Die Ökonometrie aus Kapitel 10 ruhte auf einer einzigen stillen Annahme: Die Beobachtungen sind unabhängige Ziehungen aus einer festen Grundgesamtheit. Randomisieren Sie eine Behandlung, finden Sie ein Instrument, nutzen Sie eine Unstetigkeit, und die i.i.d.-Stichprobenziehung, die die Asymptotik rechtfertigt, erledigt den Rest. Die meisten Daten, mit denen ein Makroökonom oder ein Finanzmarktforscher tatsächlich arbeitet, kommen nicht so daher. Sie kommen in einer Reihenfolge. Vierteljährliches BIP, monatliche Inflation, der Tagesgeldsatz, tägliche Aktienrenditen: Jede Beobachtung steht zeitlich neben ihren Nachbarn, und was im letzten Quartal geschah, bestimmt dieses hier mit.
Diese Reihenfolge verändert alles Weitere. Serielle Abhängigkeit bedeutet, dass aufeinanderfolgende Beobachtungen einander überlappende Information tragen. Der effektive Stichprobenumfang ist deshalb kleiner, als die Zahl der Datenpunkte nahelegt, und die Standardfehlerformeln der Querschnitts-OLS unterschätzen die Unsicherheit. Schlimmer noch: Viele ökonomische Reihen weisen einen Trend auf und wandern über Jahrzehnte nach oben, ohne einen festen Mittelwert, zu dem sie zurückkehren könnten. Führen Sie eine gewöhnliche Regression über zwei solche Reihen aus, und Sie erhalten womöglich ein hohes $R^2$ und eine klare $t$-Statistik für Größen, die nichts miteinander zu tun haben. Auf geordneten Daten verliert das Querschnittsinstrumentarium an Effizienz, auf trendbehafteten Daten erzeugt es Beziehungen, die es gar nicht gibt.
Nötig ist ein anderes Instrumentarium, geordnet um eine Frage (welche Art von Prozess hat diese Reihe erzeugt?) und um eine zweite, multivariate Frage, sobald mehrere Reihen im Spiel sind: Welche Schocks haben das System bewegt, und lässt sich das überhaupt sagen? Die Antwort auf die erste Frage führt von der Stationarität über ARMA-Modelle zu Einheitswurzeltests. Die Antwort auf die zweite führt von der Vektorautoregression zu ihrer strukturellen Deutung, wo die Daten beschreiben, wie sich Variablen gemeinsam bewegen, aber nie sagen, welche sich zuerst bewegt hat.
Warum das wichtig ist: Zeitlich geordnete Daten erinnern sich an ihre Vergangenheit, und die Verfahren, die diese Ordnung ignoriert haben, führen Sie in die Irre. Eine Regression, die das diesjährige BIP wie eine unabhängige Ziehung behandelt, liest immer wieder dieselbe langsame Drift und hält sie für einen Befund. Die Ordnung ernst zu nehmen heißt herauszufinden, ob sich eine Reihe wieder auf ein Zentrum einpendelt oder für immer davonwandert, und herauszufinden, welche von mehreren gemeinsam laufenden Reihen die anderen schiebt.
Voraussetzungen: der Identifikationsrahmen, OLS und die Anmerkung zur seriellen Korrelation aus Kapitel 10 (Grundlagen der Ökonometrie); lineare Algebra (das VAR ist matrixwertig); Grundzüge der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Intuition für stochastische Prozesse wird hier aufgebaut.
Die Verfahren unten gehörten nicht immer zur Volkswirtschaftslehre. Im Lauf der 1970er Jahre lernte das Fach, die Zeitdimension ernst zu nehmen, vor allem durch die Arbeiten von Clive Granger und Robert Engle zu langfristigen Beziehungen und zur Volatilität und durch Christopher Sims zur multivariaten Dynamik. Ihr Programm formte um, wie Makroökonomen mit Daten umgehen. Diese Denklinie, wer auf diese Ideen kam und gegen welchen Widerstand, gehört in den Band zur Ideengeschichte und wird dort im Kapitel zur Informationsökonomik und zur spieltheoretischen Revolution nachgezeichnet.
Bevor sich irgendein Modell schätzen lässt, muss die Reihe die Art von Gegenstand sein, die ein Modell beschreiben kann. Der ordnende Gedanke ist die Stationarität. Ein stationärer Prozess ist einer, dessen wahrscheinlichkeitstheoretischer Charakter über die Zeit stabil bleibt: Am Anfang der Stichprobe erzeugt derselbe Mechanismus die Daten wie an ihrem Ende. Trifft das zu, dann sagt die Vergangenheit etwas über die Zukunft, und zwar auf eine Weise, die sich nicht selbst verschiebt. Trifft es nicht zu, dann zielen die geschätzten Parameter auf ein bewegliches Ziel.
