Ein Dollar in einem Jahr ist weniger wert als ein Dollar heute, und ein riskanter Dollar ist weniger wert als ein sicherer. Fast alles in der Finanzwirtschaft ist eine Antwort auf eine von zwei Fragen, die aus diesen beiden Tatsachen folgen: Was ist eine künftige Zahlung wert, und was ist ein riskanter Anspruch wert? Die Konsumtheorie hat den ersten Gedanken bereits in verkleideter Form gelehrt. Die Wahl zwischen Konsum heute und Konsum später ist eine Wahl entlang einer Budgetgeraden, deren Steigung der Zinssatz festlegt. Die Finanzwirtschaft setzt dort an und dringt in das schwierigere Gelände vor: in Ansprüche, deren Wert unsicher ist.
Das hier zusammengetragene Instrumentarium ist der moderne Lehrkern der Kapitalmarkttheorie. Es reicht von Fishers Barwert über Markowitz' Einsicht, dass Risiko eine Eigenschaft des Portfolios ist, bis zum Befund des Capital Asset Pricing Model, dass immer nur eine Art von Risiko vergütet wird, und weiter zur allgemeinsten Aussage, dass jeder Preis an einem Markt einer einzigen Bewertungsregel gehorcht. Aus dieser Regel folgen zwei Dinge, die wie getrennte Gebiete aussehen: die Optionsbewertung, die ganz ohne Renditeprognose auskommt, und der lange Streit darüber, ob die Preise richtig sind.
Die Ideenentwicklung (Fisher 1907, Markowitz 1952, Sharpe 1964, Black, Scholes und Merton 1973) gehört in den Band zur Ideengeschichte und wird hier nur beiläufig genannt. Die Chronologie der Krise gehört in den Band zur Wirtschaftsgeschichte.
Voraussetzungen: intertemporale Entscheidung, Nutzenmaximierung und das Lagrange-Verfahren (Kapitel 5); der Zinssatz und die Disziplin der Arbitragefreiheit innerhalb der staatlichen Budgetbeschränkung (Kapitel 16). Ökonometrie (Kapitel 10) und der Erwartungsnutzen-Benchmark (Kapitel 19) sind für den Abschnitt zur Effizienz hilfreich, werden aber nicht vorausgesetzt.
Die Bewertungsgleichung, die Effizienzdebatte und die Intuitionen zur Kapitalrendite sind hier zu Hause.
Die Konsumtheorie hat Sparen und Verschuldung als eine Wahl zwischen Konsum heute und Konsum später gefasst. Beides wird zu einem Preis getauscht, dem Zinssatz. Verleihen Sie heute einen Dollar, haben Sie ein Jahr später $(1+r)$ Dollar. Um in einem Jahr einen Dollar zu erhalten, müssen Sie heute $1/(1+r)$ Dollar zurücklegen. Dieses Verhältnis, $1/(1+r)$, ist der Preis eines künftigen Dollars in heutigen Dollar, und es ist der Keim von allem, was in diesem Kapitel folgt.
Lena hat gerade eine Abfindung erhalten, die sie ausgeben, sparen oder anlegen kann. Im Lauf dieses Kapitels begegnen ihr nacheinander die Fragen, die das Instrumentarium beantwortet. Ein Vertrag sagt ihr Zahlungen über mehrere Jahre zu: Was ist er ihr heute wert? Die Antwort lautet, jede künftige Zahlung zu ihrem Preis in heutigen Dollar zu bewerten und die Beträge zu addieren.
Diskontieren Sie jede Zahlung einer Reihe mit ihrem eigenen Diskontierungsfaktor und summieren Sie. Für Zahlungen $C_1, C_2, \dots$, die in den Jahren $1, 2, \dots$ eintreffen, ist der Barwert bei konstantem Satz $r$ die Summe der diskontierten Beträge.
Warum das wichtig ist: Der Zinssatz ist ein Wechselkurs zwischen zwei Währungen, „Geld jetzt“ und „Geld später“. Eine weit in der Zukunft liegende Zahlung wird umso schlechter in heutiges Geld umgerechnet, je weiter sie entfernt liegt und je höher der Zinssatz klettert, denn die Alternative, Geld heute zurückzulegen und von allein wachsen zu lassen, wird dann besser. Der Barwert ist nichts anderes als die Gesamtrechnung, nachdem jede künftige Zahlung in heutiges Geld umgerechnet wurde. Lena vergleicht eine Zahlung im nächsten Jahr nicht unmittelbar mit einer Zahlung in fünf Jahren. Sie rechnet beide auf heute um, und dann sind sie vergleichbar.
Fishers tieferes Ergebnis lautet: Sobald ein Kapitalmarkt besteht, hat die Frage, worin jemand investieren sollte, nichts damit zu tun, wie geduldig oder ungeduldig diese Person ist. Lena und eine weit ungeduldigere Bekannte mit denselben Möglichkeiten sollten dieselbe Investitionsentscheidung treffen, nämlich jedes Projekt annehmen, dessen Barwert seine Kosten übersteigt, und ihre unterschiedlichen Vorlieben für früheren oder späteren Konsum anschließend durch Kreditaufnahme oder Anlage zum Marktzins befriedigen. Die objektive Rangordnung der Investitionen, also die Maximierung des Barwerts, ist das eine Problem. Das persönliche Konsumprofil über die Zeit ist ein davon getrenntes Problem, das danach entlang der Budgetgeraden gelöst wird.
Formal wählt der Konsument bei einer Zwei-Perioden-Ausstattung und der Möglichkeit, zum Satz $r$ Kredit aufzunehmen und anzulegen, Gegenwarts- und Zukunftskonsum so, dass der Nutzen unter der intertemporalen Budgetbeschränkung maximal wird. Die Bedingung erster Ordnung setzt die Grenzrate der Substitution zwischen heute und morgen gleich der Bruttorendite:
Im Optimum entspricht die Rate, zu der der Konsument Gegenwarts- gegen Zukunftskonsum zu tauschen bereit ist, der Rate, die der Markt bietet. Die Produktionsseite, die die Investition so wählt, dass der Barwert der Ausstattung maximal wird, kommt ohne jeden Bezug auf $u(\cdot)$ aus, und genau das ist die Separation. Das Vermögen wird hier $W$ geschrieben, das Einkommen $y$. Das Symbol $m$ ist für §24.4 reserviert.
Warum das wichtig ist: Stellen Sie sich die Budgetgerade vor, die die Konsumtheorie zwischen Konsum heute und Konsum später gezogen hat und deren Steigung der Zinssatz festlegt. Eine gute Investition schiebt diese ganze Gerade nach außen und macht Lena im Barwert reicher, und eine weiter außen liegende Gerade ist besser, gleichgültig ob sie lieber früher oder später ausgibt. Sie sollte also die Investition verfolgen, die die Gerade am weitesten hinausschiebt, und danach auf der neuen Geraden zu jener Mischung aus Jetzt und Später gleiten, die sie bevorzugt, indem sie Kredit aufnimmt oder anlegt. Die Geduld entscheidet, wo sie auf der Geraden sitzt; der Markt entscheidet, welche Gerade sie bekommt, und der Barwert ist der Maßstab, mit dem sie die Geraden ordnet.
Abbildung 24.1. Die intertemporale Budgetgerade. Der Ausstattungspunkt liegt fest. Ein produktives Projekt verschiebt Vermögen von heute in eine größere künftige Auszahlung und schiebt die gesamte Budgetgerade nach außen, sobald der Barwert des Projekts positiv ist. Der Zinssatz legt die Steigung fest. Ziehen Sie die Schieberegler. Kapitel 5 dieses Buches leitet diese Gerade vollständig aus den Präferenzen her.
