设想一个刚刚就任的政府，有国库，有议会，有一个国家要治理。它必须筹钱，而任何一种筹钱的办法从经济中拿走的，都多于最终进入国库的。它必须决定拿这笔钱买什么，哪些物品由自己提供，哪些留给市场。它必须决定为谁承保人生的意外、承保得多慷慨，同时明白保险会改变被保险人的行为。它必须决定从较富的家庭向较穷的家庭转移多少，同时明白转移出去的东西有一部分会在路上消失。它还必须决定，这些事哪些归中央，哪些归地方。公共经济学就是作出这些决定的一整套工具。
本章要用的工具，前面的章节已经造好。剩余、无谓损失与税收归宿来自福利那一章，公共物品、外部性、逆向选择与道德风险来自市场失灵那一章。在那里，问题是诊断性的：不加干预的市场在哪里失灵？在这里，问题是处方性的：既然它会失灵，而国家自己的手段又并不完美，国家究竟该做什么？这一转向处处撞上同一份张力。政府为使福利分配更平等所做的几乎每一件事，都会让经济的效率变低；而它为提高效率所做的几乎每一件事，对分配都毫无帮助。这份张力就是公平与效率的权衡取舍。
本章的处理顺序，就是政府自己遇到这些问题的顺序：一项税实际上由谁承担、征它的代价是什么，国家该提供什么，一旦承认税收会扭曲行为、什么样的税制才是最优的，如何为公民承保风险，再分配该做多少、代价多大，如何设计转移支付而不摧毁工作激励，以及这些事各应由哪一级政府来做。全章按今天的教法呈现这套工具：形式化的模型放在标明供形式化读者阅读的方框里，而一个从不打开这些方框的读者，读完仍然能够就每一条结论展开论辩。
前置知识：剩余、无谓损失与税收归宿（第3章），公共物品、萨缪尔森条件、外部性、逆向选择与道德风险（第4章）。有帮助但非必需：消费者的劳动-闲暇选择与跨期选择（第5章）、政府预算约束（第16章），以及计量经济学一章中的弹性证据（第10章）。
某个政府决定从一种物品的销售中筹措收入，并把税写进法律，规定由卖方缴纳。卖方抗议说负担会落在他们身上，买方则庆幸负担与自己无关。两边都错了。法律上由谁把钱交给税务机关，即法定归宿，与谁最终因这项税而变穷，即经济归宿，完全是两回事。市场通过价格重新分配这份负担，而它所依据的规则根本不理会法条的措辞。
当一项每单位 $t$ 的税被征收时，买方支付的价格与卖方留下的价格恰好分开 $t$。买方价格上升多少、卖方价格下降多少，取决于市场哪一侧更容易退出。需求富有弹性的买方，即有许多替代品、并不着急的买方，宁可减少购买也不愿多付太多，于是卖方价格必须下跌才能把货卖出去，税就落在卖方身上。供给富有弹性的卖方，即可以把资源挪作他用的卖方，宁可退出也不愿吸收这项税，于是买方价格必须上涨，税就落在买方身上。一般规则是：缺乏弹性的一侧承担得更多，比例由弹性决定。
记 $\varepsilon_d$ 为需求弹性的绝对值，$\varepsilon_s$ 为供给弹性，则买方吸收单位税中的 $\varepsilon_s/(\varepsilon_s+\varepsilon_d)$。这个表达式是对称的：每一侧承担的份额，由另一侧的弹性支配。式中没有任何一项涉及法定归属，这印证了独立性结论：把同样的 $t$ 改征在买方而不是卖方身上，公式25.1不变。
为什么这很重要： 一项税是打进买方支付价与卖方所得价之间的一道楔子。谁最容易随之改变行为，即不买了、不卖了，谁就躲开了大部分，负担滑向走不掉的那一侧。烟草税大部分落在烟民身上，因为烟民不会为几分钱戒烟；一种有近似替代品的奢侈品，税大部分落在生产它的企业身上，因为顾客干脆去买别的。法律指定了缴纳者，市场却把它推翻了。在图中拖动两侧的弹性，可以看到负担的分配随之移动，而法定归属的开关什么也改变不了。
如果行为从不改变，筹措收入就是无代价的。行为确实会改变：税把成交量压低了，而在被压掉的那段区间上，物品对买方的价值本来高于它对卖方的成本，每一笔被放弃的交易都是一份从此不再实现的收益。损失掉的剩余就是这项税的无谓损失。与从纳税人转到国库的税收不同，无谓损失谁也得不到。
一项小额税的超额负担，大致等于相关的补偿弹性 $\varepsilon$ 乘以比例税率的平方 $(t/p)^2$ 再乘以支出 $pQ$，取其一半。要害在那个平方：税率翻倍，无谓损失大致翻两番。最初几个单位的税几乎不花什么代价，三角形是从一个点开始长起来的。而税率每加一个百分点，代价都比上一个百分点更大。这里出现的是补偿弹性而非未补偿弹性，因为无谓损失是纯粹的替代扭曲，税的收入效应已被剥离。