Der Lag-Operator macht aus Dynamik Algebra. Ein Polynom $\phi(L)=1-\phi_1 L-\cdots-\phi_p L^p$, angewandt auf $y_t$, verschlüsselt eine ganze Autoregression in einem einzigen Symbol, und der Prozess ist genau dann stationär, wenn die Wurzeln von $\phi(z)=0$ außerhalb des Einheitskreises liegen. Liegt eine Wurzel auf dem Einheitskreis, scheitert die Stationarität. Das ist die Einheitswurzel aus §23.3.
Dabei ist $\{\varepsilon_t\}$ weißes Rauschen, die $\psi_j$ sind quadratisch summierbare Gewichte mit $\psi_0=1$, und $\kappa_t$ ist derjenige Teil von $y_t$, der sich aus seiner eigenen Vergangenheit vollkommen vorhersagen lässt (ein deterministischer Trend oder eine Saisonfigur). Die quadratische Summierbarkeit der Gewichte hält die Varianz endlich, und sie ist der formale Gehalt des Satzes „der Einfluss eines alten Schocks verblasst“.
Warum das wichtig ist: Ein stationärer Prozess ist einer, dessen statistischer Charakter nicht wandert. Schieben Sie ein Fenster über die Reihe, und das Bild darin sieht immer gleich aus. Der Mittelwert, den Sie aus dem ersten Jahrzehnt schätzen würden, stimmt mit dem aus dem letzten überein, das übliche Auf und Ab hat durchgehend dieselbe Größe, und wie stark der heutige Wert mit dem des Vormonats zusammenhängt, hängt nicht davon ab, um welchen Monat es geht. Weißes Rauschen ist der reinste Fall: lauter Überraschung ohne Gedächtnis. Und Wolds Ergebnis besagt, dass jede andere gutartige Reihe nichts weiter ist als ein Strom solcher Überraschungen, in dem die alten verblassen, während neue eintreffen. In der Abbildung unten können Sie zusehen, wie eine Reihe an ihrem Mittelwert verankert bleibt, und Sie können sie an die Kante schieben, an der die Verankerung reißt.
Abbildung 23.1. Simulator für stationäre und nichtstationäre Prozesse. Ein simulierter AR(1)-Pfad $y_t = \delta + \phi y_{t-1} + \varepsilon_t$ mit seinem Stichprobenmittel. Bei kleinem $\phi$ bleibt die Reihe dicht an ihrem Mittelwert (stationär). Mit $\phi \to 1$ wandert sie weiter fort und kehrt langsamer zurück. Bei $\phi = 1$ wird sie zum Random Walk, ohne Rückkehr zum Mittelwert und mit dauerhaften Schocks (der Grenzfall aus §23.3). Ziehen Sie den Schieberegler über $\phi = 1$ hinweg, schalten Sie die Drift um und ziehen Sie die Schocks neu, um zu bestätigen, dass das Verhalten generisch ist.
Ist eine Reihe erst einmal als stationär erkannt, lautet die nächste Frage, wie man sie modelliert. Zwei elementare Arten, auf die sich eine Reihe an ihre Vergangenheit erinnern kann, verbinden sich zu einer einzigen Familie.
Eine stationäre Reihe erinnert sich, und es gibt zwei saubere Arten aufzuschreiben, woran. Sie kann ihre eigenen vergangenen Werte fortschreiben, sodass eine hohe Produktion im letzten Quartal die erwartete Produktion in diesem Quartal anhebt. Oder sie kann das Echo vergangener Überraschungen fortschreiben, also einen Schock, der ein paar Perioden braucht, bis er durchgelaufen ist. Das Erste ist die Autoregression, das Zweite der gleitende Durchschnitt. Kombiniert man beide, hat man das Standardmodell der univariaten Zeitreihenanalyse.
ACF und PACF sind die diagnostischen Instrumente des Box-Jenkins-Ansatzes zum Modellaufbau, und die Regel, die sie nützlich macht, liegt in einem Gegensatz: darin, wie sie abfallen. Ein reiner AR-Prozess hat eine PACF, die nach Lag $p$ scharf abbricht (kontrolliert man die ersten $p$ Lags, trägt nichts weiter zur Vorhersage bei), während seine ACF allmählich abklingt. Ein reiner MA-Prozess ist das Spiegelbild: Seine ACF bricht nach Lag $q$ ab, während seine PACF abklingt. An diesem Gegensatz von Abbruch und Abklingen liest ein Anwender die Ordnung eines Modells aus den Daten ab.