Aufgabe. Der Zinssatz beträgt $r = 6\%$. (a) Ein Vertrag zahlt Lena am Ende jedes der nächsten drei Jahre \$1.000. Wie hoch ist sein Barwert? (b) Projekt A wirft in einem Jahr \$3.200 ab, Projekt B in drei Jahren \$3.600. Beide kosten heute \$3.000. Welches sollte sie nach dem Barwert wählen, und ändert ihre Ungeduld die Antwort?
Lösung.
(a) $PV = \dfrac{1000}{1.06} + \dfrac{1000}{1.06^2} + \dfrac{1000}{1.06^3} = 943.4 + 890.0 + 839.6 = \$2{,}673.0$. Die drei sicheren Zahlungen sind heute rund \$2.673 wert, nicht \$3.000.
(b) $PV_A = 3200/1.06 = \$3{,}018.9$, abzüglich der Kosten $+\$18.9$. $PV_B = 3600/1.06^3 = \$3{,}022.6$, abzüglich der Kosten $+\$22.6$. Beide lohnen sich. B hat den höheren Barwert, also ist Projekt B vorzuziehen.
Nach der Fisher-Separation ändert ihre Ungeduld diese Rangfolge nicht. Braucht sie früher Geld, nimmt sie trotzdem B und beleiht dessen größeren Barwert. Die Investitionsentscheidung, den Barwert zu maximieren, und die Entscheidung über den Konsumzeitpunkt, Kredit aufzunehmen oder anzulegen, trennen sich.
Der Gedanke, dass der Zinssatz der Preis ist, der Gegenwart und Zukunft verknüpft, und dass Bewertung über Diskontierung läuft, stammt aus Irving Fishers Arbeiten von 1907 und 1930. Diese Denklinie, also wie die marginalistische Behandlung von Kapital und Zins der Finanzwirtschaft ihren Ausgangspunkt gab, wird im Kapitel der Ideengeschichte über die marginalistische Revolution nachgezeichnet. Der Zinssatz selbst und die Disziplin der Arbitragefreiheit, die ihn regiert, werden in Kapitel 16 über die Geld- und fiskalpolitische Theorie aufgebaut.
Der Barwert beantwortet, was ein sicherer künftiger Anspruch wert ist. Wirkliche Ansprüche, etwa ein Unternehmensanteil oder eine Anleihe, die ausfallen kann, sind nicht sicher. Die nächste Frage lautet, wie man sie hält, und die Antwort kippt den natürlichen Reflex, den einen besten herauszusuchen.
Der vernünftig klingende Weg zu investieren besteht darin, Unternehmen zu studieren, die mit den besten Aussichten herauszufinden und dort sein Geld anzulegen. Genau das ist Lenas Reflex, im Vertrauen darauf, dass ihr Portfolio so stark sein wird wie die Anlagen darin. Der Gedanke ist nicht töricht. Eine bessere Anlage bietet tatsächlich das bessere Geschäft, und die Anlagen einzeln zu beurteilen ist die Arbeit, die der größte Teil der Branche leistet.
Markowitz zeigte 1952, dass diese Sicht über einzelne Anlagen zwar nichts Falsches sagt, aber verfehlt, wo das Risiko tatsächlich sitzt. Das Risiko eines Portfolios hängt davon ab, wie sich seine Anlagen gemeinsam bewegen, und die Kombination von Anlagen, die nicht im Gleichschritt laufen, vernichtet Risiko, das keine der beiden allein loswerden könnte. Die Diversifikation ist in seiner Formulierung der einzige „Free Lunch“ der Finanzwirtschaft: eine Risikosenkung, die an erwarteter Rendite nichts kostet.
Ein Portfolio ist eine Menge von Gewichten $w_i$, die sich zu eins summieren, also der Anteil des Vermögens in jeder Anlage. Seine erwartete Rendite ist schlicht der gewichtete Durchschnitt der erwarteten Renditen der einzelnen Anlagen:
Der Ertrag setzt sich linear zusammen. Das Risiko nicht. Die Portfoliovarianz enthält die eigene Varianz jeder Anlage und die Kovarianz jedes Paares, und es sind die Kovarianzterme, die die Diversifikation wirksam machen:
Für zwei Anlagen mit den Gewichten $w$ und $1-w$ lautet die Beziehung so, und ihre Abhängigkeit von der Korrelation $\rho$ ist der springende Punkt:
Bei $\rho = 1$ ist der letzte Term maximal und die Standardabweichung genau der gewichtete Durchschnitt $w\sigma_1 + (1-w)\sigma_2$, ganz ohne Risikosenkung. Sinkt $\rho$, schrumpft der Kreuzterm und die Standardabweichung des Portfolios fällt unter diesen gewichteten Durchschnitt. Bei $\rho = -1$ lassen sich die beiden Risiken exakt gegeneinander aufheben. Die erwartete Rendite bleibt dabei durchweg unberührt; nur das Risiko sinkt.
Warum das wichtig ist: Zwei Anlagen, die zur selben Zeit in dieselbe Richtung ausschlagen, schützen Sie nicht: Ist die eine unten, ist es auch die andere, und beide zu halten ist um nichts sicherer, als nur eine zu halten. Neigt die eine aber dazu, oben zu stehen, wenn die andere unten steht, heben sich ihre schlechten Tage teilweise auf, und der kombinierte Bestand schwankt weniger als jedes einzelne Stück. Dafür haben Sie keine besseren Anlagen ausgewählt, Sie haben nur aufgehört, das ganze Risiko in eine Richtung zu legen. Der Ertrag, die durchschnittliche Rendite, ist genau die Mischung der beiden Durchschnitte und bleibt unberührt. Das Risiko sinkt also, während der Ertrag bleibt. Ziehen Sie in der Abbildung unten den Korrelationsregler von $+1$ nach $-1$ und beobachten Sie, wie sich die Kurve der möglichen Portfolios nach links zu weniger Risiko wölbt. An den Anlagen hat sich nichts geändert, nur an der Art, wie sie kombiniert werden.
Zeichnet man jedes Portfolio aus den verfügbaren Anlagen ein, füllen die erreichbaren Kombinationen einen Bereich im Risiko-Rendite-Diagramm. Dessen oberer linker Rand, die Stelle mit der meisten Rendite je Risikoeinheit, ist die Effizienzlinie. Jedes Portfolio echt innerhalb der Linie wird dominiert: Es gibt ein anderes mit gleichem Risiko und mehr Rendite oder mit gleicher Rendite und weniger Risiko. Je niedriger die Korrelationen zwischen den Anlagen, desto weiter wölbt sich die Linie zur risikoarmen Achse hin, weil die Diversifikation mehr leistet.
Führt man eine risikolose Anlage ein, kann der Anleger sie mit jedem riskanten Portfolio entlang einer Geraden mischen, der Kapitalallokationslinie, deren Steigung das Rendite-Risiko-Verhältnis dieses riskanten Portfolios ist. Die beste Gerade ist die steilste, die die Effizienzlinie noch berührt, und sie berührt sie in einem einzigen Punkt: im Tangentialportfolio. Jeder Anleger, vorsichtig oder kühn, will dasselbe riskante Portfolio. Sie unterscheiden sich nur darin, wie sie zwischen ihm und der risikolosen Anlage aufteilen. Eine zaghafte Lena legt den größten Teil ihres Vermögens zu $R_f$ an und hält nur einen Splitter des Tangentialportfolios. Eine kühne nimmt Kredit auf, um mehr als ihr Vermögen darin zu halten. Keine von beiden hält irgendeine andere riskante Mischung.