为什么这很重要： 税的代价增长得比税本身快得多。一项小额税扼杀的那些交易本来也几乎不值得做，所以它几乎不摧毁什么，却筹到了实实在在的钱。低税率、宽税基的税种因此成了公共财政最主要的手段。但代价随税率的平方攀升：税率高一倍，损害大约是四倍。正是这个事实使经济学家不信任对任何富有弹性的东西课以很高的税率。在图中拖动税率滑块，可以看到三角形张开：税率翻倍时，面积读数大致翻两番。
图25.1. 税收归宿与哈伯格三角形。税的楔子把价格劈开，负担更多地落在缺乏弹性的一侧，与法律向哪一侧征收无关。阴影三角形是无谓损失。调高税率滑块，它会随税率的平方增大。拖动滑块进行探索。
上述两个事实，即负担落在缺乏弹性的一侧、代价随税率的平方上升，已经立起了这个领域的核心张力。一个只在乎效率的政府，会去找最缺乏弹性的东西来课税，因为这类税对行为的改变最小，摧毁的剩余也最少。但最缺乏弹性的东西往往是必需品，穷人和富人买的数量相差无几，因而重课这类税打击最重的是穷人。效率指向一边，公平指向另一边。筹措收入要付出真实的代价。下一个问题是，国家该拿这笔钱买什么。
梅里迪亚的新政府需要收入，第一个伸手够到的是看上去最容易的东西：面包税，人人都买，谁也不会因此不买。财政部很满意：面包的需求几乎完全缺乏弹性，因此这项税几乎不损失交易就能筹到钱，哈伯格三角形很小。接着社会事务部提出反对。恰恰因为面包缺乏弹性，梅里迪亚的家庭无法靠少买来躲开这项税，而穷人家庭在面包上花掉的收入份额更大，负担因此最重地落在他们头上。使这项税有效率的那份缺乏弹性，同时使它变得累退。梅里迪亚在执政第一天就撞上了公平与效率的权衡取舍，而它还什么都没决定。
政府该不该自己建灯塔，还是补贴一家私人企业去建？这个问题之所以有分量，来自市场失灵那一章点出的灯塔的一个性质：灯一旦点亮，就同时为每一条船照明，而一条船的使用丝毫不减少另一条船的使用。具有这种性质的物品，即消费上非竞争、又难以对不付费者加以排除的物品，无法像面包那样出售，因为配置面包的价格机制在这里无处着力。每一条船都宁愿让别的船长去付照明的钱，自己免费驶过。市场对灯塔供给不足，是因为理性的搭便车正是这里的均衡。
对普通的私人物品，市场靠横向加总需求找到有效数量：在给定价格下，每个人一直买到自己的边际收益等于该价格为止，各人的数量再相加。公共物品把这一点倒了过来。因为所有人同时消费同一个数量，问题就变成整个人群从共享物品的多一个单位中得到多少收益。于是边际收益要纵向相加，把每个家庭对同一个追加单位的边际估价叠起来，而有效水平就在这个纵向之和与提供它的边际成本相交之处。这就是萨缪尔森条件。从横向加总切换到纵向加总，正是公共提供相对于私人物品情形所多出来的东西。
这里 $\text{MRS}_i$ 是家庭 $i$ 在公共物品与私人计价物之间的边际替代率，即它为多一个单位所愿支付的边际数额；$\text{MRT}$ 是边际转换率，即为多生产一个单位公共物品所放弃的私人物品数量，也就是它的边际成本。边际转换率是边际替代率在生产一侧的对应物，衡量的是经济生产可能性边界的斜率。而在搭便车的均衡里，每个家庭只贡献到自己的 $\text{MRS}_i = \text{MRT}$ 为止，不计自己的贡献给其他所有人带来的收益，于是供给量远远落在萨缪尔森水平之下。
为什么这很重要： 对一条面包，要问的是做多少条，然后一条一条分给买主。对一盏路灯，街上每个人在同一时间得到同样的光，于是问题变成把它做得多亮，答案是把这份多出来的亮度对每一位居民同时值多少钱加起来，一直把灯加亮，直到这个总额抵不上成本为止。正是这种把每个人的一小份收益纵向叠起来的做法，解释了为什么一盏值得建的路灯，没有任何一位居民会单独出钱去建。自愿捐助之所以不够，是因为每个人只算自己那一片收益。在图中在纵向加总与横向加总之间切换，可以看到有效水平跳动，搭便车的标记远在它下方。
图25.2. 用纵向加总确定公共物品的供给。三个家庭的边际收益曲线纵向叠起，有效水平在纵向之和与边际成本相交之处。搭便车水平，即每个家庭只按自己的收益出资，落在它下方。切换到横向加总，可以看到私人物品是怎样定价的。拖动滑块进行探索。