Die Prognose aus einem ARMA-Modell folgt aus der Algebra des Lag-Operators. Die Einschritt-Prognose setzt künftige Innovationen auf ihren Erwartungswert null und schreibt die geschätzten Koeffizienten fort. Die Mehrschritt-Prognose iteriert diese Rekursion, und weil der Prozess stationär ist, konvergiert die Prognose mit wachsendem Horizont gegen den unbedingten Mittelwert $\mu$, während die Varianz des Prognosefehlers auf die unbedingte Varianz steigt.
Warum das wichtig ist: Eine AR-Reihe schreibt ihre eigene Vergangenheit fort, sodass das heutige Niveau eine verblasste Kopie des gestrigen ist. Eine MA-Reihe trägt das Echo vergangener Überraschungen, einen Schock, der ein paar Perioden nachklingt und dann verschwunden ist. Beide hinterlassen unterschiedliche Fingerabdrücke, und die beiden Diagnoseplots lesen genau diese Abdrücke: Bei einem AR-Prozess fällt der Plot der partiellen Autokorrelation abrupt auf null, während die einfache Autokorrelation ausläuft, bei einem MA-Prozess ist es umgekehrt. Für die Prognose braucht es danach keinen neuen Gedanken. Wenn keine frische Überraschung mehr zu erwarten ist, ist die beste Schätzung für die ferne Zukunft schlicht der langfristige Durchschnitt, und das Modell sagt Ihnen, wie schnell Sie dort ankommen. Stellen Sie die Schieberegler unten auf einen reinen AR-Prozess und sehen Sie zu, wie der eine Plot auf null springt. Wechseln Sie zu einem reinen MA-Prozess, und der andere tut es.
Abbildung 23.2. ARMA(1,1)-Simulator mit Stichproben-ACF und -PACF. Stellen Sie einen reinen AR(1) ein ($\theta_1=0$): Die PACF hat eine Spitze bei Lag 1 und bricht dann ab, während die ACF geometrisch abklingt. Stellen Sie einen reinen MA(1) ein ($\phi_1=0$): Die ACF hat eine Spitze bei Lag 1 und bricht dann ab, während die PACF abklingt. Der Gegensatz von Abbruch und Abklingen ist die Identifikationsregel von Box und Jenkins. Ziehen Sie die Schieberegler.
All das setzte voraus, dass die Reihe stationär ist. Die Diagnoseplots, die Prognosen, die Bedeutung der Koeffizienten: Jedes davon ruht auf einem Mittelwert, zu dem zurückgekehrt wird, und auf einer endlichen Varianz. Was geschieht, wenn die Reihe weder das eine noch das andere hat?
Schieben Sie den AR(1)-Koeffizienten ganz bis auf eins, und die Maschinerie aus §23.2 zerbricht. Die Reihe hat dann keinen Mittelwert mehr, zu dem sie zurückkehren könnte. Abbildung 23.1 hat das direkt gezeigt, als sie über $\phi = 1$ hinweg gezogen wurde. Unterhalb von eins ist die Reihe verankert und ein Schock klingt ab. Genau bei eins reißt die Verankerung und ein Schock wird dauerhaft. Dieser Grenzfall ist der Random Walk, der die Makroökonomie beherrscht, weil sich so viele Reihen so verhalten.
Eine Einheitswurzel lässt sich deshalb nicht ignorieren, weil sie der gewöhnlichen Regression eine Falle stellt. Nehmen Sie zwei völlig unabhängig voneinander erzeugte Random Walks. Regressieren Sie den einen auf den anderen, und weit häufiger, als der Zufall es erlauben sollte, finden Sie ein großes $R^2$ und eine $t$-Statistik, die jede übliche Schwelle mühelos überspringt. Die Regression verkündet eine starke Beziehung zwischen Reihen, die nichts gemeinsam haben. Das ist das Ergebnis zur Scheinregression, vor dem Granger und Newbold 1974 gewarnt haben, und es kippt den Instinkt, ein hohes $R^2$ zusammen mit einem signifikanten $t$ bedeute etwas Wirkliches.
Unter $H_0:\gamma=0$ fällt das Niveau $y_{t-1}$ heraus, und $\Delta y_t$ wird allein von den eigenen verzögerten Differenzen und vom Rauschen getrieben: eine Einheitswurzel. $H_0$ zugunsten von $\gamma<0$ zu verwerfen heißt, dass eine Abweichung vom Niveau teilweise zurückgeholt wird, die Reihe also stationär ist. Die verzögerten Differenzen sind die „Erweiterung“, die serielle Korrelation in $\varepsilon_t$ aufnimmt und den Test dadurch gültig macht. Die Anzahl der Lags $k$ wird über ein Informationskriterium gewählt.
