preis:

$$MR_1 = MR_2 = MC$$ (Gl. 6.6)

Da $MR = P(1 - 1/|\varepsilon|)$ (aus der MR-Elastizitätsbeziehung), impliziert gleicher MR über Märkte hinweg, dass der Gruppe mit weniger elastischer Nachfrage (weniger Alternativen, höhere Wechselkosten) ein höherer Preis berechnet werden muss. Das optimale Preisverhältnis erfüllt $P_1/P_2 = (1 - 1/|\varepsilon_2|)/(1 - 1/|\varepsilon_1|)$.

Intuition

Was das besagt: Ein preisdiskriminierendes Unternehmen setzt den Grenzerlös in allen Märkten gleich und gleich den Grenzkosten. Das bedeutet, das Unternehmen verlangt höhere Preise von Kunden mit weniger Preissensitivität (unelastischere Nachfrage) und niedrigere Preise von denen mit höherer Preissensitivität.

Warum das wichtig ist: Dies ist die Logik hinter Studentenrabatten, Seniorenpreisen, regionaler Bepreisung und dynamischen Preisen. Das Unternehmen ist nicht wohltätig gegenüber Studenten, sondern erzielt einen höheren Gesamterlös, indem es verschiedenen Gruppen mit unterschiedlicher Zahlungsbereitschaft unterschiedliche Preise berechnet. Airlines tun dies mit außerordentlicher Präzision: Geschäftsreisende zahlen mehr, weil sie weniger Flexibilität haben.

Was sich ändert: Verringert sich der Elastizitätsunterschied zwischen den Märkten (beide Gruppen werden gleich preissensitiv), konvergieren die optimalen Preise und Diskriminierung wird unrentabel. Wird Arbitrage möglich (Studenten verkaufen weiter an Erwachsene), fällt die Preisdiskriminierung auf einen Einheitspreis zurück.

Im vollständigen Modus zeigt die GE-Elastizitäts-Beziehung genau, wie das Preisverhältnis von der Nachfrageelastizität abhängt.

Die Gruppe mit der unelastischeren Nachfrage zahlt den höheren Preis.

Beispiel 6.2 — Preisdiskriminierung dritten Grades

Ein Theater bedient zwei Märkte. Erwachsenen-Nachfrage: $P_A = 20 - Q_A$. Studenten-Nachfrage: $P_S = 12 - Q_S$. $MC = 2$.

Erwachsene: $MR_A = 20 - 2Q_A = 2 \implies Q_A = 9$, $P_A = 11$.

Studenten: $MR_S = 12 - 2Q_S = 2 \implies Q_S = 5$, $P_S = 7$.

Gesamtgewinn: $(11-2)(9) + (7-2)(5) = 81 + 25 = 106$.

Interaktiv: Preisdiskriminierung dritten Grades

Zwei Märkte mit unterschiedlichen Nachfrageelastizitäten. Passen Sie MC an, um zu sehen, wie sich optimale Preise und Mengen in jedem Markt ändern.

\$1 \$1 \$10
Markt A (Erwachsene): Q = 9.0, P = \$11.00, Gewinn = \$11.00  |  Markt B (Studierende): Q = 5.0, P = \$1.00, Gewinn = \$15.00  |  Gesamtgewinn = \$106.00

Markt A (Erwachsene): $P_A = 20 - Q_A$

Markt B (Studenten): $P_S = 12 - Q_S$

6.4 Monopolistischer Wettbewerb

Monopolistischer Wettbewerb. Ein Markt mit vielen Unternehmen, die differenzierte Produkte verkaufen. Jedes Unternehmen hat etwas Marktmacht (fallende Nachfragekurve durch Produktdifferenzierung), steht aber freiem Marktzutritt gegenüber.

Kurzfristig: Unternehmen können positive oder negative Gewinne erzielen. Langfristig: Marktzutritt und -austritt treiben den ökonomischen Gewinn auf null.

Im langfristigen Gleichgewicht produziert jedes Unternehmen dort, wo seine Nachfragekurve seine Durchschnittskostenkurve tangiert. Die Tangenzbedingung stellt zwei gleichzeitige Anforderungen:

$$P = AC \quad \text{(Nullgewinn)} \quad \text{und} \quad MR = MC \quad \text{(Gewinnmaximierung)}$$ (Gl. 6.8)

Da das Unternehmen einer fallenden Nachfragekurve gegenübersteht, liegt der Tangentenpunkt links des Durchschnittskostenminimums, und Unternehmen produzieren unterhalb der effizienten Größe.

Intuition

Was das besagt: Im langfristigen monopolistischen Wettbewerb entsteht ein charakteristisches Ergebnis: Unternehmen erzielen null ökonomischen Gewinn (freier Markteintritt hat den Gewinn aufgezehrt), verlangen aber immer noch mehr als die Grenzkosten (Produktdifferenzierung gibt jedem Unternehmen ein kleines Monopol auf seine besondere Variante). Das Unternehmen produziert unterhalb der Betriebsgröße, die die Durchschnittskosten minimiert.

Warum das wichtig ist: Dies ist der „Preis der Vielfalt“. 50 verschiedene Restaurants statt 50 identische Kantinen zu haben, bedeutet, dass jedes Restaurant weniger Kunden bedient und unterhalb seiner effizientesten Betriebsgröße produziert. Ob dies wirklich ineffizient ist, hängt davon ab, wie viel Konsumenten die Differenzierung selbst schätzen.

Was sich ändert: Werden Produkte weniger differenziert (stärker substituierbar), wird die Nachfragekurve jedes Unternehmens elastischer, der Aufschlag schrumpft und das Ergebnis nähert sich dem vollkommenen Wettbewerb an. Steigen Markteintrittsbarrieren, können Unternehmen langfristig positive Gewinne erzielen, und das Ergebnis rückt Richtung Monopol.