Warum das wichtig ist: Sobald eine sichere Anlage auf dem Tisch liegt, heißt mehr oder weniger Risiko nicht mehr, eine riskante Wette gegen eine andere zu tauschen. Es heißt, an einem einzigen Regler zu drehen: wie viel Geld sicher liegt und wie viel auf dem besten riskanten Bündel reitet, das es gibt. Und dieses beste riskante Bündel ist für alle dasselbe, weil es das mit dem höchsten Ertrag je Risikoeinheit ist. Präferenzen gehen in diesen Vergleich nicht ein. Der schwierige Teil des Anlegens, nämlich welche riskanten Dinge man besitzt, hat also eine Antwort für alle, und der persönliche Teil, wie kühn man sein will, ist bloß die Stellung des Reglers. Erhöhen Sie in der Abbildung den Regler für die risikolose Anlage und beobachten Sie, wie die gerade Allokationslinie auf einen neuen Berührungspunkt schwenkt: Dieser Punkt ist das Bündel, das alle halten sollten.
Abbildung 24.2. Die Effizienzlinie zweier riskanter Anlagen, mit der Kapitalallokationslinie zur risikolosen Anlage. Eine niedrigere Korrelation wölbt die Linie nach links, die Diversifikation bei der Arbeit. Die Gerade von $R_f$ aus berührt die Linie im Tangentialportfolio, das jeder Anleger hält. Ziehen Sie den Korrelationsregler von +1 nach −1, um den Free Lunch entstehen zu sehen.
Aufgabe. Zwei Anlagen haben je $\sigma = 20\%$ und dieselbe erwartete Rendite. Lena hält sie zu gleichen Teilen. Berechnen Sie die Standardabweichung des Portfolios bei (a) $\rho = 1$, (b) $\rho = 0$, (c) $\rho = -1$.
Lösung. Mit $w = 0.5$ und $\sigma_1 = \sigma_2 = 0.20$ liefert Gl. 24.5 $\sigma_p^2 = 0.25(0.04) + 0.25(0.04) + 2(0.25)\rho(0.04) = 0.02 + 0.02\rho$.
(a) $\rho = 1$: $\sigma_p^2 = 0.04$, also $\sigma_p = 20\%$, der gewichtete Durchschnitt, ohne jede Senkung. (b) $\rho = 0$: $\sigma_p^2 = 0.02$, also $\sigma_p = 14.1\%$, das Risiko ist ohne Gegenleistung um fast ein Drittel gefallen. (c) $\rho = -1$: $\sigma_p^2 = 0$, also $\sigma_p = 0\%$, die beiden Risiken heben sich exakt auf. Die erwartete Rendite ist in allen drei Fällen identisch. Bewegt hat sich allein die Korrelation.
Markowitz' Erwartungswert-Varianz-Ansatz von 1952 ist eines der Gründungsergebnisse der Formalisierung der Ökonomik nach dem Krieg. Seine Stelle in dieser Entwicklung, neben den Gleichgewichtsmodellen der Kapitalmarkttheorie, die er erst möglich machte, zeichnet das Kapitel der Ideengeschichte über die neoklassische Synthese der Nachkriegszeit nach.
Markowitz sagt einem einzelnen Anleger, was er halten soll. Lösen alle dasselbe Problem und halten dasselbe Tangentialportfolio, können die Preise der Anlagen nicht beliebig sein. Sie müssen sich anpassen, bis der Markt räumt.
Gilt die Zwei-Fonds-Separation für alle, dann ist das Tangentialportfolio im Gleichgewicht das Marktportfolio, also das wertgewichtete Bündel aller riskanten Anlagen. Diese eine Annahme, durch die Nachfrage von Anlegern geführt, die sämtlich den Markt halten, ergibt das Capital Asset Pricing Model und dessen Schluss: Die erwartete Rendite einer Anlage hängt allein davon ab, wie sie sich mit dem Markt bewegt.
Lenas nächste Frage ist konkret. Sie erwägt eine einzelne Aktie. Welche Rendite muss diese ihr bieten, damit sich das Halten lohnt? Den größten Teil der gesamten Schwankung der Aktie kann sie wegdiversifizieren, indem sie die Aktie innerhalb des Marktportfolios hält, und der Markt bezahlt niemanden für ein Risiko, das er ohne Gegenleistung hätte abwerfen können.
Die CAPM-Beziehung gibt die geforderte erwartete Rendite jeder Anlage an:
wobei das Beta die Kovarianz der Anlage mit dem Markt ist, skaliert mit der Varianz des Marktes:
Die Gesamtvarianz zerfällt in einen systematischen Teil, $\beta_i^2 \sigma_m^2$, und einen idiosynkratischen Teil, $\sigma_{\varepsilon}^2$, der mit dem Markt unkorreliert ist. Nur der erste trägt eine Prämie. Zwei Aktien mit identischer Gesamtvarianz, aber unterschiedlichem Beta verlangen unterschiedliche erwartete Renditen. Die mit dem hohen Beta wird besser bezahlt, weil sich ihr Risiko nicht wegdiversifizieren lässt, während der größere idiosynkratische Anteil der anderen nichts einbringt.
Warum das wichtig ist: Die eigene Wildheit einer Aktie ist nicht das, wofür der Markt Sie bezahlt, denn den größten Teil davon können Sie auslöschen, indem Sie viele Aktien zugleich besitzen, und was sich ohne Gegenleistung loswerden lässt, ist keine Vergütung wert. Was Sie nicht loswerden, ist der Teil, der fällt, wenn der ganze Markt fällt. Ihm sind alle gleichzeitig ausgesetzt, und keine noch so breite Streuung entkommt ihm. Dieser nicht diversifizierbare Teil ist das Beta, und nur er wird bewertet. Eine Aktie, die auf eigene Nachrichten heftig ausschlägt, dem Markt aber kaum folgt, ist für einen breit gestreuten Anleger fast so gut wie sicher, und genau so bewertet der Markt sie. Schieben Sie in der Abbildung das Beta einer Aktie nach oben und beobachten Sie, wie ihre geforderte Rendite entlang der Geraden klettert. Schieben Sie dann ihr idiosynkratisches Risiko und beobachten Sie, wie sich die geforderte Rendite überhaupt nicht bewegt.
Abbildung 24.3. Die Wertpapierlinie und die Aufteilung des Gesamtrisikos. Die geforderte Rendite der Aktie wird bei ihrem Beta an der Geraden abgelesen. Verändert man das idiosynkratische Risiko, ändert sich das Gesamtrisiko, die geforderte Rendite bleibt aber unberührt, weil nur der systematische Teil bewertet wird. Ziehen Sie die Schieberegler.
Aufgabe. $R_f = 3\%$, die Marktprämie beträgt $6\%$, eine Aktie hat $\beta = 1.4$. (a) Welche erwartete Rendite muss sie bieten? (b) Ihre gesamte Standardabweichung beträgt $30\%$, die des Marktes $16\%$. Welcher Anteil ihrer Varianz ist systematisch?
Lösung.
(a) $E[R] = 0.03 + 1.4(0.06) = 0.03 + 0.084 = 11.4\%$.
(b) Systematische Varianz $= \beta^2\sigma_m^2 = 1.96 \times 0.0256 = 0.0502$. Gesamtvarianz $= 0.30^2 = 0.09$. Systematischer Anteil $= 0.0502/0.09 = 56\%$. Die verbleibenden $44\%$ sind idiosynkratisch und tragen keine Prämie. Zwei Aktien mit demselben Gesamtrisiko von $30\%$, aber unterschiedlichem Beta würden unterschiedliche Renditen verlangen: Bezahlt wird allein die systematische Scheibe.