Warum das wichtig ist: Ein Random Walk kennt keine Schwerkraft. Eine stationäre Reihe ist verankert: Ziehen Sie sie von ihrem Zentrum weg, und sie schnellt zurück. Einen Random Walk zieht nichts nach Hause, ein Schock von heute wäscht sich also nie aus, und die Reihe wandert einfach dorthin, wohin die aufgehäuften Schocks sie tragen. Eine Einheitswurzel bedeutet Dauer statt Abklingen. Zwei unabhängig voneinander losgelassene Reihen driften über eine lange Stichprobe beide irgendwohin, und zwei driftende Dinge sehen immer korreliert aus, weil eine Gerade durch die Punktwolke stets in die eine oder die andere Richtung steigt. Ihre Regression meldet dann eine starke Beziehung zwischen zwei Reihen, die einander nie begegnet sind. Der Ausweg besteht darin, zuerst die richtige Frage zu stellen, nämlich ob diese Reihe verankert ist oder wandert, und zwar mit einem formalen Einheitswurzeltest, und wandernde Reihen in ihren Veränderungen (Differenzen) statt in ihren Niveaus zu untersuchen. Erzeugen Sie in der Abbildung unten die beiden unabhängigen Random Walks neu und sehen Sie zu, wie eine „signifikante“ Beziehung immer wieder aus dem Nichts auftaucht.
Abbildung 23.3. Demonstration der Scheinregression. Zwei mit unabhängigen Schocks erzeugte Random Walks, gemeinsam abgetragen. Die Anzeige meldet die OLS-Regression des einen auf den anderen mit ihrem $R^2$ und ihrer $t$-Statistik. Ziehen Sie die Schocks neu und sehen Sie zu, wie hohes $R^2$ und „signifikantes“ $t$ über unabhängige Ziehungen hinweg immer wiederkehren. Die Falle ist systematisch. Stellen Sie die Regression auf erste Differenzen um, und die scheinbare Beziehung bricht zusammen. Ziehen Sie die Schocks neu und schalten Sie zwischen Niveaus und Differenzen um.
Ein durchgehendes Beispiel. Ist das reale BIP der USA ein Random Walk? Schätzt man einen AR(1) für den Logarithmus, kommt der geschätzte Koeffizient sehr nahe an eins heraus. Führt man einen ADF-Test durch, verwirft er die Nullhypothese der Einheitswurzel in aller Regel nicht. Praktisch folgt daraus, dass sich die Produktion besser in Wachstumsraten (ersten Differenzen) als in Niveaus modellieren lässt.
Bisher ging es um jeweils eine Reihe. Makroökonomische Fragen betreffen meist mehrere Reihen zugleich, etwa Produktion und Inflation oder Zins und Wechselkurs, die sich gemeinsam bewegen. Die Werkzeuge für eine einzelne Gleichung verallgemeinern sich zu einem System.
Die meisten interessanten makroökonomischen Fragen betreffen mehr als eine Variable. Inflation und Leitzins reagieren aufeinander. Produktion, Preise und Geldmenge bewegen sich als System. Die Vektorautoregression ist die natürliche Verallgemeinerung des AR-Modells auf diesen Fall. Man stapelt die Variablen zu einem Vektor und lässt jede Variable von der jüngsten Vergangenheit aller Variablen abhängen.
Weil jede Gleichung dieselben Regressoren hat, nämlich die Lags aller Variablen, ist Gleichung für Gleichung angewandtes OLS effizient, und für die reduzierte Form braucht es keinen Systemschätzer. Die geschätzten Matrizen $A_i$ und die Residuenkovarianz $\Sigma$ fassen die Dynamik zusammen.
Ein VAR in reduzierter Form liefert zwei Dinge fast umsonst. Es prognostiziert das ganze System gemeinsam, oft besser als ein strukturelles Modell, weil es wenige Restriktionen auferlegt, und es prüft Granger-Kausalität, sagt Ihnen also, welche Reihen für welche anderen prognostischen Gehalt tragen. Impulsantwort und Varianzzerlegung scheinen noch ein Drittes zu versprechen, nämlich eine Erklärung dessen, was nach einem Schock geschieht. Doch die Innovationen $\mathbf{u}_t$ sind über die Gleichungen hinweg korreliert. Eine Bewegung im Residuum der Inflation tritt meist zusammen mit einer Bewegung im Residuum des Zinses auf. Wenn das System also „auf einen Schock reagiert“, wessen Schock war es dann? Die reduzierte Form kann es nicht sagen.