Im vollständigen Modus zeigt Gl. 6.8 die Tangenzbedingung, die das langfristige Gleichgewicht bestimmt.

Das bedeutet, monopolistischer Wettbewerb hat zwei „Ineffizienzen“ im Vergleich zum vollkommenen Wettbewerb:

  1. Aufschlag: $P > MC$ (Marktmacht durch Differenzierung)
  2. Überkapazität: Unternehmen produzieren unterhalb der kostenminimierenden Betriebsgröße

Ob diese wirklich ineffizient sind, ist umstritten. Das Dixit-Stiglitz-Modell zeigt, dass Konsumenten Vielfalt schätzen: 50 verschiedene Restaurants sind mehr wert als 50 identische, selbst wenn die identischen billiger sind. Der Aufschlag über die Grenzkosten ist der „Preis der Vielfalt“.

6.5 Oligopol: Cournot-Wettbewerb

Oligopol. Ein Markt mit wenigen großen Unternehmen, von denen jedes weiß, dass seine Handlungen die anderen beeinflussen. Strategische Interaktion ist das bestimmende Merkmal.

Cournot-Modell

Cournot-Wettbewerb. Ein Oligopolmodell, in dem Unternehmen simultan Mengen wählen. Jedes Unternehmen wählt die Menge, die seinen Gewinn maximiert, bei gegebener Annahme über die Mengen der anderen Unternehmen.

Unternehmen wählen Mengen simultan. Die optimale Menge jedes Unternehmens hängt von den Mengen der anderen Unternehmen ab.

Zwei Unternehmen, Nachfrage $P = a - b(q_1 + q_2)$, konstante Grenzkosten $c$ für beide.

Beste Antwort (Reaktionsfunktion). Die optimale Menge von Unternehmen $i$ als Funktion der Menge des Rivalen: $q_i^*(q_j)$. Sie löst $\max_{q_i} \Pi_i = (P(q_i + q_j) - c) q_i$. Im Cournot-Gleichgewicht befindet sich jedes Unternehmen simultan auf seiner Reaktionsfunktion.

Dies ist kein zeitloses Bild davon, „wie Unternehmen konkurrieren“, sondern die Formalisierung einer bestimmten Schule, entstanden 1838, als Cournot das erste Reaktionsfunktionsmodell aufschrieb. Ihre Denklinie führt über Walras, Marshall und Joan Robinson. Woher dieser Apparat stammt, zeigt die marginalistische Revolution (Ideengeschichte, Kapitel 5), und die Zeitleiste zur Geschichte des ökonomischen Denkens ordnet Cournot unter seinen Zeitgenossen ein.

Reaktionsfunktion für Unternehmen 1:

Unternehmen 1 maximiert $\Pi_1 = [a - b(q_1 + q_2) - c] \cdot q_1$. Die Bedingung erster Ordnung lautet:

$$\frac{\partial \Pi_1}{\partial q_1} = a - 2bq_1 - bq_2 - c = 0$$ (Gl. 6.7a)

Löst man nach $q_1$ auf, erhält man die Beste-Antwort-Funktion:

$$q_1^*(q_2) = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_2}{2}$$ (Gl. 6.7)

Cournot-Nash-Gleichgewicht (simultane Lösung):

$$q_1^C = q_2^C = \frac{a - c}{3b}$$ (Gl. 6.9)
$$Q^C = \frac{2(a-c)}{3b}, \quad P^C = \frac{a + 2c}{3}$$ (Gl. 6.10)
Intuition

Was das besagt: Jedes Unternehmen wählt seine Menge mit der Frage: „Welche Menge maximiert meinen Gewinn angesichts der Produktion meines Konkurrenten?“ Die Reaktionsfunktion erfasst diese strategische Wechselwirkung: Produziert mein Konkurrent mehr, sollte ich weniger produzieren (da die Gesamtproduktion den Preis senkt). Das Gleichgewicht liegt dort, wo beide Unternehmen gleichzeitig optimal reagieren: Keines will abweichen. Jeder Duopolist produziert ein Drittel der Wettbewerbsmenge; zusammen produzieren sie zwei Drittel.

Warum das wichtig ist: Cournot zeigt, dass Oligopol-Ergebnisse zwischen Monopol und vollkommenem Wettbewerb liegen. Mehr Unternehmen rücken den Markt näher an das Wettbewerbsergebnis. Dies ist die formale Grundlage für kartellrechtliche Intuitionen über Marktkonzentration: Weniger Unternehmen bedeuten höhere Preise und mehr Wohlfahrtsverluste.

Was sich ändert: Wenn ein Konkurrent die Produktion ausdehnt, ist die beste Reaktion, die eigene zu verringern. Die Reaktionsfunktionen fallen. Mehr Unternehmen am Markt verringern den Anteil jedes Unternehmens und treiben den Preis in Richtung Grenzkosten. Bei 2 Unternehmen produziert die Branche 2/3 der Wettbewerbsmenge; bei 5 Unternehmen 5/6; bei 20 Unternehmen herrscht auf dem Markt nahezu Wettbewerb. Höhere Grenzkosten verschieben das Gleichgewicht zu niedrigerer Gesamtproduktion und höheren Preisen für alle Unternehmen.

Im vollständigen Modus leiten Gl. 6.7–6.10 die Beste-Antwort-Funktionen her und lösen das Cournot-Nash-Gleichgewicht.