Den Gleichgewichtsschritt von Markowitz' Effizienzlinie zu einem Bewertungsmodell gingen William Sharpe, John Lintner und Jan Mossin Mitte der 1960er Jahre unabhängig voneinander. Ihre Stelle in der Formalisierung der Finanzwirtschaft nach dem Krieg zeichnet das Kapitel der Ideengeschichte über die neoklassische Synthese der Nachkriegszeit nach.
Das CAPM ist ein bestimmtes Gleichgewichtsmodell, das auf Erwartungswert-Varianz-Präferenzen und einer bestimmten Marktstruktur ruht. Es funktioniert, doch darunter lauert eine Frage: Ist die Wertpapierlinie ein Grundgesetz der Preise oder ein Spezialfall von etwas Allgemeinerem?
Streicht man Erwartungswert-Varianz-Präferenzen, das Marktportfolio und jede andere Spezialannahme, bleibt eine Prämisse übrig, die kein funktionierender Markt verletzen kann: Zwei Ansprüche, die in jedem Umweltzustand dasselbe zahlen, müssen dasselbe kosten. Wäre es anders, könnte ein Händler den billigen kaufen, den teuren verkaufen und einen sicheren Gewinn ohne Risiko einstreichen. Diese eine Prämisse, das durch Arbitrage durchgesetzte Gesetz des einheitlichen Preises, genügt, um eine vollständige Theorie der Preise festzulegen.
Lena fragt nun: Was ist irgendein Anspruch wert, ob Aktie, Anleihe, Versicherungsvertrag oder Wette auf das Wetter des nächsten Jahres? Es gibt ein einziges Objekt, das dem ganzen Markt gemeinsam ist und alles bewertet. Multiplizieren Sie die zufällige Auszahlung eines Anspruchs mit diesem Objekt, bilden Sie den Erwartungswert, und Sie haben seinen Preis.
Die fundamentale Bewertungsgleichung ist das gesamte Instrumentarium in einer Zeile:
Auf eine Bruttorendite $R_i = x_i/p_i$ angewandt, lautet die Gleichung $1 = E[m R_i]$. Entwickelt man den Erwartungswert eines Produkts und stellt um, ergibt sich die Risiko-Rendite-Beziehung: Die erwartete Überrendite einer Anlage über den risikolosen Zinssatz hinaus bestimmt sich daraus, wie ihre Rendite mit dem Diskontfaktor kovariiert.
Eine Anlage, die in schlechten Zuständen zahlt, wenn $m$ hoch ist, hat eine positive Kovarianz mit $m$ und damit eine negative Risikoprämie: Sie ist eine Versicherung, und Anleger nehmen eine niedrige Rendite in Kauf, um sie zu halten. Eine Anlage, die in guten Zuständen zahlt, hat eine negative Kovarianz mit $m$ und eine positive Prämie. Das CAPM fällt als der Spezialfall heraus, in dem $m$ linear in der Marktrendite ist, $m = a - b R_m$: Setzt man ein, wird die Kovarianz mit $m$ proportional zur Kovarianz mit dem Markt, und genau das ist das Beta.
Derselbe Preis lässt sich ein zweites Mal schreiben. Verpackt man den Diskontfaktor und die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten neu zu einer Menge von Wahrscheinlichkeiten $q$, wird der Preis zu einem schlichten, mit dem risikolosen Zinssatz diskontierten Erwartungswert:
Die beiden Formeln, den Erwartungswert unter den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten mit $m$ zu diskontieren oder den risikoneutralen Erwartungswert mit $R_f$, sind dieselbe Aussage in verschiedenen Wahrscheinlichkeiten. Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit $q$ ist eine abgeleitete Größe, die sich über die Arbitragefreiheit unmittelbar an den Preisen gehandelter Anlagen ablesen lässt.
Warum das wichtig ist: In einem Markt gibt es eine einzige Menge von Risikopreisen, und wer sie kennt, kann alles bewerten. Man braucht keine eigene Theorie für Aktien und eine zweite für Optionen. Ein Dollar ist dem Markt in schlechten Zeiten mehr wert als in guten, und diese eine Tatsache, an jeden Umweltzustand geheftet, ist die ganze Bewertungsregel. Das Modell des vorigen Abschnitts ist bloß eine Art, diese Preise an der Marktrendite abzulesen. Die risikoneutrale Bewertung ist dieselbe Regel, so umgeschrieben, dass sich die Risikopreise in den Wahrscheinlichkeiten verstecken und alles zum sicheren Zinssatz diskontiert wird. Legen Sie in der Abbildung unten eine Auszahlung über eine Periode fest und beobachten Sie, wie zwei Verfahren beim identischen Preis landen: eines mit den tatsächlichen Chancen und dem Preis des Risikos, eines mit den angepassten „risikoneutralen“ Chancen. Sie müssen es, denn sie sind dieselbe Aussage. Die angepassten Chancen werden aus Marktpreisen berechnet. Der Markt reicht sie Ihnen.
Abbildung 24.4. Ein Anspruch über eine Periode, auf zwei Wegen bewertet. Die Balken zeigen den Preis, der sich ergibt, wenn man den Erwartungswert unter den tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten mit dem stochastischen Diskontfaktor diskontiert, und den, der sich ergibt, wenn man den risikoneutralen Erwartungswert mit dem risikolosen Zinssatz diskontiert. Sie stimmen überein, weil die Arbitragefreiheit sie dazu zwingt. Die implizite risikoneutrale Wahrscheinlichkeit $q$ wird aus dem Preis des Basiswerts abgeleitet. Ziehen Sie die Schieberegler.
Aufgabe. Eine Aktie wird zu \$100 gehandelt und ist eine Periode später \$120 (aufwärts) oder \$90 (abwärts) wert. Der risikolose Zinssatz beträgt $5\%$. Ein Anspruch zahlt \$10, wenn die Aktie steigt, und \$0, wenn sie fällt. Bewerten Sie ihn (a) über die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit und (b) bestätigen Sie, dass die implizierten Risikopreise stimmig sind.
Lösung.
(a) Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit löst $100 = \frac{1}{1.05}(q \cdot 120 + (1-q)\cdot 90)$, woraus $105 = 90 + 30q$ folgt, also $q = 0.5$. Der Preis des Anspruchs beträgt $\frac{1}{1.05}(0.5 \cdot 10 + 0.5 \cdot 0) = \frac{5}{1.05} = \$4.76$.
(b) Beachten Sie, dass $q = 0.5$ gilt, gleichgültig wie hoch die tatsächliche Wahrscheinlichkeit einer Aufwärtsbewegung ist: Die tatsächlichen Chancen sind nie in den Preis des Anspruchs eingegangen. Sie gehen allein über den Preis der Aktie selbst ein, der sie bereits enthält. Genau diese Tatsache baut die Optionsbewertung zu einer vollständigen Formel aus: Ist der Preis des Basiswerts bekannt, folgt der Wert des Anspruchs allein aus der Arbitragefreiheit.
Die Bewertungsgleichung greift bei jedem Anspruch. Der am schwersten zu bewertende Anspruch der Finanzwirtschaft ist eine Option, deren Auszahlung sich nichtlinear mit dem Preis eines anderen Titels krümmt, und der Gedanke der Arbitragefreiheit löst sie, sobald man ihn in stetige Zeit treibt: Die erwartete Rendite des Basiswerts geht nie ein.