Warum das wichtig ist: Ein VAR lässt jede Variable von der jüngsten Vergangenheit aller anderen abhängen. Das bringt sofort zweierlei: eine gemeinsame Prognose des ganzen Systems und einen Test darüber, welche Reihe hilft, welche andere vorherzusagen, die sogenannte „Granger-Kausalität“. Vorhersagen helfen ist nicht verursachen. Dass Eisverkäufe helfen, Ertrinkungsfälle vorherzusagen, heißt nicht, dass Eis das Ertrinken verursacht. Der Sommer treibt beides. Ein VAR kann Ihnen sagen, dass der Leitzins hilft, die Inflation vorherzusagen, und das ist nützlich, aber es geht nicht so weit zu sagen, der Zins habe die Inflation bewegt. Es geht deshalb nicht so weit, weil die Überraschungen in den verschiedenen Gleichungen gemeinsam eintreffen, ineinander verheddert, sodass „die Reaktion des Systems auf einen Schock“ mehrdeutig bleibt, solange Sie nicht entwirrt haben, welchen Schock Sie meinen. Dieses Entwirren ist das Identifikationsproblem.
Abbildung 23.4. VAR-/SVAR-Impulsantwort-Simulator. Ein System aus zwei Variablen: Inflation und Leitzins, das geldpolitische VAR des durchgehenden Beispiels. Wählen Sie, welche Variable den Schock erhält, und das Panel zeigt die dynamischen Reaktionen beider Variablen. Die Anzeigen zu Granger-Kausalität und Varianzzerlegung aktualisieren sich mit. In §23.5 kehren Sie die Cholesky-Anordnung um und sehen zu, wie sich die Impulsantworten ändern: dieselben Daten, eine andere Identifikationsannahme, eine andere ökonomische Erklärung. Wählen Sie den Schock, setzen Sie den Horizont und schalten Sie die Anordnung um.
Die Impulsantworten, die Sie eben erzeugt haben, setzten eine Anordnung voraus, also eine Entscheidung darüber, welche Variable die andere innerhalb der Periode bewegen kann. Diese Entscheidung fiel stillschweigend. Sie offenzulegen ist der strukturelle Schritt, und an dieser Stelle können die Daten den Streit nicht mehr entscheiden.
Die Residuen der reduzierten Form sind korreliert, und diese Korrelation ist das Problem. Ein ökonomischer Schock, etwa eine überraschende geldpolitische Straffung, sollte eine einzelne Störung mit klarer Deutung sein. Die Innovation der Zinsgleichung in reduzierter Form ist aber davon verunreinigt, was im selben Augenblick die Inflation bewegt hat, und umgekehrt. Die Residuen sind Gemische. Um die zugrunde liegenden strukturellen Schocks zurückzugewinnen, müssen Sie angeben, wie die Gemische entstanden sind, und diese Information steckt nicht in den Daten.
Für ein System aus zwei Variablen liefert $\Sigma=BB'$ drei Gleichungen (zwei Varianzen und eine Kovarianz) für die vier Elemente von $B$. Eine Restriktion fehlt. Sie aufzuerlegen ist die Identifikation, und die Impulsantworten im Horizont $h$, gegeben durch $\Theta_h = A^h B$, erben, was auferlegt wurde.
Drei Familien von Restriktionen sind gebräuchlich, und Abbildung 23.4 lässt Sie die Folgen der häufigsten davon spüren. Schalten Sie die Cholesky-Anordnung zwischen „Zins zuerst“ und „Inflation zuerst“ um, und die Impulsantworten ändern sichtbar ihre Gestalt. An den Daten hat sich nichts geändert: dieselben Residuen, dieselbe geschätzte Dynamik. Geändert hat sich die Annahme darüber, welche Variable die andere innerhalb der Periode bewegen kann, und diese Annahme hat die ökonomische Erklärung neu geschrieben. Kurzfristige Nullrestriktionen wie die von Cholesky sind eine Möglichkeit; Langfristrestriktionen, die annehmen, dass ein Schock auf eine bestimmte Variable keine dauerhafte Wirkung hat (die Zerlegung von Nachfrage- und Angebotsschocks bei Blanchard und Quah ist das Standardbeispiel), sind eine zweite; Vorzeichenrestriktionen sind die moderne Alternative, die statt einer einzelnen Linie die identifizierte Menge ausweist.