Verallgemeinerung auf $n$ Unternehmen: Bei $n$ symmetrischen Unternehmen produziert jedes $q_i = (a-c)/((n+1)b)$, die Gesamtproduktion beträgt $Q = n(a-c)/((n+1)b)$, und der Cournot-Preis ist $P^C = (a + nc)/(n+1)$. Für $n \to \infty$ gilt $P \to c$, das heißt, der Markt konvergiert zum vollkommenen Wettbewerb.

Intuition

Was das besagt: Mit wachsender Unternehmenszahl schrumpft der Marktanteil jedes Unternehmens und die Gesamtproduktion steigt. Bei ausreichend vielen Unternehmen wird das Oligopol-Ergebnis vom vollkommenen Wettbewerb ununterscheidbar: Preis gleich Grenzkosten, ökonomischer Gewinn verschwindet und Wohlfahrtsverluste entfallen.

Warum das wichtig ist: Dies ist das Cournot-Konvergenzergebnis, das die Brücke zwischen Monopol (ein Unternehmen, maximale Marktmacht) und vollkommenem Wettbewerb (viele Unternehmen, keine Marktmacht) bildet. Es verleiht der Idee „mehr Wettbewerb ist besser“ eine präzise Bedeutung: Jedes zusätzliche Unternehmen rückt den Preis näher an die Kosten.

Was sich ändert: Bei 2 Unternehmen ist der Aufschlag erheblich. Bei 5 Unternehmen ist er viel kleiner. Bei 20 Unternehmen herrscht auf dem Markt nahezu Wettbewerb. Die Konvergenzgeschwindigkeit hängt von der Kostenstruktur ab: Wenn Grenzkosten hoch relativ zur Nachfrage sind, reichen weniger Unternehmen aus, um den Markt in Richtung Wettbewerb zu treiben.

Im vollständigen Modus zeigt die Cournot-Formel für n Unternehmen die exakte Beziehung zwischen der Anzahl der Unternehmen, der Produktion, dem Preis und der Wohlfahrt.
Beispiel 6.3 — Cournot-Duopol

Nachfrage: $P = 100 - Q$, $c = 10$. Beste Antworten: $q_i^* = 45 - q_j/2$.

Gleichgewicht: $q_1^C = q_2^C = 30$. $Q^C = 60$, $P^C = 40$. $\Pi_i = 900$.

StrukturProduktionPreisBranchengewinnWohlfahrtsverlust
Wettbewerb901000
Cournot-Duopol60401,800450
Monopol45552,0251,012,5

Interaktiv: Cournot mit N Unternehmen

Schieben Sie die Anzahl der Unternehmen von 1 (Monopol) bis 20. Beobachten Sie, wie die Gesamtproduktion steigt, der Preis fällt und der Wohlfahrtsverlust gegen null schrumpft, während sich der Markt dem vollkommenen Wettbewerb nähert.

Monopol (1) 10 Wettbewerb (20)
N = 2: qi = 30.0  |  Q = 60.0  |  P = \$10.00  |  Gewinn pro Unternehmen = \$100.00  |  WSV = \$150.00

Abbildung 6.3a. Mit steigendem N konvergiert das Cournot-Ergebnis zum vollkommenen Wettbewerb. Bei N=1 entspricht dies dem Monopol. Das Balkendiagramm zeigt, wie sich zentrale Ergebnisse mit der Marktstruktur ändern.

Interaktiv: Cournot-Reaktionsfunktionen

Passen Sie die Grenzkosten jedes Unternehmens an, um zu sehen, wie sich ihre Reaktionsfunktionen verschieben und sich das Gleichgewicht bewegt. Asymmetrische Kosten führen zu asymmetrischer Produktion.

\$1\$10\$10
\$1\$10\$10
Gleichgewicht: q1 = 30.0, q2 = 30.0  |  Q = 60.0  |  P = \$10.00

Abbildung 6.3b. Die Reaktionsfunktion jedes Unternehmens fällt: Mehr Produktion des Rivalen reduziert die optimale Antwort. Der Schnittpunkt ist das Cournot-Nash-Gleichgewicht. Ziehen Sie die Kostenschieberegler, um zu sehen, wie asymmetrische Kosten die Reaktionsfunktionen verschieben und das Gleichgewicht bewegen.

6.6 Bertrand-Wettbewerb

Bertrand-Wettbewerb. Ein Oligopolmodell, in dem Unternehmen simultan Preise wählen. Konsumenten kaufen beim günstigsten Unternehmen; bei gleichen Preisen wird die Nachfrage gleichmäßig aufgeteilt.

Im Bertrand-Modell wählen Unternehmen Preise simultan (statt Mengen). Bei identischen Produkten und gleichen Grenzkosten:

$$P^B = c \quad \text{(Bertrand-Paradoxon)}$$ (Gl. 6.11)
Bertrand-Paradoxon. Bei zwei Unternehmen, die identische Produkte zu gleichen Grenzkosten verkaufen, ist das einzige Nash-Gleichgewicht $P = MC$, das Ergebnis des vollkommenen Wettbewerbs. Das Paradoxon besteht darin, dass nur zwei Unternehmen genügen, um jegliche Marktmacht zu beseitigen, was der Cournot-Vorhersage widerspricht, dass Marktmacht bei wenigen Unternehmen bestehen bleibt.

Mit nur zwei Unternehmen reproduziert der Preiswettbewerb das Ergebnis des vollkommenen Wettbewerbs. Das ist das Bertrand-Paradoxon: Das Cournot-Modell besagt, man brauche viele Unternehmen für Wettbewerb; das Bertrand-Modell sagt, zwei genügen. Die Logik: Wenn ein Unternehmen einen Preis über $MC$ verlangt, kann das andere um einen infinitesimalen Betrag unterbieten und den gesamten Markt erobern. Dieses Unterbieten setzt sich fort, bis kein Unternehmen den Preis mehr profitabel senken kann, was bei $P = MC$ eintritt.