Eine Option, eine Aktie zu einem festen Preis zu kaufen, zahlt nur, wenn die Aktie über diesen Preis steigt, andernfalls verfällt sie wertlos. Der naheliegende Weg, sie zu bewerten, wäre, vorherzusagen, wohin die Aktie läuft, die Auszahlungen mit diesen Chancen zu gewichten und zu diskontieren. Lenas Intuition verläuft so: Eine Aktie, von der sie einen Höhenflug erwartet, sollte teure Kaufoptionen haben. Das Black-Scholes-Argument zeigt, dass diese Intuition falsch ist.
Halten Sie eine genau bemessene Zahl von Aktien, teilweise über Kredit finanziert, und schichten Sie den Bestand laufend um, während sich die Aktie bewegt. Die Stückzahl lässt sich so wählen, dass dieses Portfolio aus Aktie und Anleihe Augenblick für Augenblick genau das gewinnt und verliert, was die Option gewinnt und verliert. Bildet das Portfolio die Auszahlung der Option in jedem Zustand nach, muss die Option nach dem Gesetz des einheitlichen Preises so viel kosten wie der Aufbau des Portfolios. Eine Prognose der Richtung der Aktie ist nicht nötig, nur die Vorschrift, ihr zu folgen.
Und diese Vorschrift hängt davon ab, wie stark die Aktie herumspringt, nicht davon, in welche Richtung sie erwartungsgemäß driftet. Zwei Analysten, die heftig darüber streiten, ob die Aktie steigt oder fällt, müssen sich beim Preis der Option dennoch einig sein, sofern sie sich über deren Volatilität einig sind.
Der Black-Scholes-Preis einer Kaufoption lautet:
Dabei ist $S$ der Aktienkurs, $K$ der Basispreis, $r$ der stetig verzinste risikolose Zinssatz, $T$ die Restlaufzeit, $\sigma$ die Volatilität und $N(\cdot)$ die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Die erwartete Rendite der Aktie $\mu$ taucht nirgends auf. Das ist das formale Echo der risikoneutralen Bewertung aus §24.4: Die Option wird bewertet, als wäre die Welt risikoneutral, und mit $r$ diskontiert, weil das Duplikationsportfolio die Risikoprämie herausgezogen hat.
Warum das wichtig ist: Sie können eine bewegliche Mischung aus der Aktie und einem Kredit bauen, die die Option Tick für Tick nachahmt: Steigt die Aktie, halten Sie mehr davon, fällt sie, halten Sie weniger, und Sie schichten dabei laufend um. Zahlt Ihre selbstgebaute Mischung genau das, was die Option zahlt, muss sie genau das kosten, was die Option kostet, sonst verkauft jemand das Teure, kauft das Billige und streicht die Differenz ohne Gegenleistung ein. Um der Option zu folgen, müssen Sie wissen, wie stark die Aktie schwankt, denn das legt fest, wie oft und wie kräftig Sie umschichten. Sie müssen nicht wissen, wohin sie läuft. Die Prognose, die am wichtigsten zu sein scheint, ob die Aktie steigt, geht also überhaupt nicht in den Preis ein. Die ganze Arbeit leistet die Volatilität. Schieben Sie in der Abbildung die Volatilität nach oben und beobachten Sie, wie die Option teurer wird. Suchen Sie nach einer Stelle, an der sich die erwartete Rendite einstellen ließe, und Sie finden keine.
Abbildung 24.5. Der Black-Scholes-Preis einer Kaufoption als Funktion der Volatilität, mit markierter aktueller Einstellung. Der Preis steigt monoton mit der Volatilität. Unter den Eingabewerten fehlt die erwartete Rendite der Aktie $\mu$: Es gibt keinen Regler dafür, weil die Formel keinen Platz für sie hat. Ziehen Sie die Schieberegler.
Aufgabe. $S = 100$, $K = 100$, $r = 4\%$, $T = 1$ Jahr. (a) Bewerten Sie die Kaufoption bei $\sigma = 20\%$. (b) Bewerten Sie sie bei $\sigma = 40\%$ neu und bestätigen Sie, dass der Preis steigt. (c) Die Geschäftsführung des Unternehmens erwartet insgeheim für dieses Jahr eine Rendite von $30\%$. Um wie viel ändert das den Preis?
Lösung.
(a) $d_1 = \frac{\ln 1 + (0.04 + 0.02)(1)}{0.20} = 0.30$, $d_2 = 0.10$. $N(0.30) = 0.618$, $N(0.10) = 0.540$. $C = 100(0.618) - 100 e^{-0.04}(0.540) = 61.8 - 51.9 = \$9.9$.
(b) Bei $\sigma = 40\%$: $d_1 = \frac{0.04 + 0.08}{0.40} = 0.30$, $d_2 = -0.10$. $N(0.30) = 0.618$, $N(-0.10) = 0.460$. $C = 61.8 - 96.08(0.460) = 61.8 - 44.2 = \$17.6$. Die Verdopplung der Volatilität hat den Preis fast verdoppelt.
(c) Um genau null. Die erwartete Rendite $\mu$ kommt in der Black-Scholes-Formel nicht vor. Der Optimismus der Geschäftsführung würde ändern, was die Aktie wert ist, nicht aber, was ein Vertrag auf die Aktie relativ zu ihr wert ist. Das Duplikationsportfolio bewertet die Option allein aus dem aktuellen Kurs der Aktie und ihrer Volatilität.
Die Formel ist mächtig und ihre Annahmen sind zerbrechlich. Black-Scholes unterstellt konstante Volatilität sowie stetiges, kostenloses Umschichten in einem Markt, der nie springt. Nichts davon liefert die Wirklichkeit. Die Optionspreise des Marktes selbst zeigen die Spannung: Setzt man beobachtete Preise rückwärts in die Formel ein, schwankt die implizite Volatilität über die Basispreise hinweg und lächelt an den Rändern nach oben, ein stehendes Eingeständnis, dass die Annahme konstanter Volatilität falsch ist. Und in einer Krise versagt die Prämisse stetigen Umschichtens genau dann, wenn sie am nötigsten wäre: Die Preise springen, die Liquidität verschwindet, und die Korrelationen, auf die sich der Absichernde verlassen hat, schnellen gegen eins. Long-Term Capital Management erfuhr das 1998, als Positionen, die unter den Annahmen des Modells nahezu risikolos waren, ruinös wurden, sobald diese Annahmen brachen. Das Modell liefert eine disziplinierte erste Antwort und eine klare Karte seiner eigenen Bruchstellen. Zu der Maschinerie stochastischer Volatilität, die den Smile zu flicken versucht, wird es hier nicht ausgebaut.
Long-Term Capital Management. Ein Fonds, der um die arbitragefreie Bewertung von Zins- und Derivateansprüchen herum gebaut war und von zwei der Ökonomen beraten wurde, die die Theorie der Optionsbewertung geschaffen hatten, verlor 1998 binnen Wochen den größten Teil seines Kapitals, als ein russischer Zahlungsausfall die Korrelationen gegen eins und die Liquidität aus den von ihm bespielten Märkten trieb, also genau jenes Randverhalten, das ein Modell mit konstanter Volatilität nicht sieht. Die Episode führt vor Augen, dass die Mathematik und die Zerbrechlichkeit untrennbar sind. Das Kapitel über Globalisierung und die Große Moderation des Bandes zur Wirtschaftsgeschichte ordnet sie ein.
Der Durchbruch in der Optionsbewertung, den Fischer Black, Myron Scholes und Robert Merton 1973 erzielten, gehört zu jener Welle formaler Modellbildung, die die Ideengeschichte in ihrem Kapitel über die Gegenrevolution im ökonomischen Denken behandelt. Die Derivatemärkte, die die Formel mit hervorbrachte, wuchsen in den Jahrzehnten danach gewaltig. Dieses Wachstum gehört zur Darstellung der Finanzglobalisierung des späten 20. Jahrhunderts im Band zur Wirtschaftsgeschichte.