Hier ist sich das Fach uneins. Christopher Sims, der das VAR in die Makroökonomie eingeführt hat, hielt die aufwendigen Identifikationsrestriktionen der älteren Strukturmodelle für „unglaubwürdig“, für Annahmen, die der Handhabbarkeit zuliebe auferlegt wurden, und meinte, eine ehrliche empirische Makroökonomie solle die Daten mit so wenigen Restriktionen wie möglich sprechen lassen. Die Gegenposition hält die Impulsantworten ohne ökonomische Struktur für nicht deutbar. Richtig sei deshalb, Restriktionen aufzuerlegen, die man verteidigen kann, und sie offen zu benennen. Beide Positionen sind ernst zu nehmen, und der Schalter, den Sie eben benutzt haben, ist genau der Streitpunkt: wie viel Identifikation die Daten ehrlich tragen können und was mit der Lücke zu tun ist.
Das Urteil darüber, ob die atheoretischen VARs oder die strukturelle Identifikation das Feld gewonnen haben, wird in der Großen Frage zur Glaubwürdigkeit der ökonometrischen Methodologie ausführlich verhandelt.
Warum das wichtig ist: Die Daten reichen Ihnen korrelierte Schocks. Die Überraschungen in der Inflation und im Zins treffen ineinander verheddert ein. Um eine ökonomische Erklärung zu geben, müssen Sie sagen, wohin der Pfeil innerhalb derselben Periode zeigt: Hat sich der Zins zuerst bewegt und die Inflation folgte, oder umgekehrt? Diesen Pfeil muss die Ökonomie liefern, denn die Daten können es nicht. Sie zeigen nur, dass sich beide gemeinsam bewegen. Diese eine hinzugefügte Annahme, die die Daten nicht prüfen können, entscheidet die ganze Antwort. In der Abbildung blieb beim Umkehren der Anordnung jede Zahl im Datensatz gleich, und die Erklärung kippte trotzdem. Sims sorgte sich, dass Ökonomen Pfeile einschmuggelten, die sie nicht rechtfertigen konnten, und das Ergebnis dann einen Befund nannten. Das andere Lager sagt, um die Wahl eines Pfeils komme man nicht herum, also wähle man einen, den man verteidigen kann, und sage es laut.
Die bisherigen Systeme waren aus stationären oder differenzierten Reihen gebaut. Doch die Differenzenbildung kann etwas Wirkliches wegwerfen. Wenn zwei Reihen gemeinsam wandern, löscht das Bilden ihrer Veränderungen genau die Beziehung, die sie verbindet. Die Kointegration holt sie zurück.
Erinnern Sie sich an die Warnung vor der Scheinregression. Zwei unabhängig wandernde Reihen sehen verbunden aus, und der Ausweg besteht darin, sie in Differenzen zu untersuchen. Manchmal aber sind zwei wandernde Reihen tatsächlich aneinander gebunden, nicht jede an einen festen Mittelwert, sondern aneinander. Kurz- und langfristige Zinssätze driften über die Jahrzehnte, und doch bleibt der Abstand zwischen ihnen in einem Band. Konsum und Einkommen trenden beide nach oben, und doch ist ihr Verhältnis stabil. Ein solches Paar zu differenzieren hieße, genau die langfristige Beziehung wegzudifferenzieren, auf die es ankommt. Die Kointegration ist das Instrumentarium für den Fall, dass die Beziehung wirklich besteht.
Ist der Fehlerkorrekturkoeffizient $\lambda = -0.2$, dann wird pro Periode ein Fünftel jeder Abweichung von der langfristigen Beziehung rückgängig gemacht. Ist $\lambda = 0$, gibt es keinen Zug und die Reihen sind überhaupt nicht kointegriert, die „Beziehung“ ist also die scheinbare aus §23.3. Der Granger-Darstellungssatz macht das Vorgehen erst seriös. Er garantiert, dass immer dann, wenn echte Kointegration vorliegt, ein Fehlerkorrekturmodell die richtige Art ist, die Dynamik aufzuschreiben. Das ECM zu schätzen ist damit die implizierte Form. Das Johansen-Verfahren dehnt den Gedanken auf Systeme mit möglicherweise mehreren Gleichgewichtsbeziehungen aus, und sein Rangtest beantwortet, wie viele es sind.