Intuition

Was das besagt: Wenn zwei Unternehmen identische Produkte verkaufen und im Preiswettbewerb stehen, treibt eine unerbittliche Unterbietungslogik den Preis bis auf die Grenzkosten. Verlangt Unternehmen A \$20 und Unternehmen B \$19,99, gehen alle Kunden zu Unternehmen B. Also senkt A auf \$19,98, dann B auf \$19,97, und so weiter, bis keines mehr senken kann, ohne Verluste zu machen. Das Ergebnis: das Wettbewerbsergebnis mit nur zwei Unternehmen.

Warum das wichtig ist: Dies ist das Bertrand-Paradoxon, das besagt, dass nicht die Zahl der Unternehmen über Marktmacht entscheidet. Was zählt, ist wie Unternehmen konkurrieren. Mengenwettbewerb (Cournot) hält Marktmacht bei wenigen Unternehmen aufrecht; Preiswettbewerb (Bertrand) vernichtet sie sofort. Die praktische Frage ist, welches Modell besser zu einer gegebenen Branche passt.

Was sich ändert: Das Paradoxon löst sich auf, wenn Produkte differenziert sind (eine kleine Preissenkung stiehlt nicht den gesamten Markt), Unternehmen Kapazitätsbeschränkungen haben (sie können nicht alle bedienen), Unternehmen wiederholt interagieren (was stillschweigende Absprachen ermöglicht) oder Konsumenten Suchkosten haben (sie wechseln nicht sofort). Die meisten realen Märkte haben eine Kombination dieser Friktionen, weshalb wir selten reine Bertrand-Ergebnisse sehen.

Im vollständigen Modus wird das Unterbietungsargument präzise formuliert: Kein P > GK ist ein Nash-Gleichgewicht, da jedes Unternehmen profitabel abweichen kann.

Wann sich das Paradoxon auflöst:

Beispiel 6.6 — Bertrand mit differenzierten Produkten

Zwei Unternehmen verkaufen differenzierte Güter. Nachfrage für Unternehmen $i$: $q_i = 100 - 2p_i + p_j$ (Produkte sind Substitute, aber nicht identisch). Grenzkosten: $c = 10$.

Unternehmen 1 maximiert: $\Pi_1 = (p_1 - 10)(100 - 2p_1 + p_2)$.

Bedingung erster Ordnung: $100 - 4p_1 + p_2 + 20 = 0 \implies p_1^*(p_2) = \frac{120 + p_2}{4} = 30 + p_2/4$.

Durch Symmetrie: $p^* = 30 + p^*/4 \implies p^* = 40$.

Jedes Unternehmen: $q^* = 100 - 80 + 40 = 60$. $\Pi^* = 30 \times 60 = 1{,}800$.

Bei differenzierten Produkten übersteigt der Gleichgewichtspreis ($\$40$) die Grenzkosten ($\$10$). Das Bertrand-Paradoxon löst sich auf, weil eine kleine Preissenkung nicht mehr den gesamten Markt erobert.

6.7 Stackelberg-Wettbewerb

Stackelberg-Wettbewerb. Ein sequenzielles Oligopolmodell, in dem ein Unternehmen (der Führer) seine Menge zuerst wählt und das andere Unternehmen (der Folger) die Wahl des Führers beobachtet, bevor es seine eigene Menge festlegt.

Im Stackelberg-Modell zieht ein Unternehmen (der Führer) zuerst und wählt seine Menge. Der Folger beobachtet die Wahl des Führers und optimiert dann. Der Führer bezieht die Reaktionsfunktion des Folgers in sein Kalkül ein.

Schritt 1 (Problem des Folgers): Der Folger beobachtet $q_1$ und maximiert $\Pi_2 = [a - b(q_1 + q_2) - c] \cdot q_2$. Dies ergibt dieselbe Beste-Antwort-Funktion wie bei Cournot: $q_2^*(q_1) = \frac{a - c}{2b} - \frac{q_1}{2}$.

Schritt 2 (Problem des Führers): Der Führer setzt die beste Antwort des Folgers in seine eigene Gewinnfunktion ein: $\Pi_1 = [a - b(q_1 + q_2^*(q_1)) - c] \cdot q_1$. Maximierung ergibt:

$$q_1^S = \frac{a - c}{2b}, \quad q_2^S = \frac{a - c}{4b}$$ (Gl. 6.12-6.13)
Intuition

Was das besagt: Wenn ein Unternehmen zuerst zieht, kann es sich auf eine große Menge festlegen und zwingt den Folger, sich durch geringere Produktion anzupassen. Der Führer produziert die Hälfte der Wettbewerbsmenge (die Monopolmenge); der Folger produziert nur die Hälfte davon. Die Gesamtproduktion übersteigt das Cournot-Ergebnis, sodass der Preis niedriger ist.

Warum das wichtig ist: Bindung hat strategischen Wert. Indem er zuerst zieht und eine große Menge festlegt, signalisiert der Führer faktisch: „Ich überflute den Markt – passe dich entsprechend an.“ Dies ist die formale Logik hinter Pioniervorteilen in Branchen, in denen Kapazitätsentscheidungen schwer umkehrbar sind (Fabriken, Infrastruktur, Frequenzlizenzen).

Was sich ändert: Wächst der Kostenvorteil des Führers, produziert er noch mehr und drängt den Folger weiter zurück. Wird die Bindung weniger glaubwürdig (der Führer kann seine Entscheidung leicht rückgängig machen), kehrt das Spiel zum Cournot-Ergebnis zurück, weil der Folger sich nicht mehr anpassen muss. Die Asymmetrie hängt vollständig von der Unumkehrbarkeit des Zuges des Führers ab.