Jedes Modell bisher hat unterstellt, dass die eingehenden Preise vernünftig sind: dass der Aktienkurs, gegen den die Option abgesichert wird, die Marktrendite, die das CAPM verwendet, und die Zahlungsströme, die der Barwert diskontiert, allesamt die verfügbaren Informationen widerspiegeln. Bewiesen wurde diese Annahme nie. Sie ist die Markteffizienzhypothese, die umkämpfteste Behauptung des Fachs.
Beginnen wir mit der stärksten Fassung des Arguments für die Effizienz. Spiegeln die Preise bereits alle verfügbaren Informationen wider, kann keine Auswertung dieser Informationen den Markt systematisch schlagen, weil alles Wissbare schon im Preis steckt. Eine neue Nachricht bewegt den Preis sofort und vollständig, und was danach kommt, ist konstruktionsgemäß unvorhersehbar. Das ist keine Behauptung darüber, dass Märkte weise wären oder dass Preise in irgendeinem höheren Sinn „richtig“ wären. Behauptet wird, dass kein freies Geld auf der Straße liegt, und der Grund ist beinahe tautologisch: Läge dort welches, hätte es längst jemand aufgehoben, und das Aufheben selbst hätte den Preis so weit bewegt, bis die Gelegenheit verschwunden war.
Als Nullhypothese geführt, ist das eine gewaltige Position. Die überwältigende Mehrheit aktiv verwalteter Fonds bleibt über jeden langen Zeitraum nach Kosten hinter einem passiven Index zurück. Öffentliche Informationen wie Gewinne, Kennzahlen und Nachrichten werden so schnell eingepreist, dass der Handel damit nichts Verlässliches einbringt. Die Beweislast liegt zu Recht bei jedem, der behauptet, den Markt zu schlagen. Lena sollte, wenn sie die Befunde überblickt, als Anhängerin der Markteffizienz beginnen und starke Belege verlangen, um davon abzurücken.
Formal verlangt die Effizienz, dass die Renditen bei gegebener Informationsmenge $I_t$ über ihren Gleichgewichtserwartungswert hinaus unvorhersehbar sind:
Um zu sagen, eine Rendite sei anormal hoch, worin der Beleg gegen die Effizienz besteht, müssen Sie zuerst sagen, wie eine normale Rendite ausgesehen hätte, und dafür braucht es ein Bewertungsmodell. Finden Sie eine anormale Rendite, können Sie nicht entscheiden, ob der Markt ineffizient war oder ob Ihr Modell der normalen Renditen schlicht falsch war. Jeder Effizienztest ist zugleich ein Test des Bewertungsmodells, und deshalb lässt sich die Debatte nicht allein mit Daten entscheiden.
In den 1980er Jahren dokumentierten Forscher Muster, für die das CAPM nicht aufkam: kleine Unternehmen, billige „Substanzwerte“ und jüngste Gewinner verdienten mehr, als ihre Betas vorhersagten. Famas Antwort bestand darin, die Effizienz beizubehalten und das Modell anzureichern. Bringen Nebenwerte und Substanzwerte verlässlich mehr ein, tragen sie vielleicht ein zusätzliches systematisches Risiko, das der Marktfaktor übersehen hat, und die Mehrrendite ist dessen Preis. Das Dreifaktorenmodell von Fama und French fasst das formal:
Für Robert Shiller und die Schule der verhaltensbasierten Finanztheorie sind die Anomalien keine verborgenen Risikofaktoren, sondern Spuren von Fehlbewertung: Preise, die überreagieren, der Herde folgen und stärker mit der Stimmung schwanken, als die Fundamentaldaten es rechtfertigen. Ihr Hauptbeleg ist die exzessive Volatilität, der Befund, dass Aktienkurse sich weit stärker bewegen, als der schließlich anfallende Dividendenstrom es hergibt. Und Fehlbewertungen können fortbestehen, weil die Arbitrage begrenzt ist.
Warum das wichtig ist: Das Schwierige am Urteil über die Markteffizienz ist, dass sich eine „zu hohe Rendite“ nie messen lässt, ohne zuvor festgelegt zu haben, wie eine faire Rendite ausgesehen hätte, und diese Festlegung ist selbst eine Theorie, die falsch sein kann. Schlagen Nebenwerte oder billige Aktien den Markt jahrzehntelang, passen daher zwei redliche Erklärungen auf dieselben Daten. Die eine lautet: Diese Aktien müssen ein zusätzliches Risiko tragen, das das einfache Modell übersehen hat, und die höhere Rendite ist bloß die Bezahlung dafür. Die andere lautet: Der Markt setzt diese Preise schlicht falsch, und die Fehlbewertung überlebt, weil das Wetten dagegen gefährlich und langsam ist. Die Daten allein können zwischen beiden nicht entscheiden, und deshalb ist der Streit echt und kein Zeichen dafür, dass eine Seite verwirrt wäre. Stellen Sie in der Abbildung die Faktorladungen eines Portfolios ein und beobachten Sie, wie die Mehrrendite dem Faktorrisiko zugeschrieben wird. Legen Sie dann den Schalter um und beobachten Sie, wie dieselbe Zahl stattdessen Fehlbewertung heißt. Die Zahl ändert sich nicht, nur die Erklärung, die man über sie zu geben bereit ist.
Abbildung 24.6. Faktorzerlegung der Überrendite eines Portfolios. Die Balken zerlegen die beobachtete Rendite in Markt-, Größen- und Substanzwertbeiträge zuzüglich eines Residuums, des „Alpha“. Der Schalter benennt dasselbe Residuum um, Können oder Fehlbewertung (verhaltensbasiert) gegen einen ungemessenen Risikofaktor (Fama), ohne die Zahl zu ändern. Diese Mehrdeutigkeit ist das Problem der verbundenen Hypothesen. Ziehen Sie die Schieberegler. Legen Sie den Schalter um.
Aufgabe. Ein Fonds erzielt $11\%$ über dem risikolosen Zinssatz. Seine Ladungen betragen $\beta_M = 1.0$, $\beta_S = 0.5$, $\beta_V = 0.4$. Die Faktorprämien sind $\mathrm{MKT} = 6\%$, $\mathrm{SMB} = 2.5\%$, $\mathrm{HML} = 3.5\%$. (a) Wie viel der Rendite erklärt die Faktorexposition? (b) Wie groß ist das residuale Alpha, und welche beiden konkurrierenden Deutungen gibt es?
Lösung.
(a) Erklärt $= 1.0(6) + 0.5(2.5) + 0.4(3.5) = 6 + 1.25 + 1.4 = 8.65\%$. Der größte Teil der scheinbaren Mehrleistung ist Exposition gegenüber bewerteten Risiken.
(b) Residuum $\alpha = 11 - 8.65 = 2.35\%$. Wegen des Problems der verbundenen Hypothesen ist diese Zahl nicht identifiziert: Sie ist entweder echtes Können oder eine Fehlbewertung, die der Fonds ausgenutzt hat, das ist die verhaltensbasierte Lesart, oder sie ist die Vergütung für einen Risikofaktor, den das Dreifaktorenmodell noch immer auslässt, das ist die Lesart Famas. Die Daten können nicht sagen, welche zutrifft. Dieselben $2.35\%$ stützen beide Erklärungen.