萨缪尔森条件告诉政府一种纯公共物品该提供多少，但政府实际供给的大部分东西并不纯粹。中间还有两个要紧的类别。有益品是国家即便在市场能够供给的情况下也仍然提供或补贴的物品，学校教育与基础医疗都可以私营出售。理由在于，人们若被放任不管，会买得太少，不利于他们自己，或者出于家长主义与行为方面的顾虑。这一论证取决于个人自己的选择是否与他自己的福利相吻合。它所倚靠的是行为经济学那一套工具，即现时偏差、对未来偏好的错误预测与框架效应，这些内容在行为那一章中展开。
纯公共物品由公共提供、以税收筹资，纯私人物品交给市场定价，坐在两者之间的是俱乐部物品：拥挤之前非竞争，却可排他，因而可以在门口收费。一座车流稀疏的收费桥，多服务一辆车对其他车毫无成本，像公共物品；一旦堵起来，每辆车都拖慢其余的车，又像私人物品。布坎南的俱乐部规模问题就在两者之间权衡：更大的俱乐部把固定成本摊到更多人头上，却加剧拥挤，最优成员数出现在多一名成员所交会费带来的节省恰好抵消他所增加的拥挤之处。于是供给方式从市场排到俱乐部、再排到公共提供，而国家的第一项设计决定，就是把每一种物品正确地摆到这个序列上。定下了提供什么之后，政府还得筹到钱来付账，而由于税会造成扭曲，选定税制是更难的问题。
梅里迪亚的海岸需要灯塔，各镇需要幼儿园。灯塔一旦看清结构就好办：没有哪家航运企业愿意为一盏别家都能免费驶过的灯付钱，而这盏灯每多照一条船并不增加成本，于是梅里迪亚直接提供它，由一般收入来负担，这是教科书式的公共物品。幼儿园难得多。它的私人市场是可以存在的，所以这不是搭便车造成的失灵。公共出资的理由在于：父母若被放任不管，对早期教育的投入会低于孩子长期所得的收益。梅里迪亚把学前教育当作有益品加以补贴，同时把跨河的收费桥留作俱乐部物品，在桥头定价，并把规模定在多一名日常使用者所交的费用恰好抵消他所增加的拥挤之处。
假设政府必须筹到一笔固定的钱，并且可以对若干种物品征税。上一节的平方律使这笔钱怎么分摊变得极为要紧：一项税的无谓损失既随税率上升，也随被课税数量的反应程度上升。于是筹措既定收入最有效率的办法，就是压在数量反应最小的那些物品上，因为对它们征税改变行为最少，摧毁的剩余也最少。这就是拉姆齐法则。它最简单的形式说，把各项税率定得使每一种物品的补偿需求按相同比例下降，而在标准假设下，这意味着对每种物品大致按其弹性的倒数征税。
在一般的拉姆齐问题中，规划者在收入约束下最小化总的超额负担，一阶条件使各物品的补偿数量按相同比例下降。在需求相互独立、没有交叉价格效应这一简化假设下，它塌缩为这里给出的逆弹性法则：物品 $k$ 的比例税率与它自身的补偿弹性 $\varepsilon_k$ 成反比。这个结论纯粹是效率处方：它使筹措这笔收入的扭曲最小，却对谁因此变穷只字不提。
为什么这很重要： 如果必须收到一笔固定的钱，而每一项税都会摧毁一些交易，那就到被扼杀的交易最少的地方去收：对人们无论如何都会继续买的东西征税。这就是全部的效率逻辑。而它带着一根政府躲不开的刺：人们不管价格如何都会继续买的，正是那些必需品，而重课必需品打击最重的正是穷人。最有效率的商品税制几乎按构造就是累退的。在图中来回调节两种物品之间的分摊比例，可以看到总超额负担在缺乏弹性的物品承担更高税率处触底，然后注意到，那件缺乏弹性的物品正是必需品。
图25.3. 拉姆齐逆弹性税率配置。总超额负担随一个固定收入目标在缺乏弹性物品与富有弹性物品之间如何分摊而变化。当更多收入取自缺乏弹性的物品时它最小。当必需品承担更高税率时，累退性的批注会亮起。拖动滑块进行探索。
商品税问题把累退性当作一个值得惋惜的副作用。所得税则正面迎上它，因为所得税正是公平所依托的工具。詹姆斯·米尔利斯以现代形式提出了这个问题：政府想从高收入者向低收入者再分配，却观察不到能力，只观察得到收入。如果它重课高收入，有能力的人就少了挣钱的理由。更糟的是，一个高收入者随时可以选择少工作，冒充低收入者，因此任何再分配的税表都必须设计得让没有哪一类人愿意冒充更低的一类。这是一个筛选问题，与机制设计那一章所展开的激励相容逻辑相同，只是被用到了全体人口的收入上。最优所得税，就是在扣掉它所抑制的产出之后仍能买到最多再分配的那张税表。