Im vollständigen Modus leiten Gl. 6.12–6.13 die Stackelberg-Mengen mittels Rückwärtsinduktion her.
Erstanbietervorteil. Der strategische Vorteil, sich vor den Rivalen auf eine Handlung festzulegen. Im Stackelberg-Modell verpflichtet sich der Führer zu einer großen Menge und zwingt den Folger, sich anzupassen, indem er weniger produziert. Der Führer erzielt einen höheren Gewinn als im simultanen (Cournot-) Spiel.

Der Führer produziert die Monopolmenge, und der Folger produziert die Hälfte davon. Die Gesamtproduktion übersteigt Cournot; der Preis ist niedriger. Der Erstanbietervorteil ergibt sich aus der Festlegung auf eine große Menge, bevor der Folger wählt.

Beispiel 6.4 — Stackelberg

$P = 100 - Q$, $c = 10$:

$q_1^S = 45$, $q_2^S = 22.5$. $Q^S = 67.5$, $P^S = 32.5$.

$\Pi_1 = 1{,}012.5$ (Führer), $\Pi_2 = 506.25$ (Folger).

Der Gewinn des Führers übersteigt Cournot ($\$1{,}012.5 > 900$). Der Folger ist schlechter gestellt ($\$506.25 < 900$).

Interaktiv: Stackelberg vs. Cournot

Wechseln Sie zwischen simultanem (Cournot) und sequenziellem (Stackelberg) Spiel, um Mengen und Gewinne mit $P = 100 - Q$, $c = 10$ zu vergleichen.

Cournot: q1 = 30.0, q2 = 30.0  |  Q = 60.0, P = \$10.00  |  Π1 = \$100, Π2 = \$100

Abbildung 6.4. Vergleich von Cournot (symmetrisch) und Stackelberg (Führervorteil). Das Stackelberg-Gleichgewicht liegt rechts unterhalb von Cournot im Reaktionsfunktionsdiagramm: Der Führer produziert mehr, der Folger weniger.

6.8 Einführung in die Spieltheorie

Spiel in Normalform (strategischer Form). Besteht aus: (1) Spielern $i = 1, 2, \ldots, n$; (2) Strategien $S_i$ für jeden Spieler; (3) Auszahlungen $u_i(s_1, \ldots, s_n)$ für jede Strategiekombination.

Nash-Gleichgewicht

Nash-Gleichgewicht. Ein Strategieprofil $(s_1^*, s_2^*, \ldots, s_n^*)$, bei dem kein Spieler seinen Gewinn durch einseitige Änderung seiner Strategie erhöhen kann. Jeder Spieler reagiert optimal auf die Strategien aller anderen Spieler.

Nashs Gleichgewichtsbegriff von 1950 löste eine Revolution aus, nach der die Ökonomie strategische Interaktion von Grund auf anders modelliert, von Auktionen bis zum Mechanismusdesign. Ihre moderne Fortsetzung ist Kapitel 12 (Mechanismusdesign und Marktdesign), und ihre ideengeschichtliche Heimat ist die informationsökonomische und spieltheoretische Wende (Ideengeschichte, Kapitel 11 (Informationsökonomik)). Auf der Zeitleiste zur Geschichte des ökonomischen Denkens lassen sich Nash und von Neumann unter ihren Zeitgenossen einordnen.

$$u_i(s_i^*, s_{-i}^*) \geq u_i(s_i, s_{-i}^*) \quad \forall s_i \in S_i, \; \forall i$$ (Gl. 6.14)
Intuition

Was das besagt: Ein Nash-Gleichgewicht ist eine Situation, in der jeder Spieler sein Bestes tut, angesichts dessen, was alle anderen tun. Niemand kann sein Ergebnis durch eine einseitige Strategieänderung verbessern. Stellen Sie es sich als ein „Keine-Reue“-Ergebnis vor. Sobald Sie sehen, was alle anderen gewählt haben, würden Sie Ihre eigene Wahl nicht ändern.

Warum das wichtig ist: Das Nash-Gleichgewicht ist das zentrale Lösungskonzept der Spieltheorie und geht weit über die Ökonomie hinaus, bis in Politik, Biologie und jede Situation mit strategischer Wechselwirkung. Es bedeutet nicht, dass das Ergebnis gut für die Gesellschaft ist (das Gefangenendilemma zeigt, dass es schrecklich sein kann), nur dass es selbstdurchsetzend ist: Kein Einzelner hat einen Anreiz abzuweichen.

Was sich ändert: Ändern sich Auszahlungen, verschieben sich Gleichgewichte. Erhöht sich die Strafe für Abweichung (stärkere Durchsetzung, höhere Bußgelder), wird Kooperation leichter aufrechtzuerhalten. Wird eine neue Strategie verfügbar, können alte Gleichgewichte sich auflösen. Manche Spiele haben mehrere Nash-Gleichgewichte (Koordinationsspiele), manche genau eines (Gefangenendilemma), und manche keines in reinen Strategien, was Randomisierung erfordert (gemischte Strategien).

Im vollständigen Modus formuliert Gl. 6.14 die formale Bedingung: Kein Spieler kann seine Auszahlung durch einseitige Strategieänderung verbessern.

Jeder Spieler reagiert optimal auf die anderen. Niemand hat einen Grund abzuweichen, angesichts dessen, was alle anderen tun.