Warum das wichtig ist: Zwei Reihen können jede für sich ewig wandern und driften doch nie voneinander weg, wie zwei Hunde, die frei laufen, aber durch eine kurze Leine miteinander verbunden sind. Jeder geht, wohin er will. Die Leine hält den Abstand zwischen ihnen davon ab, größer zu werden. Dieser gemeinsame Abstand ist das langfristige Gleichgewicht, und die Geschwindigkeit, mit der die Leine sie zurückreißt, wenn sie ausscheren, ist der Fehlerkorrekturterm. Das ist das genaue Gegenteil der Falle der Scheinregression: Dort sahen zwei wandernde Reihen nur so aus, als hingen sie zusammen, hier tun sie es wirklich, und die Leine ist echt. Vorhin lautete der Rat, wandernde Reihen vor der Untersuchung zu differenzieren, aber wer ein aneinander gebundenes Paar differenziert, zerschneidet die Leine und verliert genau das, was er sehen wollte. Die Abbildung unten hat die Straffheit der Leine als Schieberegler. Bei null treiben die beiden Reihen frei auseinander, und je straffer Sie sie ziehen, desto mehr legt sich der Abstand zwischen ihnen in ein stationäres Band, während jede Reihe weiter wandert.
Abbildung 23.5. Kointegrations- und Fehlerkorrektur-Simulator. Zwei I(1)-Reihen teilen sich einen gemeinsamen stochastischen Trend. Das zweite Panel zeigt ihren Abstand $z_t = y_t - x_t$. Bei $|\lambda|=0$ wandert der Abstand selbst (keine Kointegration). Steigt $|\lambda|$, werden Abweichungen von der langfristigen Beziehung schneller zurückgeholt und der Abstand wird sichtbar stationär. Ziehen Sie die Fehlerkorrekturgeschwindigkeit und ziehen Sie die Schocks neu.
Bisher wurde durchweg der bedingte Mittelwert modelliert, also wohin die Reihe voraussichtlich geht. Die bedingte Varianz, also wie unsicher diese Erwartung ist, hat einen vorhersagbaren Rhythmus ganz eigener Art.
Betrachten Sie eine lange Reihe täglicher Aktienrenditen, und ein Merkmal springt heraus, bevor irgendein Modell geschätzt ist. Die Turbulenz kommt in Klumpen. Ruhige Strecken mit kleinen Bewegungen werden von stürmischen Strecken mit großen Bewegungen unterbrochen, und die Stürme halten tage- oder wochenlang an, bevor die Ruhe zurückkehrt. Die Renditen selbst sind nahezu unvorhersagbar, wie man es von effizienten Märkten erwarten würde, ihre Größe aber nicht. Große Bewegungen treten in Clustern mit anderen großen Bewegungen auf. Das ist das stilisierte Faktum, das die Modelle der bedingten Varianz abbilden sollen.
Im GARCH(1,1) misst die Summe $\alpha_1+\beta_1$ die Persistenz und bestimmt, wie langsam ein Volatilitätsschock abklingt, und die unbedingte Varianz $\omega/(1-\alpha_1-\beta_1)$ ist nur dann endlich, wenn $\alpha_1+\beta_1<1$. Auf täglichen Aktiendaten liegt die geschätzte Persistenz regelmäßig über $0.95$, was bedeutet, dass eine Volatilitätsspitze lange braucht, um abzuklingen: der empirische Gehalt des Satzes „Turbulenz hält an“.
Warum das wichtig ist: Ob die Rendite von morgen steigt oder fällt, können Sie nicht vorhersagen. Könnten Sie es, wäre das Geschäft längst gemacht und die Vorhersage ausgelöscht. Sie können aber vorhersagen, ob morgen ein ruhiger oder ein wilder Tag wird, denn Ruhe und Wildheit bilden Cluster. Ein stürmischer Markt heute sagt Ihnen, dass die nächsten Tage wahrscheinlich ebenfalls stürmisch werden, auch wenn er Ihnen nichts darüber sagt, in welche Richtung die Bewegungen gehen. Diese Trennung, bei der die Richtung einer Überraschung unprognostizierbar, die Größe einer Überraschung aber prognostizierbar ist, steckt hinter diesen Modellen. Eine große Bewegung heute speist einen größeren erwarteten Ausschlag morgen. Ist diese Rückkopplung stark, dauern Stürme lange, sobald sie einmal begonnen haben. Die Abbildung unten hat einen Persistenzregler. Drehen Sie ihn nach unten, und die Reihe sieht aus wie strukturloses Rauschen. Drehen Sie ihn Richtung eins, und Sie sehen zu, wie sich ruhige und turbulente Strecken zu langen Wellen ordnen, ganz ohne Gleichung.