对分布的最顶端，这个问题有一个干净的答案。彼得·戴蒙德与伊曼纽尔·赛斯证明，最优的最高边际税率平衡着三种力量。第一种把税率往上推：高收入者在任何门槛之上的收入都很大，因此税率每加一个百分点，都能从这块边际内税基上筹到很多钱。第二种把它往下压：更高的税率会让顶端收入者少申报、少工作、多避税，而他们反应有多强烈，就是应税所得弹性 $e$。第三种定下底线：社会有多看重让一美元留在顶端收入者手里，也就是加在富人身上的社会福利权重。当这个权重基本为零时，即政府只在乎从顶端筹到收入去花在其他所有人身上时，公式就化简为一个只含弹性与顶端尾部形状的表达式。
在顶端福利权重为零、因而只求收入最大化的极限下，最优最高边际税率 $\tau^{*}$ 取决于应税所得弹性 $e$，以及刻画收入分布顶端厚度的帕累托尾部参数 $a$，经验上 $a \approx 1.5$–$2$。税率随 $e$ 上升而单调下降：顶端收入者对税收的反应越强，使收入最大化的税率就越低。若对顶端收入者赋予正的福利权重，最优税率还要更低。关于最高税率的全部政策分歧，在形式上就是关于 $e$ 取值的分歧。
为什么这很重要： 最好的最高税率是三股力量的拔河。把税率往上拉的一股：顶端收入者在门槛之上的收入极大，所以每多征一个百分点都能筹到实打实的钱，而对他们本来就照挣不误的那些美元并不再造成额外的行为损失。往下拉的一股：课税越重，他们申报得越少、干得越少、避得越多、走得越远，而他们回拉的力度有多大，取决于那唯一一个至今没有定论的数字，即弹性。定住底线的一股：一美元揣在亿万富翁兜里，与揣在一个穷人家庭兜里，各值多少。绳子最终停住的位置就是最优点。在图中把弹性调高，可以看到最优税率下落，因为行为的反抗正是高税率适得其反的原因。
图25.4. 戴蒙德-赛斯最优最高边际税率随应税所得弹性的变化。弹性越高，最优税率越低。阴影带标出主流仍在争论的弹性区间。关于最高税率该定在哪里的分歧，说到底就是这条带。拖动滑块进行探索。
主流对最高税率该定在哪里，尚无定论。决定性的输入是应税所得弹性。赛斯与合作者主张，普通劳动所得的弹性相对较低，隐含的最优最高税率在百分之五十到七十之间，理由是对高税率的表面反应中有很大一部分是避税与收入转移，更好的税制设计可以遏止，而不是生产性努力的真实下降。另一些人把同样的证据解读为行为反应更大，这会把最优税率压到那个区间之下不少。主流的重心落在一个可观但不至于没收性的最高税率上，尽管这个数字建立在一个这门学科尚未定论的弹性之上。图中把这份分歧显示为一条带。
梅里迪亚的商品税既有效率又累退，于是政府转向所得税来承担再分配的任务。它的第一反应是对顶端收入者课以很高的税率，而这一头撞上筛选问题：最有能力的人总能少挣一些，冒充普通人，因此税表必须围绕冒充的可能性来设计。梅里迪亚的分析人员计算了使收入最大化的最高税率，发现它完全取决于一个数字：顶端收入者被课税时申报收入会缩水多少。他们定不下这个数字，于是给出一个区间而不是一个点，把最高税率定在弹性所隐含区间的偏上一端，并明确注明：如果行为反应比假定的更大，这个税率就定得太高了。
劳动者想为失业投保，家庭想为重大疾病投保，老人想为积蓄先于寿命耗尽投保。原则上私人市场可以把这三样都卖出来。实际上这些市场要么日渐清淡，要么消失，原因与市场失灵那一章点出的是同一个：逆向选择。最想要失业保险的，是最可能被裁的人，最想要健康保险的，是预计自己会生病的人。分辨不出他们的保险公司只能按最坏的风险定价，而这会把好风险赶走，价格于是进一步上升，直到市场瓦解。国家握有一件私人保险公司没有的手段：强制。把所有人都要求进入这个池子，就阻止了好风险离开，池子因而得以存活。这正是社会保险独有的经济学理由。
强制解决了逆向选择，却把保险的另一个经典问题带了回来：道德风险。投了保的劳动者找工作没那么卖力，投了保的病人用更多医疗，买了年金的人不再受自筹养老的约束。保险越慷慨，坏事发生时它抚平消费的作用就越大，这是它的收益。同时它钝化避免或缩短坏事的激励也越厉害，这是它的成本。最优的慷慨程度就在两者平衡之处。马丁·贝利与拉杰·切蒂为失业保险把这一点形式化了：最优替代率就是使给付更慷慨一分所带来的边际消费平滑收益，恰好等于其边际道德风险成本的那个替代率。