Die Frage hat drei Schichten, und wer sie zu „Märkte sind irgendwie effizient“ zusammenfallen lässt, verliert das Wesentliche. Erstens besteht breiter Konsens, dass das Instrumentarium der Kapitalmarkttheorie dauerhaft ist und dass Preise schwer zu schlagen sind: Die Markteffizienzhypothese ist eine mächtige, weitgehend zutreffende erste Näherung, und das Scheitern des aktiven Managements an den Indizes bestätigt sie fortlaufend. Zweitens besteht breiter Konsens, dass die strenge Form falsch ist: Preise spiegeln nicht alles wider, und die Stimmung bewegt sie. Der Nobelpreis von 2013, gemeinsam an Eugene Fama und Robert Shiller vergeben, machte das doppelte Urteil amtlich und ehrte den Mann, der die Effizienz formalisierte, neben dem Mann, der ihr Versagen an der exzessiven Volatilität dokumentierte. Drittens, und unentschieden, sind Ausmaß und Mechanismus: wie viel Effizienz übrig bleibt und ob die verbleibenden Muster Risikoprämien (Fama) oder Fehlbewertungen (Shiller) sind.
Die verhaltensorientierte Seite dieses Streits ruht auf Abweichungen vom Benchmark der rationalen Wahl, etwa Verlustaversion, Überreaktion und Herdenverhalten, deren Grundlagen im Kapitel über Verhaltens- und Experimentalökonomie dieses Buches gelegt werden. Die exzessive Volatilität und die Grenzen der Arbitrage, die Fehlbewertungen fortbestehen lassen, sind die finanzspezifischen Ergebnisse. Die allgemeine Psychologie der Entscheidung unter Risiko gehört in jenes Kapitel.
Märkte können auch in einem zweiten Sinn „effizient“ sein: allokativ, also danach, ob die Preise das Kapital in seine produktivsten Verwendungen lenken. Das ist eine andere Frage als die hier behandelte Informationseffizienz. Die Große Frage danach, ob Finanzmärkte effizient sind, hält beide auseinander.
Der öffentliche Stresstest. Die Finanzkrise von 2008 wurde zur populären Anklage gegen effiziente Märkte und gegen die darauf gebauten Modelle. Preise, die einen Konsens der Sicherheit gespiegelt hatten, brachen ein, und die Grenzen der Arbitrage lagen offen zutage, als sich Fehlbewertungen ausweiteten, bevor irgendjemand sie korrigieren konnte. Die Chronologie der Krise und die Frage, wie viel Schuld die Modelle selbst trugen, gehören in das Kapitel über die globale Finanzkrise von 2008 und ihre Folgen des Bandes zur Wirtschaftsgeschichte und in die Großen Fragen, die sie verhandeln. 2008 ist der Augenblick, in dem die Effizienzdebatte den Seminarraum verließ.
Ihre kanonische Form gab Eugene Fama der Markteffizienzhypothese 1970, und die dogmengeschichtliche Heimat der Chicagoer Effizienztradition samt ihren Kritikern ist das Kapitel über die Gegenrevolution der Ideengeschichte. Die verhaltensorientierte Herausforderung, die dagegen erwuchs, zeichnet derselbe Band in seiner Behandlung des modernen Pluralismus im ökonomischen Denken nach.
Eine Frage Lenas bleibt, und sie betrifft das Unternehmen statt den Markt. Sie wägt ab, ob eine Gesellschaft, in die sie investieren könnte, sich mit Fremd- oder mit Eigenkapital finanzieren sollte. Die Referenzantwort lautet, dass es in einer reibungslosen Welt überhaupt keine Rolle spielt, und genau zu sehen, warum, isoliert das, was sehr wohl eine Rolle spielt.
Ein Unternehmen kann sich Geld beschaffen, indem es Eigenkapital ausgibt oder Kredit aufnimmt. Es fühlt sich an, als müsste die Wahl eine Rolle spielen: Fremdkapital ist billiger als Eigenkapital, also senkt eine hohe Verschuldung doch sicher die Kapitalkosten und hebt den Unternehmenswert. Modigliani und Miller zeigten 1958, dass die Wahl in einer Welt ohne Steuern, ohne Insolvenzkosten und mit symmetrischer Information den Unternehmenswert überhaupt nicht verändert. Der Gesamtwert des Unternehmens wird von den Zahlungsströmen bestimmt, die seine Vermögenswerte hervorbringen. Wie dieser Wert zwischen Fremd- und Eigenkapitalgebern aufgeschnitten wird, ändert die Größe des Kuchens nicht.
Das Argument ist reine Arbitragefreiheit. Angenommen, ein verschuldetes Unternehmen wäre mehr wert als ein identisches unverschuldetes. Ein Anleger könnte die Auszahlung des verschuldeten Unternehmens nachbilden, indem er das unverschuldete kauft und im selben Verhältnis auf eigene Rechnung Kredit aufnimmt, die sogenannte „hausgemachte“ Verschuldung, und er zahlte für denselben Zahlungsstrom weniger. Die Arbitrage liefe weiter, bis sich die beiden Werte angeglichen hätten. Die Verschuldung fügt nichts hinzu, was der Anleger nicht selbst herstellen kann, also ist sie nichts wert.
Warum das wichtig ist: Ein Unternehmen ist so viel wert, wie seine Vermögenswerte verdienen. Teilt man dieses Einkommen in eine „sichere“ Scheibe für die Kreditgeber und eine „riskante“ Scheibe für die Aktionäre, wird das Einkommen dadurch nicht größer, es wird nur neu ausgezeichnet, wer was bekommt. Ein Anleger, der mehr Verschuldung will, kann auf eigene Rechnung Kredit aufnehmen. Wer weniger will, kann Anleihen halten. Das Unternehmen kann Verschuldung also nicht mit Aufschlag verkaufen, weil jeder Anleger sich seine eigene kostenlos herstellen kann. In der Regel spielt die Finanzierung sehr wohl eine Rolle, und der Wert des Ergebnisses liegt darin, dass es Ihnen genau sagt, wo Sie hinsehen müssen. Ändert die Kapitalstruktur den Wert, ist eine Annahme der reibungslosen Welt verletzt, und die Verletzung ist die eigentliche Erklärung: eine Steuer, die Fremdkapital begünstigt, Insolvenzkosten, die es bestrafen, oder eine Informationslücke zwischen Insidern und Markt. Erhöhen Sie in der Abbildung den Verschuldungsgrad und beobachten Sie, wie der Unternehmenswert flach bleibt. Schalten Sie dann eine Steuer hinzu und beobachten Sie, wie er klettert. Schalten Sie Insolvenzkosten hinzu und beobachten Sie, wie ein innerer Bestpunkt entsteht.
Die Kraft des Irrelevanzergebnisses liegt darin, dass es jede reale Frage zur Kapitalstruktur in ein „Nennen Sie die Friktion“ verwandelt. Lockern Sie die Annahme, es gebe keine Steuern: Zinsen sind steuerlich abzugsfähig, Dividenden nicht, also schafft Fremdkapital ein Steuerschild in Höhe von ungefähr Steuersatz mal Schuldenstand, und der Wert steigt mit dem Verschuldungsgrad. Lockern Sie die Annahme, es gebe keine Insolvenz: Ein hoher Verschuldungsgrad erhöht die Wahrscheinlichkeit einer kostspieligen finanziellen Notlage, ein erwarteter Kostenblock, der mit den Schulden wächst und das Steuerschild irgendwann überwiegt, was ein inneres Optimum ergibt, die Theorie des Zielkonflikts in der Kapitalstruktur. Lockern Sie die symmetrische Information: Die Entscheidung, Eigenkapital statt Fremdkapital auszugeben, signalisiert, dass das Management die Aktien für überbewertet hält, sodass der Finanzierungsakt selbst die Preise bewegt, und das ist die Pecking-Order-Theorie. Jede benannte Unvollkommenheit ist eine Annahme weniger gegenüber dem Referenzfall vollkommener Märkte, und jede ist ein eigenes, klar umrissenes Stück Unternehmensfinanzierung.