Abbildung 23.6. GARCH(1,1)-Simulator für Volatilitätscluster. Das obere Panel zeigt eine simulierte Renditereihe, das untere die bedingte Volatilität $\sigma_t$, die sie erzeugt hat. Bei geringer Persistenz (kleines $\alpha_1+\beta_1$) sehen die Renditen aus wie homoskedastisches Rauschen. Nähert sich die Persistenz eins, bilden ruhige und turbulente Perioden scharfe Cluster und die Volatilitätslinie zeigt lange Wellen. Der Schieberegler sichert $\alpha_1+\beta_1<1$. Ziehen Sie die Persistenzregler und ziehen Sie die Schocks neu.
Das einfache GARCH(1,1) hat eine Familie von Verfeinerungen hervorgebracht, deren jede eine Beschränkung behebt. EGARCH modelliert den Logarithmus der Varianz und lässt damit den „Leverage-Effekt“ zu, bei dem schlechte Nachrichten die Volatilität stärker heben als gleich große gute, und es braucht keine Nichtnegativitätsbedingungen. GARCH-in-Mean (GARCH-M) lässt die bedingte Varianz direkt in die Renditegleichung eingehen und formalisiert damit den Gedanken, dass Anleger bei hohem Risiko höhere erwartete Renditen verlangen. Diese Erweiterungen sind das Arbeitsvokabular der empirischen Finanzmarktforschung. Dahinter liegt eine Front aus bayesianischer Schätzung hochdimensionaler VARs und maschinellen Lernverfahren für Volatilität und Vorhersage.
| Bezeichnung | Gleichung | Beschreibung |
|---|---|---|
| Gl. 23.1 | $E[y_t]=\mu,\ \mathrm{Var}(y_t)=\sigma^2,\ \mathrm{Cov}(y_t,y_{t-k})=\gamma_k$ | Bedingungen der Kovarianzstationarität |
| Gl. 23.2 | $y_t = \sum_{j=0}^{\infty}\psi_j\varepsilon_{t-j} + \kappa_t$ | Wold-Zerlegung |
| Gl. 23.3 | $y_t = c + \phi_1 y_{t-1} + \cdots + \phi_p y_{t-p} + \varepsilon_t$ | AR(p) |
| Gl. 23.4 | $y_t = \mu + \varepsilon_t + \theta_1\varepsilon_{t-1} + \cdots + \theta_q\varepsilon_{t-q}$ | MA(q) |
| Gl. 23.5 | $\phi(L)y_t = \theta(L)\varepsilon_t$ | ARMA in Lag-Operator-Form |
| Gl. 23.6 | $y_t = y_{t-1} + \varepsilon_t$ (mit Drift $+\,\delta$) | Random Walk |
| Gl. 23.7 | $\Delta y_t = \alpha + \gamma y_{t-1} + \sum\delta_i\Delta y_{t-i} + \varepsilon_t;\ H_0:\gamma=0$ | Erweiterte Dickey-Fuller-Regression |
| Gl. 23.8 | $\mathbf{y}_t = \mathbf{c} + A_1\mathbf{y}_{t-1} + \cdots + A_p\mathbf{y}_{t-p} + \mathbf{u}_t$ | VAR(p) in reduzierter Form |
| Gl. 23.9 | $\mathbf{u}_t = B\boldsymbol{\varepsilon}_t,\ E[\boldsymbol{\varepsilon}_t\boldsymbol{\varepsilon}_t']=I$ | SVAR-Abbildung (Residuen auf strukturelle Schocks) |
| Gl. 23.10 | $\Theta_h = A^h B$ | Strukturelle Impulsantwort im Horizont $h$ |
| Gl. 23.11 | $z_t = y_t - \beta x_t \sim I(0)$, wenn $y_t, x_t \sim I(1)$ | Kointegrationsbeziehung |
| Gl. 23.12 | $\Delta y_t = \lambda(y_{t-1}-\beta x_{t-1}) + \cdots + \varepsilon_t$ | Fehlerkorrekturmodell |
| Gl. 23.13 | $\sigma_t^2 = \omega + \sum_{i=1}^{q}\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2$ | Bedingte Varianz im ARCH(q) |
| Gl. 23.14 | $\sigma_t^2 = \omega + \sum\alpha_i\varepsilon_{t-i}^2 + \sum\beta_j\sigma_{t-j}^2$ | Bedingte Varianz im GARCH(p,q) |
Genannte Literatur: Wold (1938); Box & Jenkins (1970); Granger & Newbold (1974); Dickey & Fuller (1979); Engle (1982); Sims (1980); Bollerslev (1986); Engle & Granger (1987); Blanchard & Quah (1989); Johansen (1991); Hamilton (1994); Stock & Watson (2001); Enders (2014).