在贝利-切蒂条件中，最优替代率使一个收益项等于一个成本项。收益项正比于相对风险厌恶系数 $\gamma$ 乘以给付所避免的比例消费下跌 $\Delta c/c$。成本项则是被保险行为对给付的弹性，这里的被保险行为是失业持续时间 $D$。这个条件属于概括统计量结果：它只需要可观测的消费下跌、一个风险厌恶度量与那个行为弹性，而不需要一个完整设定的结构模型。行为弹性上升时，成本项变大，最优替代率下降。
为什么这很重要： 保险是一个跷跷板。一边是它买来的宽慰：一个被裁掉的劳动者本来会眼看生活水准崩塌，如今还能把日子撑下去，而当跌幅很陡、劳动者又确实害怕时，这份抚平极其值钱。另一边是它诱出的松懈：拿着接近原工资的钱失业，劳动者会花更长时间才找到下一份工作。合适的替代率就在跷跷板持平之处：为苦难兜底，但不要慷慨到等于付钱让人不去工作。而平衡点是会移动的：行为对给付的反应越强，跷跷板就越往少保险的那一头倾。在图中把道德风险弹性调高，可以看到最优替代率一路下滑。
图25.5. 贝利-切蒂的保险-激励平衡。边际消费平滑收益随替代率下降，边际道德风险成本随替代率上升，两条曲线相交于最优替代率。调高道德风险弹性会使成本曲线变陡，把交点也就是最优替代率往下推。拖动滑块进行探索。
福利国家三个最大的项目，就是同一套工具用在三种风险上。失业保险是贝利-切蒂问题的最初形态，经验研究围绕持续时间弹性展开，即投了保的人失业得更久多少，而这正是最优替代率所要权衡的道德风险成本。公共养老金回应的是另一种失灵：私人年金市场因逆向选择而清淡，买年金的人本就预期自己活得久，于是国家强制汇集长寿风险，让人们能在一段长度无法预知的生命上平滑消费。公共健康保险回应的是最尖锐形态的逆向选择，因为最想要保障的正是病人。强制或单一支付方汇集之所以有理，正在于它击破了自愿健康保险市场所遭遇的瓦解。
养老金这个例子暴露出一个贯穿整个福利国家的区分。同一笔转移可能在做两件不同的事。当养老金从一个劳动者的工作年份取走、在他退休时付给他，收款人就是缴费者自己的未来，这笔转移是保险，它在时间上、以及在寿命不确定这一风险上抚平了同一个人的消费。当养老金从一生高收入者那里多取、给一生低收入者多付，收款人就是另一个家庭，这笔转移是再分配，它在分布之间挪动资源。现实中的项目两者兼有，而哪一个是一阶的因项目而异。一份统一费率的缴费型养老金主要是保险，一份家计调查型的老年给付主要是再分配。
图25.6. 同一份养老金的分解。一份程式化的现收现付制养老金，其总转移被拆成两部分，跨时间的保险成分即劳动者自己被平滑的生命周期消费，跨家庭的再分配成分即从一生高收入者到一生低收入者。给付公式越累进，再分配那一片越大，保险那一片越小。切换累进程度，可以看到构成比例的移动。
梅里迪亚的私营失业保险公司已经垮掉：只有担心被裁的劳动者才买保单，价格于是上涨，其余的人离开，市场瓦解。政府把参保变成强制的，池子恢复了，接着必须决定给付多慷慨。分析人员先测量了失业的梅里迪亚人所经历的消费下跌，跌幅很大，这支持慷慨，又测量了给付把人们失业时间拉长了多少，也就是持续时间弹性，这支持克制，并把替代率定在两者平衡之处。养老金方面，他们强制汇集长寿风险，因为没有哪个梅里迪亚人知道自己能活多久。医疗方面，他们要求统一入池，因为否则买保险的只会是病人。当一位批评者抱怨说这份养老金从富人那里取走的比还给他们的更多时，梅里迪亚的分析人员表示同意，并指出养老金的这一部分就是再分配。
一个政府该再分配多少？这个问题分两层。第一层是价值问题：相对于富人手里的一美元，社会有多在乎穷人家庭手里的一美元？第二层是实证问题：从富人那里取走的一美元，真正到达穷人家庭手里的有多少，路上又损失了多少？经济学对第一层没有答案，那是关于社会优先次序的判断，但它给这个判断一个精确的形式，也就是社会福利函数，而对第二层，经济学有很多话可说。
社会福利函数 $W$ 把个人效用的组态映射为一个社会排序。两个特例定住了这条连续谱的两端：功利主义的 $\sum_i u_i$ 对效用本身的分布无所谓，它之所以再分配，只因为货币的边际效用递减。罗尔斯的 $\min_i u_i$ 以境况最差者来评价社会，因而一直再分配到底层再也抬不上去为止。常弹性形式 $W = \sum_i u_i^{1-\rho}/(1-\rho)$ 则随不平等厌恶参数 $\rho$ 从功利主义的 $0$ 走向罗尔斯的 $\infty$，横跨两者。