Das Gefangenendilemma

Dominante Strategie. Eine Strategie, die unabhängig von den Handlungen der anderen Spieler eine schwach höhere Auszahlung erbringt als jede Alternative. Wenn $s_i^*$ dominant ist, dann gilt $u_i(s_i^*, s_{-i}) \geq u_i(s_i, s_{-i})$ für alle $s_i$ und alle $s_{-i}$.
Gefangenendilemma. Ein Zwei-Spieler-Spiel, in dem jeder Spieler eine dominante Strategie zum Defektieren hat, wobei gegenseitige Kooperation für beide eine höhere Auszahlung ergibt. Das Nash-Gleichgewicht (Defektieren, Defektieren) wird von (Kooperieren, Kooperieren) Pareto-dominiert, was die Spannung zwischen individueller Rationalität und kollektiver Wohlfahrt veranschaulicht.
Spieler 2: KooperierenSpieler 2: Defektieren
Spieler 1: Kooperieren(3, 3)(0, 5)
Spieler 1: Defektieren(5, 0)(1, 1)

Dominante Strategie: Defektieren ist unabhängig von der Wahl des anderen am besten. Nash-Gleichgewicht: (Defektieren, Defektieren) mit Auszahlungen (1, 1). Beide sind schlechter gestellt als bei gegenseitiger Kooperation (3, 3), aber keiner kann sich einseitig verbessern.

Intuition

Was das besagt: Das Gefangenendilemma erfasst eine grundlegende Spannung: Was für jeden Einzelnen rational ist, führt zu einem schlechten Ergebnis für alle. Jeder Spieler überlegt: „Egal was der andere tut, ich bin besser dran zu defektieren.“ Wenn aber beide so denken, landen sie bei (Defektieren, Defektieren), was für beide schlechter ist, als hätten sie kooperiert.

Warum das wichtig ist: Diese Struktur findet sich überall in der Ökonomie und darüber hinaus. Unternehmen in einem Kartell haben jeweils einen Anreiz, heimlich die Produktion zu erhöhen. Länder wollen jeweils als Trittbrettfahrer von den Emissionsminderungen anderer profitieren. Teilnehmer eines Wettrüstens bauen jeweils lieber Waffen, während der andere abrüstet. Die Kernerkenntnis: Märkte, Institutionen und Durchsetzungsmechanismen existieren genau dazu, Gefangenendilemmata zu lösen, also individuelle Anreize in Richtung gesellschaftlich besserer Ergebnisse zu lenken.

Was sich ändert: Sinkt die Versuchungsauszahlung (Defektieren während der andere kooperiert) – durch Strafen, Reputationseffekte oder soziale Normen – wird Kooperation leichter. Wird das Spiel wiederholt, kann zukünftige Bestrafung Kooperation aufrechterhalten (siehe wiederholte Spiele unten). Ist Kommunikation erlaubt, können Spieler sich koordinieren, aber nur, wenn Verpflichtungen durchsetzbar sind.

Warum das Gefangenendilemma wichtig ist:

Interaktiv: 2×2-Spiel Auszahlungsexplorer

Geben Sie beliebige Auszahlungen für ein 2×2-Spiel ein. Das Tool identifiziert automatisch dominante Strategien, Nash-Gleichgewichte und Pareto-optimale Ergebnisse. Grüne Zellen sind Nash-Gleichgewichte; blaue Ränder markieren Pareto-optimale Ergebnisse.

Spieler 2: L Spieler 2: R
Spieler 1: O (, ) (, )
Spieler 1: U (, ) (, )

Blau = Auszahlung Spieler 1  |  Rot = Auszahlung Spieler 2

Analyzing...

Andere klassische Spiele

Koordinationsspiel:

B: LinksB: Rechts
A: Links(2, 2)(0, 0)
A: Rechts(0, 0)(1, 1)

Zwei Nash-Gleichgewichte: (Links, Links) und (Rechts, Rechts). Die Herausforderung ist Koordination, nicht Konflikt.

Kampf der Geschlechter:

B: OperB: Fußball
A: Oper(3, 1)(0, 0)
A: Fußball(0, 0)(1, 3)

Zwei reine Nash-Gleichgewichte mit unterschiedlichen bevorzugten Ergebnissen für jeden Spieler.

Beispiel 6.5 — Nash-Gleichgewichte in einem Werbespiel

Zwei Unternehmen wählen, ob sie Werben (W) oder Nicht Werben (N):

Unternehmen 2: WUnternehmen 2: N
Unternehmen 1: W(4, 4)(7, 2)
Unternehmen 1: N(2, 7)(5, 5)

Prüfung auf dominante Strategien.

Unternehmen 1: Wenn Unternehmen 2 W spielt, erhält Unternehmen 1 4 (W) vs. 2 (N) → W ist besser. Wenn Unternehmen 2 N spielt, erhält Unternehmen 1 7 (W) vs. 5 (N) → W ist besser. Also ist W eine dominante Strategie für Unternehmen 1. Durch Symmetrie ist W dominant für Unternehmen 2.

Nash-Gleichgewichte finden.

Das einzige Nash-Gleichgewicht ist (W, W) mit Auszahlungen (4, 4). Beide Unternehmen werben, obwohl (N, N) = (5, 5) dieses Ergebnis Pareto-dominiert. Dies ist ein Gefangenendilemma: individuelle Anreize zu werben führen zu einem kollektiv schlechteren Ergebnis.

Wiederholte Spiele

Wiederholtes Spiel. Ein Spiel, in dem dasselbe Stufenspiel mehrmals (oder unendlich oft) von denselben Spielern gespielt wird. Wiederholte Interaktion erlaubt Strategien, die vom bisherigen Spielverlauf abhängen (z.B. „kooperiere, bis jemand defektiert“), und kann so Kooperation aufrechterhalten, die in einem einmaligen Spiel unmöglich wäre.