Abbildung 24.7. Der Unternehmenswert als Funktion des Verschuldungsgrads. Sind Steuern und Insolvenzkosten beide ausgeschaltet, verläuft die Linie flach, das ist die Modigliani-Miller-Irrelevanz. Schaltet man das Steuerschild ein, steigt der Wert mit dem Verschuldungsgrad. Kommen Insolvenzkosten hinzu, wölbt er sich zu einem inneren Optimum. Jede Friktion ist ein Relevanzergebnis, einzeln zugeschaltet. Ziehen Sie die Schieberegler.
Aufgabe. Ein unverschuldetes Unternehmen ist \$100 Mio. wert. (a) Was ist es bei vollkommenen Märkten wert, wenn es auf \$40 Mio. Fremdkapital rekapitalisiert? (b) Führen Sie nun eine Körperschaftsteuer von $30\%$ ein. Wie hoch ist der verschuldete Wert, und woher stammt der Zuwachs?
Lösung.
(a) $V_L = V_U = \$100$ Mio. Die Rekapitalisierung verschiebt \$40 Mio. an Wert von den Eigen- zu den Fremdkapitalgebern, lässt die Summe aber unberührt. Die „hausgemachte“ Verschuldung sorgt dafür, dass kein Anleger für die Verschuldung des Unternehmens einen Aufschlag zahlt.
(b) Mit dem Steuerschild gilt $V_L = V_U + \tau D = 100 + 0.30(40) = \$112$ Mio. Der Zuwachs von \$12 Mio. ist genau der Barwert der Steuerabzüge auf die Zinsen, ein Wert, den die staatliche Subvention der Fremdfinanzierung schafft. Nimmt man erwartete Insolvenzkosten hinzu, hielte das Unternehmen vor der vollständigen Fremdfinanzierung bei jenem Verschuldungsgrad inne, bei dem das marginale Steuerschild den marginalen erwarteten Kosten der Notlage entspricht.
Das Irrelevanzergebnis zur Kapitalstruktur stammt von Franco Modigliani und Merton Miller aus dem Jahr 1958, ein weiterer Schlussstein der Formalisierung der Ökonomik nach dem Krieg, den das Kapitel der Ideengeschichte über die neoklassische Synthese der Nachkriegszeit nachzeichnet. Die Fragen, ob Unternehmen über Aktienrückkäufe Geld an die Aktionäre zurückgeben sollten und für wen ein Unternehmen geführt wird, greifen die Großen Fragen zum Unternehmenszweck auf. Hier werden sie nicht ausgebaut.
Einen künftigen Anspruch bewerten (§24.1). Lena begann mit einer Abfindung und einem Vertrag, der Zahlungen über mehrere Jahre zusagte. Sie diskontierte jede Zahlung mit dem Zinssatz und addierte sie, verwandelte also „Geld später“ in „Geld jetzt“, und lernte, dass ihre Ungeduld nicht änderte, welche Investitionen sich lohnten, sondern nur, wie sie darum herum Kredit aufnehmen oder anlegen würde.
Einen halten oder viele (§24.2)? Vor riskanten Ansprüchen war ihr Reflex, die beste Aktie auszuwählen. Markowitz lenkte sie um: Das Risiko, auf das es ankommt, ist das des Portfolios, und die Kombination unvollkommen korrelierter Anlagen senkte ihr Risiko ohne Gegenleistung. Kam eine sichere Anlage hinzu, zeigte sich, dass sie das eine beste riskante Bündel halten und ihre Kühnheit über den gehaltenen Anteil einstellen sollte.
Welche Rendite muss eine Aktie bieten (§24.3)? Bei einer einzelnen Aktie trug allein das mit dem Markt verbundene Risiko, ihr Beta, eine Prämie. Das unternehmensspezifische Zittern, das sie wegdiversifizieren konnte, brachte nichts ein. Was ist irgendein Anspruch wert (§24.4)? Unter dem CAPM fand sie die tiefere Regel: Ein einziger Operator der Risikopreise bewertet alles, und das CAPM ist bloß eine Lesart davon.
Was ist eine Option wert (§24.5)? Sie konnte eine Option bewerten, indem sie ein Portfolio baute, das ihr folgt, und brauchte dafür nur deren Volatilität. Kann sie den Markt schlagen (§24.6)? Meistens nicht: Preise sind schwer zu schlagen, die Behauptung der strengen Form ist falsch, und ob die übrigen Muster Risiko oder Fehlbewertung sind, ist offen. Spielt die Finanzierung eine Rolle (§24.7)? Für das Unternehmen, in das sie investieren könnte, ist sie in einer reibungslosen Welt bedeutungslos, und die Friktion zu benennen, die sie bedeutsam macht, ist von da an das ganze Fach.
| Bezeichnung | Gleichung | Beschreibung |
|---|---|---|
| Gl. 24.1 | $PV = \sum_t C_t/(1+r)^t$ | Barwert eines Zahlungsstroms |
| Gl. 24.2 | $\text{MRS} = 1+r$ | Fishers Zwei-Perioden-Optimum |
| Gl. 24.3 | $E[R_p] = \sum_i w_i E[R_i]$ | Erwartete Portfoliorendite |
| Gl. 24.4 | $\sigma_p^2 = \sum_i\sum_j w_i w_j \sigma_{ij}$ | Portfoliovarianz (Kovarianzkern) |
| Gl. 24.5 | $\sigma_p^2 = w^2\sigma_1^2 + (1{-}w)^2\sigma_2^2 + 2w(1{-}w)\rho\sigma_1\sigma_2$ | Zwei-Anlagen-Effizienzlinie mit Korrelation |
| Gl. 24.6 | $E[R_i] = R_f + \beta_i(E[R_m]-R_f)$ | CAPM / Wertpapierlinie |
| Gl. 24.7 | $\beta_i = \mathrm{Cov}(R_i,R_m)/\mathrm{Var}(R_m)$ | Beta (systematisches Risiko) |
| Gl. 24.8 | $p = E[m\cdot x]$ | Fundamentale Bewertungsgleichung (SDF) |
| Gl. 24.9 | $E[R_i]-R_f = -\mathrm{Cov}(m,R_i)/E[m]$ | Risiko-Rendite-Zerlegung mit dem SDF |
| Gl. 24.10 | $p = \frac{1}{1+R_f}E^Q[x]$ | Risikoneutrale Bewertung |
| Gl. 24.11 | $C = S\,N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2)$ | Black-Scholes-Kaufoption (ohne $\mu$) |
| Gl. 24.12 | $E[R_{t+1}-E(R_{t+1}\mid I_t)\mid I_t]=0$ | Unvorhersehbarkeitsbedingung der EMH |
| Gl. 24.13 | $E[R_i]-R_f = \beta_M\mathrm{MKT}+\beta_S\mathrm{SMB}+\beta_V\mathrm{HML}$ | Dreifaktorenmodell von Fama und French |
| Gl. 24.14 | $V_L = V_U$ | Modigliani-Miller-Theorem I |
Genannte Literatur: Fisher (1907, 1930); Markowitz (1952); Sharpe (1964); Lintner (1965); Mossin (1966); Black & Scholes (1973); Merton (1973); Cochrane (2005), Asset Pricing; Fama (1970); Fama & French (1993); Shiller (1981); Shleifer & Vishny (1997); Modigliani & Miller (1958).