这个问题的实证一层，是阿瑟·奥肯的漏桶。把水从富人那里搬到穷人那里，桶是漏的：转移出去的每一美元都有一部分损失在行政成本上，更重要的是损失在前面几节所测量的行为扭曲上，即为转移筹资的税压低了努力，而转移本身又会钝化受助者挣钱的激励。于是从富人那里取走的一美元，到达时已不足一美元。再分配是否值得，取决于两件事的共同作用：社会福利函数给受助者多大的权重，以及桶漏得多厉害，也就是扭曲在经验上的量级。漏得少而对穷人的关切强，几乎任何转移都值得做；漏得多而关切弱，连一次不大的转移也过不了关。
边际一美元再分配所带来的社会福利变化，等于分配上的收益减去漏损。分配上的收益是一美元对受助者与对出资者的社会边际价值 $g$ 之差，在罗尔斯式的 $W$ 下它很大，而在收入已经接近、$W$ 近乎功利主义时它很小；漏损 $L$ 则是每一美元在行政上的损失，加上筹资税的行为无谓损失与转移自身激励效应带来的损失。只要 $dW > 0$，再分配就值得扩大，并在 $dW = 0$ 处停下，那里就是转移支付的公平-效率前沿。两项缺一不可：改变 $W$ 或改变 $L$ 都能让 $dW$ 的符号反转。
为什么这很重要： 每一美元再分配到达时都不足一美元，一部分漏在文书工作上，但主要漏在筹资税与补助合力打消掉的那些工作与努力上。这笔转移是否值得，归结为两件事，而在全部经济学上意见一致的人仍然可能各执一词。第一件是：一美元揣在穷人家庭兜里与揣在富人兜里，各占多大权重，这是价值判断。第二件是：这只桶实际上漏得有多厉害，这是一个有争议的事实。在图中设定一个很小的漏损，再配上罗尔斯式对境况最差者的关切，这笔转移显然值得做。把漏损调大，或者在收入本已接近时把关切压向纯粹的功利主义，同一笔转移就变成净负值。
图25.7. 漏桶与公平-效率前沿。一美元再分配所带来的净社会福利变化，随社会福利函数与漏损而变，漏损是行政损失加行为损失。曲线描出净福利对漏损大小的关系，结论会随社会福利函数与漏损的变化而转正或转负。拖动滑块并切换社会福利函数，可以让结论翻转。
主流认为漏损有多大？主流看法是：漏损确实存在，但对中等规模的再分配而言，它比效率悲观论者最强的主张要小。对为一个中等规模福利国家筹资的税收与转移，多数经验估计得到的行为反应大到值得重视，却没有大到让再分配得不偿失。附带的告诫是，漏损并非恒定：由于无谓损失随税率的平方上升，在高税率与高转移递减率之下，桶漏得快得多。一个中等规模的福利国家承受的是不大的漏损，而把再分配推向税表的极限，就撞上平方律，那里效率代价陡然攀升。
到目前为止的每一个最优点，即最优税制、最优供给水平、最优替代率、最优转移，都假定政府想要最大化社会福利，而且有能力做到。这是一个很强的假定。另一个传统追问的是：现实中的政府究竟是不是这样行事，还是被有组织的利益集团俘获，被官员与选民自身的激励所扭曲，并且容易发生一种与市场失灵互为镜像的政府失灵。这里的工具采取仁慈规划者的姿态，因为唯有如此，设计问题才提得出来。它并不证明现实中的国家真能达到它所算出的那些最优点。那一路反驳本身就是一个独立的传统。
保险定下来之后，梅里迪亚正面迎上再分配本身。内阁在经济学上意见一致，在价值问题上却分裂：一部分人给境况最差者很重的权重，接近罗尔斯那一极，主张大规模转移；另一部分人在收入相差不远时更接近功利主义，主张少转移。分析人员无法裁决这一点，那是判断，但他们可以给漏损定价。他们估计，对正在讨论的中等规模转移，每一再分配美元到达时大约剩七十美分，其余损失在行政成本与被钝化的工作激励上。在这个漏损水平上，罗尔斯派的转移方案过得了关，近功利主义派的方案勉强过关。双方都明白了，他们的分歧在于价值，再加上那个有争议的漏损。双方也都接受了分析人员的警告：如果把税率推得高得多，平方律意味着桶漏起来会远远快过每一美元七十美分。
政府一旦决定再分配，就必须选择怎么做。第一个选择是在瞄准与普惠之间。家计调查型转移只发给收入低于某个门槛的人，把资源集中在最需要的地方，因而每花一美元换来的公平改善更多。但瞄准有三项代价。核实资格在行政上昂贵；它带有污名，压低了符合条件者的申领率；而最要紧的是，随收入上升收回给付，等于对受助者课了一道隐性边际税率。多挣一美元就少拿一份给付，于是受助者到手的远不足一美元：给付的递减机制除了名字不叫税，样样都是税，而且是很重的税。普惠型转移不看收入发给所有人，避开了这些问题，却在并不需要的家庭身上花了大笔钱，还必须由更高的一般税收来筹资。