Wenn das Gefangenendilemma wiederholt gespielt wird (und die Spieler geduldig sind), kann Kooperation aufrechterhalten werden. Die Drohung zukünftiger Bestrafung (Rückkehr zur Defektion) macht die aktuelle Kooperation selbstdurchsetzend. Das ist das Folk-Theorem.

Unter der Grim-Trigger-Strategie (kooperieren, bis der andere abweicht, dann für immer abweichen) lässt sich Kooperation aufrechterhalten, wenn:

$$\delta \geq \frac{\pi_D - \pi_C}{\pi_D - \pi_N}$$ (Gl. 6.15)

wobei $\pi_C$ die Kooperationsauszahlung pro Periode, $\pi_D$ die einmalige Abweichungsauszahlung und $\pi_N$ die Nash-Auszahlung (Bestrafung) ist. Mit den Standardauszahlungen des Gefangenendilemmas (CC=3, DC=5, DD=1): $\delta \geq (5-3)/(5-1) = 1/2$.

Intuition

Was das besagt: Kooperation in einem wiederholten Spiel ist eine Kosten-Nutzen-Rechnung: der kurzfristige Anreiz zum Betrügen (der einmalige Gewinn aus Defektieren während der andere kooperiert) gegenüber der langfristigen Bestrafung (für immer im gegenseitigen Defektieren zu stecken). Sind Spieler geduldig genug (hoher Diskontfaktor), überwiegt die künftige Bestrafung den unmittelbaren Gewinn, und Kooperation ist selbstdurchsetzend.

Warum das wichtig ist: Dies erklärt, warum Kartelle, Rüstungsabkommen und Handelsabkommen auch ohne externe Durchsetzung funktionieren können. Die Drohung der Vergeltung (Preiskriege, Zollerhöhungen, Wettrüsten) hält Kooperation aufrecht, solange die Beziehung voraussichtlich andauert. Es erklärt auch, warum Kooperation zusammenbricht, wenn Unternehmen ungeduldig sind, wenn das Spiel ein bekanntes Enddatum hat oder wenn Betrug schwer zu erkennen ist.

Was sich ändert: Höherer Diskontfaktor (mehr Geduld) erleichtert Kooperation. Größere Versuchungsauszahlung erschwert sie. Ist die Bestrafung mild (Nash-Auszahlung nahe der Kooperationsauszahlung), erfordert Kooperation mehr Geduld. Deshalb hat die OPEC Schwierigkeiten, Förderquoten aufrechtzuerhalten: Der Anreiz zur Überproduktion ist groß, Verstöße werden nur langsam aufgedeckt und die Bestrafung ist schwach.

Im vollständigen Modus leitet Gl. 6.15 den kritischen Diskontfaktor aus der Grim-Trigger-Strategie her.

Die Intuition: Kooperieren heute erhält die Beziehung. Betrügen bringt einen kurzfristigen Gewinn, löst aber dauerhafte Bestrafung aus. Wenn der Diskontfaktor $\delta$ hoch genug ist, überwiegen die langfristigen Kosten der Bestrafung den kurzfristigen Gewinn.

Interaktiv: Wiederholtes Spiel — Kooperationsschwelle

Im Standard-Gefangenendilemma (Auszahlungen: CC=3, CD=0, DC=5, DD=1) erfordert die Kooperation über die Vergeltungsstrategie, dass der Diskontfaktor $\delta$ einen Schwellenwert überschreitet. Schieben Sie $\delta$, um zu sehen, ob sich Kooperation aufrechterhalten lässt.

Ungeduldig (0) 0.50 Sehr geduldig (1)
Berechnung...

Abbildung 6.5. Die horizontale Linie zeigt den minimalen Diskontfaktor $\delta^*$, der für Kooperation erforderlich ist. Wenn $\delta > \delta^*$, übersteigt der langfristige Wert der Kooperation die einmalige Versuchung zum Abweichen. Das Diagramm vergleicht den Barwert dauerhafter Kooperation mit einmaligem Abweichen und anschließender dauerhafter Bestrafung.

Vergleich der Marktstrukturen

MarktstrukturAnzahl UnternehmenPreisProduktionGewinnWohlfahrtsverlustStrategisch?
Vollkommener WettbewerbViele$P = MC$HöchsteNull (langfr.)KeinerNo
Monopolistischer WettbewerbViele$P > MC$Unter Wettb.Null (langfr.)GeringNo
Cournot-OligopolFew$MC < P < P_M$DazwischenPositivMäßigJa (Q)
StackelbergFewNiedriger als CournotHöherFührer > CournotWenigerJa (seq.)
Bertrand (identisch)Two$P = MC$WettbewerbsniveauNullKeinerJa (P)
MonopolOneHöchsterNiedrigsteHöchsterGrößterNo

Leitbeispiel: Mayas Unternehmen

Ein Rivale, Nate, eröffnet einen Limonadenstand auf der gegenüberliegenden Straßenseite. Beide haben die gleiche Kostenstruktur. Die Nachfrage in der Nachbarschaft beträgt $P = 5 - (Q_M + Q_N)/20$, mit $MC = 1.50$.

Cournot-Gleichgewicht: $Q_M^* = Q_N^* = 23.3$ Becher. $P = 2.67$. Mayas Gewinn: \$27,2/Tag (Kosten: nur Material).

Stackelberg (Maya führt): $Q_M^S = 35$, $Q_N^S = 17.5$. $P = 2.375$. Mayas Gewinn: \$30,6/Tag, etwas besser durch den Erstanbietervorteil.

Mit Nate im Markt sinkt Mayas Produktion von 45 auf 23,3 Becher, und der Preis sinkt von \$2,75 auf \$2,67.