米尔顿·弗里德曼的负所得税是一个干净的构想，它绕开了瞄准与普惠之间的两难：把转移与税收整合进一张税表，对毫无收入者支付一份保底额，再对挣到的收入按恒定税率征税，于是转移平滑递减，不会撞上给付悬崖。它在现实中的后继者是劳动所得税抵免，它更进一步，把转移与工作挂钩。EITC有三段。在递增段，抵免随收入增长：政府为挣到的每一美元再添一笔，于是实际边际税率为负，这个项目是在付钱让人去工作。在平台段，抵免保持不变。在递减段，抵免随收入上升而被收回，形成一个为正的隐性边际税率。家计调查对一个穷人家庭挣到的第一美元就课以很高的隐性税率；EITC则补贴这最初的几美元，只在后面才温和地收回。
实际边际税率（公式25.11）把法定所得税率 $\tau$ 与给付递减率 $\phi$ 相加，因此一份按 $\phi$ 收回的给付，对收入的课税效果与一项 $\phi$ 的法定税完全一样。EITC税表（公式25.12）在递增段按每美元 $s$ 的比率给补贴，那里的实际边际税率是 $-s$，即对工作的补贴，在平台段保持抵免不变，实际边际税率只等于法定税率，到递减段按 $\phi$ 收回，实际边际税率为 $\tau + \phi$。纯粹的家计调查型转移是没有递增段的特例：从挣到的第一美元起就适用完整的递减率。
为什么这很重要： 靠家计调查来瞄准穷人有一个隐藏的陷阱：给付随挣钱而缩水，于是穷人挣到的每一美元都被收回一部分，他在第一美元上面对的实际税率，比一个富人在最后一美元上面对的还要高。劳动所得税抵免在底端把这一点倒了过来：干得越多给得越多，于是最初挣到的几美元是被补贴的，只有到了更高的收入段才温和地收回抵免。在图中让一个劳动者的收入从零往上走，可以看到实际税率在EITC的递增段扎进负值，在平台段走平，在递减段爬升。再叠上一份家计调查型转移，可以看到它从第一美元起就居高不下。
图25.8. EITC税表上的实际边际税率。递增段为负，工作受到补贴，平台段等于法定税率，递减段为正，抵免被收回。叠上一份家计调查型转移，可以看到它的高隐性税率从挣到的第一美元起就生效。拖动滑块并切换叠加。
梅里迪亚的再分配本可以只发给贫困线以下的家庭，瞄得很准。但分析人员向内阁摆出了那个陷阱：随受助者挣钱而收回给付，会让他们挣到的第一美元被课上超过百分之五十的税，领取该项目给付的梅里迪亚人为一美元的劳动所面对的实际税率，会比全国顶端收入者面对的还要高。于是梅里迪亚转而按弗里德曼的逻辑建了一项与工作挂钩的抵免：它给低收入补足，使一个穷梅里迪亚人最初挣到的几美元带着补贴，只有到了更高的收入才温和地收回抵免。内阁接受了这样做会在略高于底层的家庭身上花掉一些钱，这是不惩罚劳动所付的代价。
到目前为止的每一个决定，都假定只有一个政府。多数国家有好几层，即中央、地区、地方，而最后一个问题是哪一层该做哪件事。这就是职能划分问题，它有一条干净的效率逻辑，外加一个尖锐的意外。分权的效率理由是，地方政府能把公共物品与本地偏好对上。沿海的镇要港口，山里的镇要滑雪巡逻队。一份全国统一的组合会把一个供给过头、另一个供给不足。如果家庭可以搬迁，他们就会自行分选，去到公共物品与税收的组合最合自己偏好的辖区，用脚投票。查尔斯·蒂布特指出，这种流动性原则上能显示出单一辖区内投票所无法显示的地方公共物品偏好，并通过退出的威胁约束地方政府。
那个意外是：使分权提供有效率的那份流动性，同时使分权的再分配变得不可能。如果一个镇提高地方税来资助对本镇穷人的转移，它的富裕家庭大可搬到隔壁镇去，把税基一并带走，而穷人家庭则搬进来领取给付。再分配税侵蚀了自己的税基。再分配只能在一个谁也不容易退出的层级上维持，那就是中央政府。分权定理，即华莱士·奥茨的结论，概括了由此得到的划分：当各辖区偏好不同且溢出很小时，公共物品由地方提供；当偏好一致或溢出跨界时，由中央提供；而再分配无论如何都归中央。图把再分配那个意外具体化了：打开一项地方再分配税，可以看到高收入家庭离开。