Zusammenfassung

Wichtige Gleichungen

BezeichnungGleichungBeschreibung
Gl. 6.1$P = MC = AC_{min}$, $\Pi = 0$Langfristiges Wettbewerbsgleichgewicht
Gl. 6.2$\max \Pi = P(Q)Q - TC(Q)$Problem des Monopolisten
Gl. 6.3$MR = P + Q(dP/dQ)$Grenzerlös
Gl. 6.4$MR = MC$Gewinnmaximierungsbedingung des Monopols
Gl. 6.5$(P-MC)/P = 1/|\varepsilon_d|$Lerner-Index
Gl. 6.6$MR_1 = MR_2 = MC$Preisdiskriminierung dritten Grades
Gl. 6.7–6.8Beste-Antwort-FunktionenCournot-Reaktionsfunktionen
Gl. 6.9$q_i^C = (a-c)/(3b)$Symmetrisches Cournot-Gleichgewicht
Gl. 6.10$P^C = (a+2c)/3$Cournot-Preis
Gl. 6.11$P^B = c$Bertrand-Gleichgewicht (identische Produkte)
Gl. 6.12–6.13$q_1^S = (a-c)/(2b)$, $q_2^S = (a-c)/(4b)$Stackelberg-Mengen
Gl. 6.14$u_i(s_i^*, s_{-i}^*) \geq u_i(s_i, s_{-i}^*)$ für alle $s_i$Nash-Gleichgewicht
Eq. 6.15$\delta \geq (\pi_D - \pi_C)/(\pi_D - \pi_N)$Kooperationsschwelle (Grim Trigger)

Übungen

Übung

  1. Ein Monopolist sieht sich der Nachfrage $P = 50 - Q$ gegenüber und hat $MC = 10$. Finden Sie den Monopolpreis, die Menge, den Gewinn und den Wohlfahrtsverlust. Berechnen Sie den Lerner-Index und überprüfen Sie, dass er $1/|\varepsilon_d|$ entspricht.
  2. Ein Monopolist verkauft in zwei Märkten: $P_1 = 24 - Q_1$ und $P_2 = 16 - 2Q_2$, mit $MC = 4$. Finden Sie den gewinnmaximierenden Preis und die Menge in jedem Markt. Welcher Markt hat die elastischere Nachfrage?
  3. Zwei Cournot-Duopolisten sehen sich der Nachfrage $P = 80 - Q$ gegenüber, mit $c_1 = c_2 = 8$. Finden Sie: (a) die Produktion jedes Unternehmens, (b) den Marktpreis, (c) den Gewinn jedes Unternehmens. Vergleichen Sie Gesamtproduktion und -gewinn der Branche mit dem Monopolfall.
  4. Wiederholen Sie Aufgabe 3 als Stackelberg-Spiel mit Unternehmen 1 als Führer.
  5. Finden Sie alle Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien:
    B: XB: Y
    A: X(3, 3)(1, 4)
    A: Y(4, 1)(2, 2)
    Ist dies ein Gefangenendilemma? Warum oder warum nicht?

Anwendung

  1. Warum gilt das Bertrand-Paradoxon nicht für Coca-Cola und Pepsi? Identifizieren Sie drei spezifische Merkmale des realen Erfrischungsgetränkemarktes, die verhindern, dass der Preis auf die Grenzkosten fällt.
  2. Zwei Tankstellen liegen an gegenüberliegenden Ecken einer Kreuzung. Sie verkaufen identisches Benzin und beobachten täglich die Preise des anderen. Erklären Sie, warum das Bertrand-Modell $P = MC$ vorhersagt, und erklären Sie dann, warum Tankstellen in der Praxis Preise über den Grenzkosten halten können.
  3. Ein Pharmaunternehmen hält ein Patent (Monopol) auf ein Medikament. Wenn das Patent ausläuft, treten Generika-Wettbewerber in den Markt ein. Sagen Sie mithilfe des Modells des vollkommenen Wettbewerbs voraus, was mit Preis, Menge, Produzentenrente, Konsumentenrente und Wohlfahrtsverlust passiert. Ist das Patentsystem effizient?
  4. Betrachten Sie einen Markt mit einem etablierten Unternehmen und einem potenziellen Neuanbieter. Das etablierte Unternehmen kann einen hohen Monopolpreis setzen oder einen „Limitpreis“, der so niedrig ist, dass der Markteintritt unrentabel wird. Analysieren Sie dies als sequenzielles Spiel. Unter welchen Bedingungen ist der Limitpreis glaubwürdig?

Herausforderung

  1. Leiten Sie das Cournot-Gleichgewicht für $n$ symmetrische Unternehmen mit Nachfrage $P = a - bQ$ und konstanten Grenzkosten $c$ her. Zeigen Sie, dass für $n \to \infty$ gilt $P \to c$ und das Ergebnis zum vollkommenen Wettbewerb konvergiert. Bei welchem $n$ liegt der Cournot-Preis nur noch 10 % über dem Wettbewerbspreis?
  2. In einem Cournot-Duopol erwägen die Unternehmen, ein Kartell zu bilden. (a) Finden Sie die Kartellproduktion und den Gewinn. (b) Zeigen Sie, dass jedes Unternehmen einen Anreiz zum Betrügen hat. (c) Bei welchem Diskontfaktor $\delta$ lässt sich Kooperation in einem unendlich wiederholten Spiel mit Cournot-Bestrafung aufrechterhalten?
  3. Beweisen Sie, dass ein Monopolist nie im unelastischen Bereich der Nachfragekurve produziert. (Hinweis: Zeigen Sie, dass wenn $|\varepsilon_d| < 1$, der Monopolist den Gewinn durch Produktionsreduzierung steigern kann.)

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