为什么这很重要： 地方政府有一件事做得很好，另一件事做得一塌糊涂，而使它两头如此的是同一个事实。人们可以在城镇之间迁移，因此各镇必须竞相提供居民想要的公共物品，这正是地方供给保持灵敏的原因。但同样的迁移能力也意味着，一个试图对本镇富人征税来帮助本镇穷人的镇，只会眼看着富人搬去隔壁。在一个人们可以一走了之的层级上，是没法做再分配的。规则于是随之而来：让城镇提供那些本地偏好各不相同的物品，把再分配留给谁也无法退出的那一层。在图中打开一项意在再分配的地方税，可以看到高收入家庭消失到不征税的辖区去，把这项税本想筹到的收入一并抽干。
图25.9. 蒂布特分选与再分配的意外。家庭按偏好在各辖区之间分选。当辖区A征收一项地方再分配税时，它的高收入家庭退出到不征税的辖区，再分配所依赖的地方税基随之坍塌。切换地方税，可以看到这场退出。
梅里迪亚沿海与山区的省份要的东西不同，于是中央政府把地方公共物品，即港口、滑雪巡逻队、公园，下放给各省，各省则靠调整这份组合来竞相吸引居民。但当一个富裕省份试图用一项针对本省富人的地方税来资助慷慨的转移时，那些居民悄悄搬去了邻省，再分配随税基一同坍塌。梅里迪亚直接学到了奥茨的教训：它把再分配与社会保险的池子留在中央，那里没有家庭能靠搬家退出，而把对偏好敏感的公共物品交给各省。
最优税制纲领，1971–2011年。现代最优所得税理论始于詹姆斯·米尔利斯1971年对一个能力不可观测的人群的筛选问题的求解，并在彼得·戴蒙德与伊曼纽尔·赛斯2011年用可估计的概括统计量表述最高税率公式时，达到了最可用的形态。这一纲领的思想传承，从庇古的福利经济学，经弗兰克·拉姆齐1927年的商品税法则，到米尔利斯与戴蒙德-赛斯，属于经济思想史而不属于这套工具，在那里另行交代。
福利国家是建起来的，不是推导出来的。上文作为工具加以论证的那些强制社会保险池，是分几波建成的：俾斯麦1880年代的德国社会保险、贝弗里奇时代的英国制度，以及战后经合组织范围内的广泛扩张，这段历史在经济史卷的战后黄金时代一章中叙述。
| 标签 | 方程 | 描述 |
|---|---|---|
| 公式25.1 | $\text{买方份额} = \varepsilon_s/(\varepsilon_s+\varepsilon_d)$ | 税收归宿由弹性决定，缺乏弹性的一侧承担更多 |
| 公式25.2 | $\text{EB} \approx \tfrac{1}{2}\varepsilon(t/p)^2 pQ$ | 超额负担：无谓损失随税率的平方上升 |
| 公式25.4 | $\sum_i \text{MRS}_i = \text{MRT}$ | 公共物品有效供给的萨缪尔森条件 |
| 公式25.5 | $t_k/p_k \propto 1/\varepsilon_k$ | 拉姆齐逆弹性商品税法则 |
| 公式25.7 | $\tau^* = 1/(1+ae)$ | 戴蒙德-赛斯最优最高边际税率 |
| 公式25.8 | $\gamma \cdot \Delta c/c = d\log D / d\log R$ | 贝利-切蒂最优替代率 |
| 公式25.9 | $W = W(u_1,\ldots,u_n)$; $\sum u_i$ / $\min u_i$ | 社会福利函数（功利主义／罗尔斯） |
| 公式25.10 | $dW = (g_{\text{穷人}}-g_{\text{富人}}) - L$ | 边际一美元转移的漏桶净福利 |
| 公式25.11 | $\text{实际边际税率} = \tau + \phi$ | 家计调查型转移的实际边际税率 |
| 公式25.12 | $\text{credit}(w)$：分段的递增段／平台段／递减段 | EITC税表 |
Ramsey（1927）；Samuelson（1954）；Buchanan（1965）；Mirrlees（1971）；Atkinson & Stiglitz（1976）；Diamond & Saez（2011）；Saez（2001）；Baily（1978）；Chetty（2006, 2008）；Rothschild & Stiglitz（1976）；Okun（1975）；Friedman（1962）；Tiebout（1956）；Oates（1972）；Musgrave（1959）。